第3章 3.1.1 函数的概念(一)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数的概念（一），核心知识点包括函数的定义及三要素（定义域、对应关系、值域），区间表示数集的方法，以及函数定义域与函数值的求解。从初中函数概念引入，通过问题链抽象出集合语言下的函数要素，再学习区间表示，最后应用于定义域和函数值计算，构建递进式学习支架。 该资料以问题驱动概念建构，通过4个实际问题分析共同点抽象函数本质，体现数学眼光的抽象能力。设计多选辨析（如例1判断函数对应关系）和图象判断，培养数学思维的推理意识。用表格呈现区间类型及数轴表示，规范数学语言表达。课中助教师引导学生理解概念，课后练习题覆盖基础与拓展，帮助学生巩固查漏。

3.1.1　函数的概念(一) 学习目标　1.理解函数的概念，了解构成函数的要素.(重点)2.能正确使用区间表示数集.3.会求函数的定义域与函数值.(难点) 导语 在初中，我们已经知道函数是用来刻画在某个变化过程中，自变量和因变量之间的变化规律的，给定自变量的某个取值，我们可以求得对应因变量的取值.这节课我们将在初中函数概念的基础上，应用集合语言和对应关系进一步刻画函数，从而建立更加准确的函数概念. 一、函数的概念 请同学们阅读课本P60-P62的问题-问题4，回答以下问题. 问题1　课本提出的问题1和问题2有什么异同点？这说明什么？ 提示　问题1和问题2都使用同一个解析式来表示了相应的实际问题，但是两个问题有不同的实际背景，这说明这两个函数有相同的对应关系，但是自变量的取值范围会有区别. 问题2　课本问题3和问题4中是否提到了函数？请指出它们与问题1和问题2中的函数表示方式上的区别. 提示　也提到了函数.但是与问题1和问题2中的函数给出的方式不相同，问题1和问题2是用解析式给出的函数，问题3和问题4是用图象和表格呈现出来的，变量间的对应关系比解析式更直观、形象. 问题3　通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么共同点吗？ 提示　①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示；②都有一个对应关系；③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 知识梳理 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.已学函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域是；当a<0时， 值域是. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}. 注意点： (1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式. (4)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 例1　(1)(多选)下列能表示从集合A到集合B的函数的是(　　) A.A={-1，0，1}，B={0，1}，f：A中的数平方 B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数开方 C.A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数 D.A=R，B={x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 答案　AD 解析　按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义. (2)下列图象能够作为函数y=f(x)的图象的有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案　A 解析　由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象，(2)(3)(4)对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象. 反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 跟踪训练1　设P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤4}，对于下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数关系的是(　　) 答案　B 解析　由函数的定义知A的定义域不是P，不符合题意；B符合函数的定义，符合题意；C中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值，不符合函数定义；D中，当x=2时，有两个值与之对应，不符合函数定义. 二、区间的概念 知识梳理　设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 注意点： (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集. (2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)“∞”是一个符号，而不是一个数. 例2　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥-1}； (2){x|x<0}； (3){x|-1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. 解　(1){x|x≥-1}=[-1，+∞). (2){x|x<0}=(-∞，0). (3){x|-1<x<1}=(-1，1). (4){x|0<x<1或2≤x≤4}=(0，1)∪[2，4]. 反思感悟　用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“，”隔开. (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. (4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 跟踪训练2　(1)集合{x|-2<x≤2且x≠0}用区间表示为　　　　. 答案　(-2，0)∪(0，2] (2)已知区间(a2+a+1，7]，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　(-3，2) 解析　由题意可知a2+a+1<7， 即a2+a-6<0， 解得-3<a<2， 所以实数a的取值范围是(-3，2). 三、求函数的定义域与值 例3　(课本例2)已知函数f(x)=， (1)求函数的定义域； (2)求f(-3)，f 的值； (3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值. 解　(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}.所以，这个函数的定义域是 {x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3，且x≠-2}， 即［-3，-2)∪(-2，+∞). (2)将-3与代入解析式，有 f(-3)==-1； f. (3)因为a>0，所以f(a)，f(a-1)有意义. f(a)=； f(a-1)=. 例3　(1)求下列函数的定义域： ①y=3-x；②y=； ③y=；④y=. 解　①函数y=3-x的定义域为R. ②由于0的零次幂无意义，故x+1≠0，即x≠-1. 又x+2>0，即x>-2， 所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}. ③要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤5且x≠±3， 所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}. ④要使函数有意义，则 即 解不等式组得-1≤x<1. 所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}. (2)已知函数f(x)=x+则f(2)=　　　；当a≠-1时，f(a+1)=　　　　　　. 