第3章 3.1.1 函数的概念(二)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数概念深化，核心知识点包括同一函数的判断、抽象函数定义域及简单函数值域的求解。通过“如何确定一个函数”的问题导入，衔接函数概念基础，以定义域和对应关系为支架，构建前后知识脉络。 其亮点在于通过课本例题与变式练习，结合数学思维中的推理能力和运算能力，如抽象函数定义域的整体代换、值域求法中的配方法与换元法。课堂小结归纳知识清单与方法，帮助学生形成系统认知，教师可借助梯度练习提升教学效率。

3.1.1 函数的概念(二) 第三章　§3.1函数的概念及其表示 <<< 1.会判断两个函数是否为同一个函数.(重点) 2.会求抽象函数的定义域.(难点) 3.会求简单函数的值域.(重点) 学习目标 一、同一个函数 二、求抽象函数的定义域 课时对点练 三、求简单函数的值域 随堂演练 内容索引 同一个函数 一 提示　有确定的定义域和对应关系即能确定一个函数. 结合函数的概念，如何才能确定一个函数？ 问题 　(课本例3)下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？ (1)y=( 例 1 y=()2=x(x∈{x|x≥0})，它与函数y=x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. 解 6 ； u==v(v∈R)它与函数y=x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y=x(x∈R)是同一个函数. 解 7 (3)y= y=它与函数y=x(x∈R)的定义域都是实数集R， 但是当x<0时，它的对应关系与函数y=x(x∈R)不相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. 解 8 . m==n(n∈{n|n≠0})，它与函数y=x(x∈R)的对应关系相同但定义域不 相同.所以这个函数与函数y=x(x∈R)不是同一个函数. 解 9 　(多选)下列各组函数表示同一个函数的是 A.f(x)=g(x)= B.f(x)=g(x)= C.f(x)=g(x)=x+3 D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)=80x(0≤x≤5) 例 1 √ √ 10 A项，f(x)=g(x)=不是同一个函数，对应关系不同； B项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同； C项，f(x)=|x+3|，g(x)=x+3，不是同一个函数，对应关系不同； D项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 解析 11 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2)若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 反 思 感 悟 12 　下列各组函数中是同一个函数的是 A.y=x+1与y= B.y=x2+1与s=t2+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2 跟踪训练 1 A，C选项中两函数的定义域不同， D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D中不是同一个函数； B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数. 解析 √ 13 二 求抽象函数的定义域 　(1)函数y=f(x)的定义域是[-1，3]，则f(2x+1)的定义域为　　　　. 例 2 令-1≤2x+1≤3，解得-1≤x≤1， 所以f(2x+1)的定义域为[-1，1]. 解析 [-1，1] 15 (2)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则y=f(x)的定义域是 A.[-1，1] B.[-5，13] C.[-5，1] D.[-1，13] 由题意知，-2≤x≤4，所以-5≤3x+1≤13， 所以y=f(x)的定义域是[-5，13]. 解析 √ 16 　若函数f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则f(2x+1)的定义域为 　　　　. 延伸探究 由例2(2)知，f(x)的定义域为[-5，13]， 令-5≤2x+1≤13，解得-3≤x≤6， 所以f(2x+1)的定义域为[-3，6]. 解析 [-3，6] 17 抽象函数的定义域 (1)若函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集. (2)若函数f(g(x))的定义域为[c，d]，则f(x)的定义域即为g(x)在[c，d]上的值域. 反 思 感 悟 18 求简单函数的值域 三 求下列函数的值域： (1)y=-1； 例 3 ∵≥0，∴-1≥-1， ∴y=-1的值域为[-1，+∞). 解 20 (2)y=x2-4x+6，x∈[1，5]； 配方得y=(x-2)2+2. ∵x∈[1，5]， ∴2≤y≤11，即函数的值域为[2，11]. 解 21 (3) y=x+； 令t=(t≥0)，则x=. y=+t=-t2+t+=-(t-1)2+1. ∵t≥0，∴当t=1，即x=0时，函数取得最大值，ymax=1， ∴函数y=x+的值域为(-∞，1]. 