第3章 3.2.1 第1课时 函数的单调性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数的单调性核心知识点，通过直观感知函数图象升降规律（如y=x、y=x²等）引入，系统梳理单调递增（减）定义、单调区间等概念，构建从具体图象到符号语言表达，再到定义证明（取值、作差变形等步骤）及应用（求参数范围、解不等式）的学习支架。 该资料以过山车情境导入激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。定义证明步骤规范，例题与延伸探究结合培养逻辑推理（数学思维），图象法与符号语言结合强化数学语言表达。课中助力教师引导学生从直观到抽象，课后通过练习和反思帮助学生巩固知识，查漏补缺。

3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 学习目标　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.(重点)2.能够利用定义证明函数的单调性.(重点)3.掌握函数单调性的简单应用.(难点) 导语 同学们，大家有没有体验过过山车？风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和刺激的过山车游戏有关. 一、直观感知函数的单调性 问题　观察下面三个函数图象，从升降趋势上看，它们有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 提示　函数y=x的图象从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大.从左向右看图象下降，反映了函数值随着自变量的增大而减小. 知识梳理 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 例1　已知函数f(x)=x2-4|x|+3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间. 解　f(x)=x2-4|x|+3= 如图. 由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[-2，0)，[2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-2)，[0，2). 反思感悟　(1)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 跟踪训练　作出函数y=|x|(x-2)的图象，并写出函数的单调区间. 解　y=|x|(x-2)= 函数的图象如图中实线部分所示. 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为(0，1). 二、利用定义证明函数的单调性 例2　(课本例3)根据定义证明函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增. 证明　∀x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2，有 y1-y2= =(x1-x2)+ =(x1-x2)+(x1x2-1). 由x1，x2∈(1，+∞)，得x1>1，x2>1. 所以x1x2>1，x1x2-1>0. 又由x1<x2，得x1-x2<0. 于是(x1x2-1)<0，即y1<y2. 所以，函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增. 例2　证明函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 证明　∀x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2， f(x1)-f(x2)= =. 因为2<x1<x2， 所以x2-x1>0，x2+x1>0>4>4， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 延伸探究1　证明本例中的函数f(x)在区间(-∞，-2)上单调递增. 证明　∀x1，x2∈(-∞，-2)，且x1<x2， f(x1)-f(x2)= 因为x1<x2<-2， 所以x2-x1>0，x2+x1<0>4>4， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)=在区间(-∞，-2)上单调递增. 反思感悟　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 三、函数单调性的简单应用 角度1　已知单调性求参数的范围 例3　若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　(-∞，-4] 解析　f(x)=-x2-2(a+1)x+3 =-(x+a+1)2+(a+1)2+3， 因此函数的单调递增区间为(-∞，-a-1]， 因为f(x)在(-∞，3]上单调递增， 所以-a-1≥3， 解得a≤-4，即实数a的取值范围为(-∞，-4]. 延伸探究2　在本例中，若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a的值为　　　　. 答案　-4 解析　f(x)=-x2-2(a+1)x+3 =-(x+a+1)2+(a+1)2+3， 因此函数的单调递增区间为(-∞，-a-1]， 由题意得-a-1=3，所以a=-4. 延伸探究3　若函数f(x)=为R上的增函数，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　[-5，-4] 解析　∵f(x)为R上的增函数， 则 解得-5≤a≤-4， ∴实数a的取值范围为[-5，-4]. 延伸探究4　已知函数f(x)=为R上的增函数，则实数t的取值范围为　　　　　　. 答案　{t|t≤-1或t=0} 解析　∵f(x)为R上的增函数， 则解得t≤-1或t=0. ∴实数t的取值范围为{t|t≤-1或t=0}. 反思感悟　已知函数单调性求解析式中参数的值(或范围)时，重点在于找到影响函数单调性的因素，具体如下：若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件；若为一次函数，则由一次项系数的正负决定单调性；若为分段函数，则数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件. 