第3章 §3.4 函数的应用(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦函数模型的实际应用这一核心知识点，系统梳理一次函数、二次函数、分段函数等模型的应用方法，以前期函数概念为基础，通过“审题—建模—求模—还原”四步流程构建从理论到实践的学习支架，结合具体实例深化理解。 该资料以生活问题为载体，通过“情境引入—例题解析—反思感悟—跟踪训练”环节，引导学生用数学眼光观察现实（如电信收费、水果销售中的数量关系），用数学思维推理建模（如二次函数最值的推导），用数学语言表达结论（如分段函数解析式书写）。课中助力教师高效授课，课后通过对点练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

学习目标　1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.(重点)2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题.(难点) 用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型. (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)求模：求解数学模型，得到数学结论. (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中. 可将这些步骤用框图表示如图. 一、一次函数模型的应用 例1　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 解　(1)由图象可设y1=k1x+30(k1≠0)，y2=k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1=k1x+30，y2=k2x，得k1=k2=. ∴y1=x+30(x≥0)，y2=x(x≥0). (2)令y1=y2，即x+30=x，则x=90. 当x=90时，y1=y2，两种卡收费一致； 当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜. 反思感悟　应用一次函数模型解决实际问题的注意点 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线，解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解. (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 跟踪训练1　某小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米，如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过　　　　平方米. 答案　80 解析　设李明家的建筑面积为x平方米，选择两种方案所需缴纳的供暖费分别为y1，y2元，按照方案(1)，李明家需缴纳供暖费y1=60×4=240(元)；按照方案(2)，李明家需缴纳供暖费y2=3x元.由题意得3x≤240，解得x≤80，所以李明家的建筑面积最多不超过80平方米. 二、二次函数模型的应用 例2　某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解　(1)根据题意，得y=90-3(x-50)，化简， 得y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55，x∈N). (3)因为w=-3x2+360x-9 600 =-3(x-60)2+1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大. 又50≤x≤55，x∈N，所以当x=55时，w有最大值，最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元. 反思感悟　利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立二次函数模型解析式后，可结合实际问题确定定义域，利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)注意点：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 跟踪训练2　张先生在进行理财投资时了解到以下信息：投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式； (2)为进行理财投资，张先生已经准备20万元资金，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益？最大收益是多少万元？ 解　(1)设稳健型产品和风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2(x≥0)， 结合已知得f(1)=k1=0.125，g(1)=k2=0.5， 所以f(x)=0.125x(x≥0)，g(x)=0.5(x≥0). (2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20-x)万元，依题意得获得收益为y=f(x)+g(20-x)=0.125x+0.5(0≤x≤20)， 令t=(0≤t≤2)， 则x=20-t2，所以y==-(t-2)2+3，所以当t=2，即x=16时，y取得最大值，ymax=3. 故当投资稳健型产品16万元，投资风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益为3万元. 三、分段函数模型的应用 例3　(课本例2)一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示， (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象. 解　(1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360 km. (2)根据题图，有 s= 这个函数的图象如图所示. 例3　某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足80台时，C(x)=x2+40x，当年产量不小于80台时，C(x)=101x+-2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润. 解　(1)当0<x<80时，y=100x- -500=-x2+60x-500； 当x≥80时，y=100x--500=1 680- 于是y= (2)由(1)可知当0<x<80时， y=-(x-60)2+1 300， 当x=60时，y取得最大值为1 300； 当x≥80时，y=1 680-≤1 680-2=1 500， 当且仅当x=即x=90时， y取最大值为1 500， 综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元. 反思感悟　应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 跟踪训练3　已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t(单位：时)满足0<t≤24，t∈N.经测算，当16≤t≤24时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为5 000，当0<t<16时，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与t(16-t)成正比，且时间为6时，候车人数为3 800，记候车厅候车人数为f(t). (1)求f(t)的表达式，并求当天中午11点时，候车厅候车人数； (2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供免费面包，数量为P=+400，则当t为何值时，需要提供的免费面包数量最少？ 解　(1)当0<t<16时，设f(t)=5 000-kt(16-t)， f(6)=3 800，则k=20， f(t)=t∈N， f(11)=5 000-20×11×5=3 900， 故当天中午11点时，候车厅候车人数为3 900. (2)当0<t<16时， P=+400=20+80≥20×2+80=480， 当且仅当t=10时等号成立； 当16≤t≤24时， P=+400≥+400≈483. 又483>480， 所以当t=10时，需要提供的免费面包数量最少. 1.知识清单： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)= 幂函数模型 f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0) 2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法. 3.常见误区：函数的实际应用问题易忽略函数的定义域. 1.某药品两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式是(　　) A.y=m(1-x)2 B.y=m(1-2x) C.y=2m(1-x) D.y=m(1-x2) 答案　A 解析　第一次降价后价格为m(1-x)，第二次降价后价格变为y=m(1-x)(1-x)=m(1-x)2. 2.据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　) A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 答案　D 解析　因为自行车为x辆， 所以电动车为(4 000-x)辆， 存车总收入y=0.2x+0.3(4 000-x) =-0.1x+1 200. 3.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示，若某户居民本月缴纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是(　　) 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3的部分 6元/m3 A.13 m3 B.14 m3 C.15 m3 D.16 m3 答案　B 解析　由题意知，该户居民每月缴纳的水费y(元)与用水量x(m3)的关系式为y=若本月用水量为12 m3，则需要缴纳水费36元，少于48元，则该居民本月用水量超过12 m3，则48=6x-36，解得x=14，故此户居民本月用水量为14 m3. 4.2025年春节假期，国内旅游业迎来了“开门红”，某旅游景区投放市场的广告费x(万元)与景区利润y(万元)存在的关系为y=xα(α为常数).其中由于经费限制，广告费不超过5万元，已知往年投入广告费为3万元时，景区利润为27万元，若今年广告费投入5万元，预计今年景区利润为　　　　万元. 答案　125 解析　由已知得，当投入广告费用为3万元时， 景区利润为27万元，代入y=xα中， 即3α=27，解得α=3， 故函数关系式为y=x3， 所以当x=5时，y=125. 课时对点练 [分值：75分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　) A.y=2t B.y=120t C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0) 答案　D 解析　因为90 min=1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y=120t(t≥0). 2.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q=100-5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A.15元 B.13元 C.11元 D.10元 答案　B 解析　设每天获利y元，则y=(100-5x)(x-6)-100=-5(x-13)2+145， 由x>0，Q=100-5x≥0，得0<x≤20， 故当x=13时，每天获利最大. 3.某品种面包进价5元/个，据市场调查，当销售价格x(元/个)在x∈[5，15]时，每天售出该面包个数p(x)=若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　　) A.9元 B.11元 C.13元 D.15元 答案　D 解析　设每天的利润为y元，则y=(x-5)×=500×5≤x≤15，显然此函数在[5，15]上单调递增，故当x=15时，y取得最大值. 4.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y=f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　) A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 答案　C 解析　由图象知， 当0≤x≤4时，设直线y=k1x，把点(4，320)代入得k1=80，所以y=80x； 当4<x≤20时，设y=f(x)=k2x+b， 将点(4，320)和(20，0)代入得 解得此时y=f(x)=-20x+400， 所以f(x)= 当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4， 当4<x≤20时，令y=-20x+400≥240， 解得4<x≤8，所以3≤x≤8， 故第二次服药最迟的时间应为8小时后， 即下午4：00. 5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 答案　B 解析　根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式， 得解得 ∴p=-0.2t2+1.5t-2.0=-. 当t==3.75时，p取得最大值， 即最佳加工时间为3.75分钟. 6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为(　　) A.x=15，y=12 B.x=12，y=15 C.x=14，y=10 D.x=10，y=14 答案　A 解析　结合图形，可得得y=24-则矩形面积S=xy=x=-+24x，所以当x=-=15时，S最大，此时y=24-×15=12. 7.(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(单位：千元)、乙厂的总费用y2(单位：千元)与印制证书数量x(单位：千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(　　) A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1 C.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为2元 D.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=x+ 答案　ABD 解析　由题图知甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；甲厂的总费用y1与印制证书数量x满足的函数关系式为y1=0.5x+1，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5(元)，故C错误；易知当印制证书数量超过2千个时，y2与x之间的函数关系式为y2=x+故D正确. 8.(5分)在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为　　　　　　安. 答案　135 解析　设比例系数为k，则电流强度I=kr3， 由已知可得当r=4时，I=320， 故有320=43k，解得k=5， 所以I=5r3， 则当r=3时，I=5×33=135(安). 9.(5分)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，则汽车与A地的距离y与时间t之间的函数关系式是　　　　　　　　. 答案　 y= 解析　由题意，得A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地需2.5 h，以50 km/h的速度由B地返回A地需3 h.所以当0≤t≤2.5时，y=60t；当2.5<t≤3.5时，y=150；当3.5<t≤6.5时，y=150-50(t-3.5)=-50t+325.故 y= 10.(12分)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示. 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 解　由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶， 设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 在此情况下的日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶). 令520-40x>0，则0<x<13. y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200 =-40(x-6.5)2+1 490，0<x<13. 易知，当x=6.5时，y有最大值. 所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润. 11.(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)=则下列说法正确的是(　　) A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 答案　ABC 解析　由函数解析式可知f(x)随着x的增大而减小，故A正确；由图象可得B正确；当1<x≤30时，f(x)=则f(9)==0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26)=×2故D错误. 12.(多选)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系：y=-x+40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25元时，直播在线购买人数为2 015人.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，则(　　) A.实数m的值为10 000 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 C.当x的值为30时利润最大 D.利润最大值为10 000元 答案　ABC 解析　将x=25，y=2 015代入y=-x+40， 得2 015=-25+40， 解得m=10 000，故A正确； 因为y=-x+40是减函数，故B正确； 由题意，得利润为f(x)=(x-20)=-x2+60x+9 200=-(x-30)2+10 100， 所以当x=30时，利润最大，最大利润为10 100元，故C正确，D错误. 13.(5分)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价收费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需收取燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费　　　　元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了　　　　千米. 答案　14.59　9 解析　设出租车行驶x千米时，付费y元， 则y= 当x=5.6时，y=8+2.15×2.6+1=14.59. 由y=22.6，知x>8， 由8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6， 解得x=9. 学科网（北京）股份有限公司 $