解 22 (4) y=. y==2+ ∵≠0，故y≠2， ∴函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞). 解 23 求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域. 反 思 感 悟 24 　求下列函数的值域： (1)y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}； 跟踪训练 2 ∵y=2x+1，且x∈{1，2，3，4，5}， ∴y∈{3，5，7，9，11}. ∴函数的值域为{3，5，7，9，11}. 解 25 (2)y=； 设t=-2x2+x+3，t≥0， 则t=-2 ∴0≤t≤ ∴0≤y≤ ∴函数的值域为. 解 26 (3)y=x4+2x2+3； 令x2=t，则t≥0，y=t2+2t+3=(t+1)2+2， ∵t≥0，∴(t+1)2≥1， ∴y≥3，∴函数的值域为[3，+∞). 解 27 (4) y=. ∵y==3+≠3， ∴函数的值域为(-∞，3)∪(3，+∞). 解 28 1.知识清单： (1)同一个函数. (2)抽象函数的定义域. (3)简单函数的值域. 2.方法归纳：换元法、配方法、分离常数法，整体代换. 3.常见误区： (1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域. (2)求函数值域时忽略函数的定义域. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)已知四组函数，其中是同一个函数的是 A.f(x)=x，g(x)=()2 B.f(x)=x，g(x)= C.f(n)=2n-1，g(n)=2n+1(n∈N) D.f(x)=x2-2x-1，g(t)=t2-2t-1 √ √ 对于A，定义域不同； 对于C，对应关系不同； 对于BD，定义域与对应关系都相同. 解析 1 2 3 4 2.函数y=x2-2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为 A.{-1，0，3} B.{0，1，2，3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} √ 由对应关系y=x2-2x得， 0→0，1→-1，2→0，3→3， 所以值域为{-1，0，3}. 解析 1 2 3 4 3.已知函数f(x)=则对任意实数x，函数f(x)的值域是 A.(0，2) B.(0，2] C.[0，2) D.[0，2] √ 依题意，f(x)==2- 显然2x2+1≥1， 则0<≤2，于是0≤2-<2， 所以函数f(x)的值域是[0，2). 解析 1 2 3 4 4.已知函数f(x)的定义域为(-1，1)，则函数g(x)=f+f(x-2)的定义域为 A.(0，2) B.(1，2) C.(2，3) D.(-1，1) 由题意知 解得1<x<2. 解析 √ 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A CD A B A B AB [0，1) 题号 9 11 12 13 15 答案 [0，+∞) CD ABD C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)f(x)= 得解得-3≤x≤1， ∴函数f(x)=的定义域为[-3，1]， 由-3≤x+1≤1，得-4≤x≤0，即函数f(x+1)的定义域为[-4，0]. (2)∵函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]， ∴-1<x≤6，则-2<3x+1≤19，即函数f(x)的定义域为(-2，19]， 由-2<2x-5≤19，得<x≤12，∴f(2x-5)的定义域为. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在.理由如下： f(x)=x2-x+(x-1)2+1图象的对称轴为x=1，顶点为(1，1)且开口向上.∵m>1， ∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有m2-m+=m， 即m2-4m+3=0，∴m=3或m=1(舍)， ∴存在实数m=3满足条件. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=的定义域为R， ∴关于x的不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R， ∴当m=1时，不等式为 1≥0，解集为R，符合题意； 当m=-1时， 不等式为2x+1>0，解集不为R，不符合题意； 当 m≠±1 时，要使不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R， 则 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得m≤-或m>1， 综上所述，实数m的取值范围是∪[1，+∞)， ∴A=. ∵f(x)=的值域为[0，+∞)， 设 f(x)=(u≥0)，值域为[0，+∞)， 则u=(m2-1)x2+(1-m)x+1 的值域能取到[0，+∞)，即umin≤0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m2-1>0时，m>1或m<-1且Δ=(1-m)2-4(m2-1)≥0，解得-≤m<-1； 当 m=-1 时，u=(m2-1)x2+(1-m)x+1=2x+1，其值域能取到[0，+∞)，故 m=-1成立； 当m=1或m2-1<0时，不符合题意， 综上，-≤m≤-1， 即B=. 基础巩固 1.函数f(x)=2x+1，x∈[0，1]的值域是 A.[1，3] B.(1，3) C.[2，3] D.[0，2] √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)=2x+1的图象(图略)知，图象整体是上升的， 当x∈[0，1]时，f(0)=1，f(1)=3， 所以值域为[1，3]. 解析 2.(多选)下列各组函数为同一个函数的是 A.f(x)=x，g(x)= B.f(x)=1，g(x)=(x-1)0 C.f(x)=g(x)= D.f(t)=g(t)=t+4(t≠4) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； 对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数. 解析 3.已知函数f(x)的定义域为[-1，2]，则f(3-2x)的定义域为 A. B.[-1，2] C.[-1，5] D. √ 由于函数f(x)的定义域为[-1，2]， 故-1≤3-2x≤2，解得≤x≤2， 即函数f(3-2x)的定义域为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若集合A={y|y=x2-1}，B={y|y=-x2-2x}，则A∩B等于 A.(-1，1) B.[-1，1] C.(-1，1] D.[-1，1) √ 集合A={y|y=x2-1}={y|y≥-1}， B={y|y=-x2-2x}={y|y=-(x+1)2+1}={y|y≤1}， 则A∩B=[-1，1]. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.函数y=(x≥0)的值域为 A.[-1，1) B.[-1，1] C.[-1，+∞) D.[0，+∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y==1+. ∵x≥0，∴x+1≥1，∴0<≤1， ∴-2≤<0， ∴-1≤1+<1. ∴函数y=(x≥0)的值域为[-1，1). 解析 6.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1，2]，则y=f(x)的定义域是 A. B.[-3，3] C.[-1，5] D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵y=f(-2x+1)的定义域为[-1，2]，即-1≤x≤2， ∴-3≤-2x+1≤3， ∴y=f(x)的定义域为[-3，3]. 解析 √ 7.(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是 A.y= B.y=2-x C.y= D.y=-|x| 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由“[a，b]交汇函数”的定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1]. 对于选项A，y=的定义域A=(-∞，1]，值域B=[0，+∞)，则A∩B=[0，1]，A正确； 对于选项B，y=2-x的定义域A=[0，+∞)，令t=≥0，则x=t2，y=2t-t2=-(t-1)2+1≤1，即函数的值域B=(-∞，1]，则A∩B=[0，1]，B正确； 对于选项C，y= ∵(x-1)2≥0，∴(x-1)2+1≥1， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴0<≤1，∴函数的定义域A=R，值域B=(0，1]，则A∩B=(0，1]，C错误； 对于选项D，y=-|x|的定义域A=[-1，1]，y2=1-x2+x2-2|x|=1-2 ∵-1≤x≤1，∴0≤x2(1-x2)≤则0≤y2≤1，∴-1≤y≤1， 即值域B=[-1，1]，则A∩B=[-1，1]，D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=的定义域是　　　　. 因为函数f(x)的定义域是[0，2]， 所以0≤2x≤2且x≠1，故g(x)的定义域是[0，1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [0，1) 9.函数y=x-2的值域为　　　　　. 令t=(t≥0)，则x=t2+1， y=t2+1-2t=(t-1)2， ∵t≥0，∴y=(t-1)2≥0， ∴函数的值域为[0，+∞). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [0，+∞) 10.(1)已知函数f(x)=求函数f(x+1)的定义域； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)= 得解得-3≤x≤1， ∴函数f(x)=的定义域为[-3，1]， 由-3≤x+1≤1，得-4≤x≤0，即函数f(x+1)的定义域为[-4，0]. 解 (2)已知函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]，求f(2x-5)的定义域. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵函数f(3x+1)的定义域为(-1，6]， ∴-1<x≤6，则-2<3x+1≤19，即函数f(x)的定义域为(-2，19]， 由-2<2x-5≤19，得<x≤12，∴f(2x-5)的定义域为. 解 11.(多选)下列各组函数是同一个函数的是 A.f(x)=与g(x)=x B.f(x)=x与g(x)= C.f(x)=x0与g(x)= D.f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，两个函数的定义域均为{x|x≤0}，但f(x)==|x|= -x与g(x)=x的对应关系不同，故不是同一个函数； 对于B，g(x)==|x|与f(x)=x的定义域均为R，但对应关系不同，故不是同一个函数； 对于C，两个函数的定义域都是{x|x≠0}，且f(x)=x0=1，g(x)==1，两 个函数的对应关系也相同，故是同一个函数； 对于D，f(x)=3x2+4x-2与g(t)=3t2+4t-2的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数. 解析 12.(多选)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当-≤x≤时， 下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为 A.y=x，x∈{-1，0，1，2，3} B.y=2x，x∈ C.y=x∈ D.y=x2-1，x∈{0，12} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈时，f(x)=-1， 当x∈[0，1)时，f(x)=0， 当x∈[1，2)时，f(x)=1， 当x∈[2，3)时，f(x)=2， 当x∈时，f(x)=3， 所以当x∈时，f(x)的值域为{-1，0，1，2，3}， y=x，x∈{-1，0，1，2，3}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故A正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y=2x，x∈该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故B正确； y=x∈该函数的值域为{-1，1，2，3，4}，故C错误； y=x2-1，x∈{0，12}，该函数的值域为{-1，0，1，2，3}，故D正确. 解析 13.若A={y|y=x2-2x+2}，且a∈A，则的取值范围是　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A={y|y=x2-2x+2}={y|y=(x-1)2+1}={y|y≥1}， 又a∈A，则a≥1， 所以a+2≥3，所以0<. 解析 14.已知函数f(x)=x2-x+是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在.理由如下： f(x)=x2-x+(x-1)2+1图象的对称轴为x=1，顶点为(1，1)且开口向上. ∵m>1， ∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有m2-m+=m， 即m2-4m+3=0，∴m=3或m=1(舍)，∴存在实数m=3满足条件. 解 15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y=2x2+1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y=2x2+1，x∈{-2}；②y=2x2+1，x∈{2}；③y=2x2+1，x∈{-2，2}.那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2x2+1=1解得x=0； 由2x2+1=5解得x=± 所以值域为{1，5}的自变量集合有{0，-}，{0}，{0，-}， 所以值域为{1，5}的“孪生函数”共有3个：y=2x2+1，x∈{0，-}；y=2x2+1，x∈{0}；y=2x2+1，x∈{0，-}. 解析 16.已知使函数f(x)=的定义域为R的实数m的取值集合为A，使得函数f(x)的值域为[0，+∞)的实数m的取值集合为B.求集合A，B. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=的定义域为R， ∴关于x的不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R， ∴当m=1时，不等式为 1≥0，解集为R，符合题意； 当m=-1时， 不等式为2x+1>0，解集不为R，不符合题意； 当 m≠±1 时，要使不等式(m2-1)x2+(1-m)x+1≥0的解集为R， 则 解得m≤-或m>1， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上所述，实数m的取值范围是∪[1，+∞)， ∴A=. ∵f(x)=的值域为[0，+∞)， 设 f(x)=(u≥0)，值域为[0，+∞)， 则u=(m2-1)x2+(1-m)x+1 的值域能取到[0，+∞)，即umin≤0. 当m2-1>0时，m>1或m<-1且Δ=(1-m)2-4(m2-1)≥0，解得-≤m<-1； 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 m=-1 时，u=(m2-1)x2+(1-m)x+1=2x+1，其值域能取到[0，+∞)，故 m=-1成立； 当m=1或m2-1<0时，不符合题意， 综上，-≤m≤-1， 即B=. 解 第三章　§3.1函数的概念及其表示 <<< $