答案　　a+1+ 解析　f(2)=2+. 当a≠-1时，a+1≠0， 所以f(a+1)=a+1+. 延伸探究　在例3(2)中，若f(b)=则b=　　　　. 答案　或2 解析　由f(b)=b+ 得b≠0，(2b-1)(b-2)=0， 解得b=或b=2. 反思感悟　(1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义. (2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示. (3)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得. ②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解. 1.知识清单： (1)函数的概念与三要素. (2)用区间表示数集. (3)函数的定义域与函数值. 2.方法归纳：定义法、图象法. 3.常见误区：函数概念的理解. 1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　) A.A={x|-1≤x≤1}，B={y|-1≤y≤1}，x2+y2=1 B.A={1，2，3，4}，B={0，1}，对应关系如图： C.A=R，B=R，f：x→y= D.A=Z，B=Z，f：x→y= 答案　B 解析　A错误，x2+y2=1可化为y=±显然存在x∈A，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，-1∈A，在B中找不到与之相对应的数. 2.函数f(x)=(x-1)0+的定义域为(　　) A.(1，+∞) B.(-2，+∞) C.(-2，1)∪(1，+∞) D.R 答案　C 解析　易知 解得x>-2且x≠1， 所以函数f(x)的定义域为(-2，1)∪(1，+∞). 3.已知函数f(x)=则f 等于(　　) A. B. C.a D.3a 答案　D 解析　f =3a. 4.若区间[a-1，a]关于原点对称，则a=　　　　. 答案　 解析　由已知得a-1=-a，解得a=. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.区间(0，1]等于(　　) A.{0，1} B.{(0，1]} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} 答案　C 2.下列图象中，不能作为y=f(x)的函数图象的是(　　) 答案　D 解析　任作一条垂直于x轴的直线，移动直线此直线与函数图象至多有一个交点，选项D不满足函数图象的要求. 3.已知函数f(x)=若f(a)=2，则a的值为(　　) A. B. C. D.- 答案　A 解析　由f(a)=2，得=2，解得a=. 4.已知函数f(x)由下表给出，则f 的值为(　　) x x≤1 1<x<2 x≥2 y 1 2 3 A.0 B.1 C.2 D.3 答案　D 解析　因为<1，所以f =1，则10f =10>2， 故f=f(10)=3. 5.函数y=的定义域为(　　) A.(-∞，3] B.[0，3] C.(0，2)∪(2，3) D.[0，2)∪(2，3] 答案　D 解析　由题意，得 解得0≤x≤3且x≠2. 故函数的定义域为[0，2)∪(2，3]. 6.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B={y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可以看作是从A到B的函数关系的是(　　) A.f：x→y=x B.f：x→y=x C.f：x→y=x D.f：x→y=x 答案　ABC 解析　根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确. 7.(多选)下列四种说法中，正确的有(　　) A.函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 答案　ACD 解析　由函数定义知，A，C，D正确，B不正确. 8.(5分)若函数f(x)的定义域为[2a-1，a+1]，值域为[a+3，4a]，则a的取值范围为　　　　. 答案　(1，2) 解析　由区间的定义知 解得1<a<2. 9.(5分)已知一枚炮弹发射后距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h=130t-5t2，则该函数的定义域为　　　　. 答案　[0，26] 解析　由题意可知130t-5t2≥0， 所以0≤t≤26，即函数h=130t-5t2的定义域为[0，26]. 10.(10分)已知f(x)=g(x)=x2+1，x∈R. (1)求f(2)，g(2)的值；(5分) (2)求f(g(3))的值.(5分) 解　(1)f(2)=g(2)=22+1=5. (2)f(g(3))=f(32+1)=f(10)=. 11.已知集合A={1，2，k}，B={4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y=3x+1，则k的值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　C 解析　根据对应关系为y=3x+1，3×1+1=4，3×2+1=7，由题意可得3×k+1=3k+1=10， 所以k=3. 12.已知函数f(x)=+bx-3，且f(-1)=-1，则f(1)的值为(　　) A.-5 B.-3 C.-1 D.1 答案　A 解析　因为 f(-1)=-a-b-3=-1， 所以 a+b=-2， 所以f(1)=a+b-3=-2-3=-5. 13.(5分)已知集合A=B={0，1，2，3}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有　　　　种. 答案　15 解析　由函数的定义知，此函数可分为四类： 若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况； 若函数是三对一对应，则值域有{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共6种情况； 若函数是二对一对应，则值域有{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，共4种情况； 若函数是一对一对应，则值域为{0，1，2，3}，共1种情况. 综上，该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种). 14.(11分)(1)求y=的定义域；(3分) (2)求f(x)=的定义域；(4分) (3)若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围.(4分) 解　(1)要使函数有意义， 则 所以x2=1，即x=±1，从而函数的定义域为{x|x=±1}={1，-1}. (2)要使函数有意义，必须满足 即解得 所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}. (3)由题意可知，关于x的不等式ax2+ax+1≥0在R上恒成立. 当a=0时，1≥0恒成立，所以a=0符合题意； 当a≠0时，则⇒0<a≤4. 所以实数a的取值范围为[0，4]. 15.(5分)已知函数f(x)的定义域为A={1，2，3，4}，值域为B={7，8，9}，且对任意的x<y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有　　　　个. 答案　3 解析　由题意知，当1，2对应7时，3对应8，4对应9； 当1对应7时，2，3对应8，4对应9； 当1对应7时，2对应8，3，4对应9，所以一共有3个. 16.(12分)已知函数f(x)对任意正实数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立. (1)求f(1)的值；(4分) (2)若f(2)=a，f(3)=b(a，b均为常数)，求f(36)的值.(8分) 解　(1)令x=y=1，则f(1)=2f(1)，∴f(1)=0. (2)令x=2，y=3，则f(6)=f(2)+f(3)=a+b， 令x=y=6，则f(36)=2f(6)=2(a+b)， ∴f(36)=2(a+b). 学科网（北京）股份有限公司 $