角度2　应用单调性解不等式 例4　若函数f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 答案　 解析　由f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，得x>1-x⇒x> 即x的取值范围是. 延伸探究5　若f(x)是定义在(-1，1)上的增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 答案　 解析　因为f(x)是定义在(-1，1)上的增函数且f(x)>f(1-x)， 所以<x<1， 即x的取值范围是. 延伸探究6　若函数f(x)是定义在R上的增函数，则f与f的大小关系是　　　　　　　. 答案　f ≤f 解析　∵a2+2a+=(a+1)2+函数f(x)是定义在R上的增函数， ∴f ≤f . 反思感悟　(1)利用函数的单调性可以比较函数值的大小，此时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. (2)利用函数的单调性可以求解不等式，若不等式的两边具备“同构形式”(如f(a)>f(b))，则可以依据函数单调性的定义，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 1.知识清单： (1)函数的单调性与单调区间. (2)利用定义证明函数的单调性. (3)单调性的简单应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区： (1)函数的单调区间不能用“∪”连接. (2)利用函数的单调性求参数的取值范围时忽略函数的定义域. 1.函数y=f(x)，x∈[-4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(　　) A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4] C.[-3，1] D.[-3，4] 答案　C 解析　由图象知f(x)的单调递增区间为[-3，1]. 2.(多选)下列四个函数中存在单调递减区间的是(　　) A.f(x)=8-x B.f(x)=(x-2)2 C.f(x)=-+1 D.f(x)=x2+2x 答案　ABD 解析　A中函数在R上为减函数，B中函数在(-∞，2)上单调递减，D中函数在(-∞，-1)上单调递减，C中函数在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，故A，B，D中函数存在单调递减区间. 3.若f(x)=(2k-1)x+b是R上的减函数，则有(　　) A.k> B.k>- C.k< D.k<- 答案　C 解析　由2k-1<0，得k<. 4.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2-2)<f(-x)，则x的取值范围是　　　　. 答案　(-2，1) 解析　由x2-2<-x，即x2+x-2<0， 解得-2<x<1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.函数f(x)=|x|，g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是(　　) A.(-∞，0]，(-∞，1] B.(-∞，0]，(1，+∞) C.[0，+∞)，(-∞，1] D.[0，+∞)，[1，+∞) 答案　C 解析　分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)，得f(x)在[0，+∞)上单调递增，g(x)在(-∞，1]上单调递增. 2.已知函数y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，则函数f(x)=bx+a在R上是(　　) A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0 C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0 答案　A 解析　因为y=ax和y=-在(0，+∞)上都单调递减，所以a<0，b<0，所以f(x)=bx+a在R上为减函数且f(0)=a<0. 3.“函数f(x)在区间[1，2]上不单调递增”的一个充要条件是(　　) A.“存在a，b∈[1，2]，使得a<b且f(a)=f(b)” B.“存在a，b∈[1，2]，使得a<b且f(a)≥f(b)” C.“存在a∈(1，2]，使得f(a)≤f(1)” D.“存在a∈(1，2)，使得f(a)≥f(2)” 答案　B 解析　若函数f(x)在区间[1，2]上单调递增， 即任意a，b∈[1，2]，使得a<b且f(a)<f(b)， 则若函数f(x)在区间[1，2]上不单调递增， 即存在a，b∈[1，2]，使得a<b且f(a)≥f(b). 4.(多选)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有<0”的有(　　) A.f(x)=|x-1| B.f(x)=-3x+1 C.f(x)=x2+4x+3 D.f(x)= 答案　BD 解析　∀x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有<0， 则f(x)在(0，+∞)上单调递减， f(x)=|x-1|在(1，+∞)上单调递增，故A错误； f(x)=-3x+1在(0，+∞)上单调递减，故B正确； f(x)=x2+4x+3的对称轴方程为x=-2，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，故C错误； f(x)=在(0，+∞)上单调递减，故D正确. 5.已知函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，且f(2)=-1，则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是(　　) A.(3，+∞) B.(-∞，3) C.[2，3) D.[0，3) 答案　C 解析　∵函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数， 且f(2)=-1， 又∵f(2x-4)>-1=f(2)， ∴0≤2x-4<2，解得2≤x<3， ∴实数x的取值范围是[2，3). 6.已知函数f(x)=x2-mx+3在区间[-1，1]上单调，则实数m的取值范围是(　　) A. B.[-2，2] C. D.(-∞，-2]∪[2，+∞) 答案　D 解析　∵函数f(x)=x2-mx+3的图象的对称轴方程为x=且函数f(x)在[-1，1]上单调， ∴≤-1或≥1， 解得m≤-2或m≥2， 则实数m的取值范围为(-∞，-2]∪[2，+∞). 7.(多选)设函数f(x)是定义在R上的减函数，则下列选项正确的是(　　) A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a-2) C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) 答案　BD 解析　f(x)是定义在R上的减函数，当a>0时，a<2a，f(a)>f(2a)， 当a≤0时，a≥2a，f(a)≤f(2a)，故A错误； 由于a2-(a-2)=>0，则a2>a-2， 所以f(a2)<f(a-2)，故B正确； 当a=0时，a2+a=a，则f(a2+a)=f(a)，故C错误； 由a2+1>a，得f(a2+1)<f(a)，故D正确. 8.(5分)函数y=|x|(1-x)的单调递增区间是　　　　　　　，单调递减区间是　　　　　　　　　. 答案　　(-∞，0)和 解析　y=|x|(1-x)=作出其图象，如图，观察图象知其单调递增区间是单调递减区间是(-∞，0)和. 9.(5分)已知函数y=f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1)，则实数a的取值范围为　　　　　　. 答案　 解析　由题意知解得0<a<即实数a的取值范围是. 10.(10分)画出下列函数的图象，并写出它的单调区间. (1)f(x)=|x+2|；(5分) (2)f(x)=|x2-3x+2|.(5分) 解　(1)如图1， f(x)的单调递增区间为[-2，+∞)， 单调递减区间为(-∞，-2). (2)如图2， f(x)的单调递增区间为和[2，+∞)， 单调递减区间为(-∞，1)和. 11.已知函数f(x)=满足对任意x1，x2∈R，x1≠x2>0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.[-3，0) D.[-3，-2] 答案　D 解析　由题可得，函数 f(x)=在R上是增函数， 则 解得-3≤a≤-2. 12.(多选)已知函数f(x)在R上是减函数，且a+b>0，则下列说法正确的是(　　) A.f(a)+f(b)>0 B.f(a)-f(-b)>0 C.f(-a)-f(b)>0 D.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) 答案　CD 解析　由a+b>0，则a>-b，b>-a，因为函数f(x)在R上是减函数，所以f(a)<f(-b)，f(b)<f(-a)，则f(a)-f(-b)<0，f(-a)-f(b)>0，f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)，故B错误，C，D正确；令f(x)=-x，a=2，b=-1，则f(a)+f(b)=f(2)+f(-1)=-2+1=-1<0，故A错误. 13.(5分)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在(-1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是　　　. 答案　[-3，0] 解析　①当a=0时，f(x)=-3x+1在R上单调递减， ∴a=0满足条件； ②当a≠0时，f(x)=ax2+(a-3)x+1， 对称轴方程为x=- ∴解得-3≤a<0. 由①②得-3≤a≤0，故a的取值范围是[-3，0]. 14.(10分)已知函数f(x)=x-在(1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围. 解　设1<x1<x2，则x1x2>1， ∵函数f(x)在(1，+∞)上单调递增， ∴f(x1)-f(x2)=x1- =(x1-x2)<0. ∵1<x1<x2，∴x1-x2<0，∴1+>0，即a>-x1x2. ∵x1x2>1，∴-x1x2<-1，∴a≥-1. ∴a的取值范围是[-1，+∞). 15.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.若f(x2-2)+f(x)<0，则x的取值范围为　　　　　　. 答案　(-∞，-2)∪(1，+∞) 解析　设x1<x2，则x2-x1>0， 当x>0时，f(x)<0恒成立，则f(x2-x1)<0， ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0，即f(x2)<f(x1)， ∴函数y=f(x)是R上的减函数. 易知f(0)=2f(0)，则f(0)=0. f(x2-2)+f(x)<0⇔f(x2-2+x)<f(0)， ∴x2+x-2>0，解得x>1或x<-2， 故x的取值范围是(-∞，-2)∪(1，+∞). 16.(12分)设函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且满足条件f(4)=1，对于任意x1，x2∈(0，+∞)，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x1≠x2时，有>0. (1)求f(16)的值；(4分) (2)若f(x+6)+f(x)>2，求x的取值范围.(8分) 解　(1)∵对于任意x1，x2∈(0，+∞)，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)， ∴令x1=x2=4，得f(4×4)=f(4)+f(4)=2， ∴f(16)=2. (2)由任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1≠x2时>0， 得f(x)为(0，+∞)上的增函数. 由(1)知，f(16)=2， ∴f(x+6)+f(x)>f(16)， ∴f((x+6)x)>f(16)，∴ 解得x>2，∴x的取值范围是(2，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $