第3章 §3.3 幂函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦幂函数的概念、图象与性质及利用单调性比较幂值大小，通过生活实例引入，对比已学的正比例、反比例等函数模型，系统研究五个常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，形成完整知识脉络与学习支架。 该资料以问题驱动探究，培养数学眼光与思维。通过实例抽象幂函数概念，问题引导分析图象性质，表格梳理规律，例题与跟踪训练结合。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后分层练习帮助学生巩固应用，提升数学表达与问题解决能力，有效查漏补缺。

学习目标　1.掌握幂函数的概念.(重点)2.掌握幂函数y=xα的图象与性质.(重点)3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点) 导语 同学们，到现在为止，我们已经从定义域、值域、单调性、奇偶性等多个角度，深刻地认识了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等特殊的函数模型，了解了它们的性质.今天我们来研究一种新的函数模型——幂函数. 一、幂函数的概念 问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=这里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v= km/s，即v=t-1，这里v是t的函数. 提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数. 知识梳理　幂函数的概念 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 注意点： (1)底数是自变量x. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数. (4)函数的定义域与α有关. 例1　(1)下列函数中是幂函数的有(　　) A.y= B.y=2x2 C.y=x2+x D.y=1 答案　A 解析　因为y==x-2，所以A项是幂函数；y=2x2由于自变量前出现系数2，所以B项不是幂函数；y=x2+x是两项和的形式，所以C项不是幂函数；y=1=x0(x≠0)，可以看出，常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0，1)，所以D项不是幂函数. (2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，求m，n的值. 解　由题意得 解得 所以m=-3或m=1，n=. 反思感悟　幂函数的判断方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，需满足：①底数是自变量x；②幂的系数为1；③α是任意常数.形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5，…形式的函数都不是幂函数. 跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=　　　　. 答案　16 解析　设f(x)=xα，∵f(4)=16，∴4α=16，解得α=2，∴f(x)=x2，∴f(-4)=(-4)2=16. 二、幂函数的图象与性质 问题2　请在同一坐标系下作出y=x，y=x2，y=x3，y=y=x-1这五个函数的图象. 提示　 问题3　根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值或值域、奇偶性、对称性等问题. 知识梳理　五个幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在(-∞，+∞)上单调递增 在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增 在(-∞，+∞)上单调递增 在[0，+∞)上单调递增 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 定点 (1，1) 注意点： 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增； (3)如果α<0，那么幂函数的图象在区间(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，+∞)上，由下往上，幂指数逐渐增大；在(0，1)上，由下往上，幂指数逐渐减小. 例2　(课本例题)证明幂函数f(x)=是增函数. 证明　函数的定义域是[0，+∞). ∀x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，有 f(x1)-f(x2)= = =. 因为x1-x2<0，>0， 所以f(x1)<f(x2)，即幂函数f(x)=是增函数. 例2　已知幂函数f(x)=xα的图象过点P试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间. 解　因为f(x)=xα的图象过点P 所以f(2)=即2α= 解得α=-2， 所以f(x)=x-2，f(x)的图象如图所示， 根据图象可知，函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调递减区间为(0，+∞)，单调递增区间为(-∞，0). 反思感悟　幂函数图象的画法 (1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y=xα在第一象限内的图象. (2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象. 跟踪训练2　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-2 B.2-2 C.--2，2 D.2-2，- 答案　B 解析　根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y=xn递增的速度越快，故C1的n=2，曲线C2的n=；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-曲线C4的n=-2. (2)若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1，0<m<1 C.-1<n<0，m>1 D.n<-1，m>1 答案　B 解析　由图象知，y=xm在(0，+∞)上单调递增， 所以m>0， 由于y=xm的图象增长的越来越慢， 所以m<1， y=xn在(0，+∞)上单调递减， 所以n<0， 又当x>1时，y=xn的图象在y=x-1图象的下方， 所以n<-1. 三、幂函数性质的综合运用* 例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小： ①； ②； ③. 解　①因为幂函数y=x0.3在(0，+∞)上是增函数， 又所以. ②因为幂函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减， 又-<- 所以. ③ 因为幂函数y=在(0，+∞)上单调递增， 又2<所以 即. (2)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4，2). ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 解　①因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数，所以m2-2m+1=1，所以m=2或m=0. 当m=2时，f(x)=图象过点(4，2)； 当m=0时，f(x)=图象不过点(4，2)，舍去. 综上，f(x)=. ②函数f(x)在[0，+∞)上为增函数.证明如下： 设x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)= 因为0≤x1<x2，所以<0， 即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0，+∞)上为增函数. ③因为函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，f(a+1)>f(2a-3)，则解得≤a<4. 所以a的取值范围为. 延伸探究　若本例(2)中幂函数f(x)=(m2-2m+1)在定义域上为减函数. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 解　(1)∵f(x)=(m2-2m+1)为幂函数， ∴m2-2m+1=1， ∴m=2或m=0. 当m=2时，f(x)=在定义域上为增函数，不符合题意； 当m=0时，f(x)=在定义域上为减函数，符合题意. 综上，f(x)=. (2)∵f(x)=在定义域(0，+∞)上为减函数且f(a+1)>f(2a-3)， 则解得a>4， ∴a的取值范围为(4，+∞). 反思感悟　(1)比较幂值大小时，先看幂指数是否相同，如果相同就可以构造幂函数，利用其单调性比较大小；如果幂指数不相同，可以借助中间值比较大小，有时也可以把幂指数化成相同的，再利用单调性比较大小. (2)解决幂函数的综合问题时首先要确定幂指数，然后根据幂指数来分析得到函数的单调性和奇偶性等性质，最后应用上述性质来解决具体的问题. 1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质. 1.若幂函数的图象过点(16，2)，则该幂函数的解析式是(　　) A.y=x4 B.y= C.y=x8 D.y= 答案　B 解析　设y=xα，则16α=2， ∴α=∴y=. 2.已知f(x)=若0<m<n<1，则下列各式中正确的是(　　) A.f(m)<f(n)<f <f  B.f <f <f(n)<f(m) C.f(m)<f(n)<f <f  D.f <f(m)<f <f(n) 答案　B 解析　因为f(x)=在(0，+∞)上单调递减，且0<m<n<1，所以0<m<n<1<所以f <f<f(n)<f(m). 3.如图，函数y=y=x，y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x-2 答案　B 解析　因为幂函数f(x)=xα的图象过④⑧部分， 所以f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减，所以α<0， 又易知当x=2时，f(x)>故B符合题意. 4.若幂函数y=(2m2+m)xm在(0，+∞)上单调递增，则m=　　　　. 答案　 解析　由题意可得2m2+m=1，解得m=-1或m=. 当m=时，y=在(0，+∞)上单调递增，符合题意； 当m=-1时，y=x-1，在(0，+∞)上单调递减，不符合题意，综上所述，m=. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.下列函数：①y=x3；②y=；③y=4x2；④y=x5+1；⑤y=(x-1)2；⑥y=x；⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　②⑦为自变量在指数位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数. 2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点则f(2)等于(　　) A. B.2 C. D. 答案　A 解析　设幂函数为f(x)=xα， ∵幂函数的图象经过点 ∴=4α，∴α=-1，∴f(x)=x-1， ∴f(2)=2-1=. 3.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，+∞)上单调递增，则m等于(　　) A.1 B.2 C.1或3 D.3 答案　C 解析　因为f(x)=x4-m在(0，+∞)上单调递增， 所以4-m>0，所以m<4. 又因为m∈N*，所以m=1，2，3. 又因为f(x)=x4-m是奇函数， 所以4-m是奇数，所以m=1或m=3. 4.设a=b=c=则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a<b<c D.b>c>a 答案　A 解析　∵a=函数y=x-2在(0，+∞)上单调递减，且 ∴即a>b>c. 5.已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为(　　) 答案　C 解析　当x<0时，易知f(x)=x-2为幂函数，在(-∞，0)单调递增； 当x≥0时，易知f(x)=为幂函数，在[0，+∞)单调递增. 故函数f(x)=的图象如图所示. 要得到y=-f(x)，只需将y=f(x)的图象沿x轴对称即可，故C满足题意. 6.(多选)以下结论中，错误的为(　　) A.当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点 C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 答案　ABC 解析　当α=0时，函数y=xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故A不正确；当α<0时，函数y=xα的图象不过(0，0)点，故B不正确；幂函数y=x-1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；D正确. 7.(多选)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4，2)，则(　　) A.α= B.函数f(x)的定义域为(0，+∞) C.函数f(x)为偶函数 D.若x>1，则f(x)>1 答案　AD 解析　由题意得4α=2，则α=故A正确； f(x)=则函数f(x)的定义域为[0，+∞)，且f(x)为非奇非偶函数，故B，C错误； 当x>1时，f(x)>f(1)=1，故D正确. 8.(5分)已知α∈若幂函数y=xα的值域与定义域相同，则α的取值集合为　　　　. 答案　 解析　幂函数的定义域和值域相同时，α的值可以是-11，3， 故α的取值集合为. 9.(5分)不等式(2x+1<(x-3的解集为　　　　　　. 答案　 解析　幂函数f(x)=的定义域为R，且在[0，+∞)上单调递增， 又f(-x)==f(x)， 则f(x)为偶函数， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减， 则由不等式(2x+1<(x-3可得|2x+1|<|x-3|， 整理得3x2+10x-8<0， 即(3x-2)(x+4)<0， 解得-4<x< 则不等式的解集为. 10.(10分)比较下列各组数的大小： (1)；(5分) (2).(5分) 解　(1)函数y=在(0，+∞)上单调递减， 因为3<3.2，所以. (2)函数y=在(0，+∞)上单调递增， 因为所以. 11.(多选)已知幂函数y= (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的取值可能为(　　) A.-1 B.0，2 C.1 D.3 答案　ACD 解析　∵幂函数y= (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2-2m-3≤0，且m2-2m-3(m∈Z)为偶数， 由m2-2m-3≤0，得-1≤m≤3，又m∈Z， ∴m=-1，0，1，2，3. 当m=-1时，m2-2m-3=1+2-3=0，为偶数，符合题意； 当m=0时，m2-2m-3=-3，为奇数，不符合题意； 当m=1时，m2-2m-3=1-2-3=-4，为偶数，符合题意； 当m=2时，m2-2m-3=4-4-3=-3，为奇数，不符合题意； 当m=3时，m2-2m-3=9-6-3=0，为偶数，符合题意， 综上所述，m=-1，1，3. 12.(多选)若a>b>1>c>0>d，则下列不等式不成立的是(　　) A.ad>bd B.dca<dba C.ac>bc D.b<d 答案　ABD 解析　∵d<0，∴幂函数y=xd在(0，+∞)上单调递减， 又a>b>1，∴ad<bd，故A不成立； ∵a>0，∴幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增， 又b>c>0，∴ba>ca， 又d<0，∴dba<dca，故B不成立； ∵c>0，∴幂函数y=xc在(0，+∞)上单调递增， 又a>b>1，∴ac>bc，故C成立； ∵a>b>1，∴>1， ∴幂函数y=在(0，+∞)上单调递增， 又b>c>0，∴>0， 又b>0>d，∴b>0，d<0， ∴b>d故D不成立. 13.(5分)已知函数y=xα的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0，n>0，则的最小值为　　　　　　. 答案　4 解析　函数y=xα的图象恒过定点A(1，1)，且点A在y=mx+n的图象上， 所以m+n=1 ， 因为m>0，n>0， 所以(m+n) =2+≥2+2=4， 当且仅当m=n=时等号成立， 所以的最小值为4. 14.(10分)已知幂函数f(x)=其中m∈(-2，2)，且m∈Z，f(x)满足： ①在区间(0，+∞)上单调递增； ②对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0. 求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0，3]时，f(x)的值域. 解　因为m∈(-2，2)，且m∈Z， 所以m=-1，0，1. 因为对任意的x∈R，都有f(-x)+f(x)=0， 即f(-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数. 当m=-1时，f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②； 当m=0时，f(x)=x3，条件①②都满足； 当m=1时，f(x)=x0，条件①②都不满足. 所以同时满足①②的幂函数f(x)的解析式为f(x)=x3，当x∈[0，3]时，f(x)的值域为[0，27]. 15.(5分)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，对任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)+f(b)的值为负值，则a+b的符号为　　　　，ab的符号为　　　　(填“正”“负”或“任意的”). 答案　负　任意的 解析　由函数f(x)为幂函数可知m2-m-1=1，解得m=-1或m=2.当m=-1时，f(x)=；当m=2时，f(x)=x3.由题意知函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，因此f(x)=x3，在R上单调递增，且满足f(-x)=-f(x)，结合f(-x)=-f(x)以及f(a)+f(b)<0，可知f(a)<-f(b)=f(-b)，所以a<-b，即b<-a，所以a+b<0.当a=0时，b<0，ab=0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab=0(b=0)或ab<0(0<b<-a). 16.(11分)若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数，且在(0，+∞)上单调递减. (1)求实数m的值；(4分) (2)若函数g(x)=x-f(x)，且x∈(0，+∞)， ①判断函数g(x)的单调性，并证明；(4分) ②求使不等式g(2t-1)<g(t)成立的实数t的取值范围.(3分) 解　(1)由题意知m2-3m+3=1，解得m=1或m=2， 当m=1时，幂函数f(x)=x-1，此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意； 当m=2时，幂函数f(x)=x4，此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意； 所以实数m的值为1. (2)①g(x)=x-f(x)=x-g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下： 任取0<x1<x2， 则g(x1)-g(x2)= =(x1-x2)- =(x1-x2) 由0<x1<x2可得x1-x2<0，1+>0， 则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增. ②由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 又由g(2t-1)<g(t)可得 解得<t<1，故实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $