第2章 习题课 不等式恒成立、能成立问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦不等式恒成立与能成立问题这一核心知识点，系统梳理从R上恒成立（基础）到给定范围恒成立（进阶）再到能成立问题（拓展）的递进脉络，以判别式法、分离参数法、数形结合法为学习支架，构建完整解题体系。 该资料通过例题解析-反思感悟-跟踪训练的闭环设计，培养学生数学思维（如例1分类讨论提升推理能力）和数学语言表达（如例2用二次函数图象构建模型）。课中辅助教师分层教学，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

习题课　不等式恒成立、能成立问题 学习目标　会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.(重点) 一、在R上的恒成立问题 例1　已知∀x∈R，不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 解　当k=0时，原不等式化为-2<0，显然符合题意； 当k≠0时，令y=kx2+2kx-(k+2)， ∵y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点. ∴解得-1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|-1<k≤0}. 反思感悟　转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 跟踪训练1　若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　. 答案　{a|a≤-1或a≥4} 解析　原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0对x∈R恒成立， ∴不等式x2-2x+a2-3a-3≥0的解集为R， 则Δ=4-4(a2-3a-3)≤0， 解得a≤-1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}. 二、在给定范围上的恒成立问题 例2　当1≤x≤2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围. 解　令y=x2+mx+4， ∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y=0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 解得m<-5， ∴实数m的取值范围是{m|m<-5}. 反思感悟　在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 跟踪训练2　命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 答案　B 解析　因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}， x2-a≤0”是真命题， 所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4， 结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 三、解决简单的能成立问题 例3　当1<x<2时，关于x的不等式x2+mx+4>0有解，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 答案　{m|m>-5} 解析　记y=x2+mx+4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2+mx+4>0(1<x<2)有解，即m+5>0或2m+8>0，解得m>-5. 反思感悟　解决能成立问题的方法 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题. (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 跟踪训练3　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围. 解　∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0， ∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立， ∴m≥2x2-8x+6能成立， 又2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2， ∴m≥-2， ∴实数m的取值范围为{m|m≥-2}. 1.知识清单： (1)在R上的恒成立问题. (2)给定范围上的恒成立问题. (3)解决简单的能成立问题. 2.方法归纳：等价转换法、数形结合法. 3.常见误区：要注意端点值的取舍. 1.若关于x的不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≥2} B.{m|m≤-2} C.{m|m≤-2或m≥2} D.{m|-2≤m≤2} 答案　D 解析　不等式x2+mx+1≥0的解集为R， 则Δ=m2-4≤0， 解得-2≤m≤2， 故实数m的取值范围是{m|-2≤m≤2}. 2.若对于任意x∈R都有意义，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≥2} B.{m|0<m≤2} C.{m|0≤m≤2} D.{m|0≤m≤4} 答案　C 解析　令y= 当m=0时，函数y=符合题意； 当m≠0时，mx2+2mx+2≥0恒成立， 则 解得0<m≤2， 综上，实数m的取值范围是{m|0≤m≤2}. 3.若当1≤x≤2时，x2-ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 答案　D 解析　x2-ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x-a>0在1≤x≤2上恒成立， 故1-a>0，即a<1. 4.若命题“∃x∈R，x2-2mx+m+2<0”为真命题，则实数m的取值范围是　　　　. 答案　m<-1或m>2 解析　“∃x∈R，x2-2mx+m+2<0”为真命题， 故Δ=4m2-4(m+2)>0， 解得m<-1或m>2. 课时对点练 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共35分) 1.一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数的条件是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数等价于二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要 2.已知关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A.{a|-4≤a≤4} B.{a|-4<a<4} C.{a|a≤-4或a≥4} D.{a|a<-4或a>4} 答案　A 解析　由题意得，Δ=a2-16≤0，解得-4≤a≤4. 3.若当1≤x≤4时，不等式x2-(m+1)x+9≤0有解，则实数m的最小值为(　　) A.9 B.5 C.6 D. 答案　B 解析　因为当1≤x≤4时， 不等式x2-(m+1)x+9≤0有解， 所以m+1≥x+有解， 又因为x+≥2=6， 当且仅当x=即x=3时取等号， 所以当1≤x≤4时，x+的最小值为6， 所以m+1≥6，即m≥5，故m的最小值为5. 4.对任意x满足-1≤x≤2，不等式x2-2x+a<0恒成立的一个必要不充分条件是(　　) A.a<-3 B.a<-4 C.a<0 D.a>0 答案　C 解析　因为x2-2x+a<0， 所以a<-x2+2x， 又因为-1≤x≤2， 所以-x2+2x=-(x-1)2+1≥-3， 所以a<-3， 又因为求“对任意x满足-1≤x≤2，不等式x2-2x+a<0恒成立的一个必要不充分条件”. 所以C正确. 5.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　) A.{a|-1≤a≤4} B.{a|-1<a<4} C.{a|a≤-1或a≥4} D.{a|-4≤a≤1} 答案　A 解析　由于-x2+4x=-(x-2)2+4≤4， 又因为-x2+4x≥a2-3a在R上有解， 只需a2-3a≤4，解得-1≤a≤4， 则实数a的取值范围为{a|-1≤a≤4}. 6.若两个正实数x，y满足=1，且不等式x+<m2-3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|-1<m<4} B.{m|m<0或m>3} C.{m|-4<m<1} D.{m|m<-1或m>4} 答案　D 解析　因为正实数x，y满足=1， 所以x+=2+≥2+2=4，当且仅当x=2，y=8时，等号成立，x+取得最小值4. 由x+<m2-3m有解，可得m2-3m>4， 解得m>4或m<-1. 7.在R上定义运算：x⊗y=x(1-y)，若∃x∈R，使得(x-a)⊗(x+a)>1成立，则实数a的取值范围是(　　) A.a<-或a> B.-<a< C.-<a< D.a<-或a> 答案　A 解析　由题意知(x-a)⊗(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a=-+a2-a+ 若∃x∈R，使得不等式(x-a)⊗(x+a)>1 成立， 则需函数y=-+a2-a+的最大值大于1， 即当x=时，y=a2-a+>1， 解得a<- 或a>. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 8.若命题“∃x∈R，(k2-1)x2+2(k-1)x-1>0”是假命题，则k的值可能为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　AB 解析　由题知“∀x∈R，(k2-1)x2+2(k-1)x-1≤0”是真命题， 若k2-1=0，则k=1或k=-1， 当k=1时，-1<0恒成立， 当k=-1时，-4x-1≤0不恒成立； 若k2-1<0，Δ=4(k-1)2+4(k2-1)≤0，解得0≤k<1， 综上，0≤k≤1. 9.已知不等式2kx2+kx-<0，下列说法正确的是(　　) A.若k=1，则不等式的解集为 B.若不等式对∀x∈R恒成立，则整数k的取值集合为 C.若不等式对0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围是-<x< D.若恰有一个整数x使得不等式成立，则实数k的取值范围是k≥ 答案　BCD 解析　当k=1时，2kx2+kx-=2x2+x-<0，解得-<x<故选项A错误； 若不等式对∀x∈R恒成立，则当k=0时，-<0恒成立，当k≠0时，2k<0， Δ=k2-4×2k×<0，解得-3<k<0，则-3<k≤0，则整数k的取值集合为{-2，-1，0}，故选项B正确； 若不等式对0≤k≤1恒成立，由2kx2+kx-<0，得(2x2+x)k-<0，(2x2+x)×1-<0，(2x2+x)×0-<0，则-<x<故选项C正确； 若恰有一个整数x使得不等式成立，则k>0，又因为-<0，所以使不等式成立的整数x=0， 设2kx2+kx-=0对应的两个根为x1，x2，x1<x2，则-1≤x1<0，0<x2≤1， 所以解得k≥故选项D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.若关于x的不等式x2+(m-3)x+m<0无解，则实数m的取值范围是　　　　. 答案　{m|1≤m≤9} 解析　由题意得Δ=(m-3)2-4m =m2-10m+9≤0， 解得1≤m≤9. 11.若关于x的不等式ax2-2x+1<0有解，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　{a|a<1} 解析　因为ax2-2x+1<0有解，显然a≤0时满足题意； 又由解得0<a<1， 综上，a<1. 12.已知函数y=mx2-mx-6+m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，则实数x的取值范围为　　　　　　. 答案　 解析　y<0⇔mx2-mx-6+m<0⇔(x2-x+1)m-6<0. ∵1≤m≤3，∴x2-x+1<恒成立， (*) 又1≤m≤3，∴2≤≤6. 若使(*)式恒成立，只需x2-x+1<2， ∴x2-x-1<0⇔<x<. ∴实数x的取值范围为. 四、解答题(共28分) 13.(13分)对于∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2-mx-1<0恒成立，求m的取值范围. 解　由不等式mx2-mx-1<0， 得m(x2-x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2-x>0， 所以m(x2-x)<1可化为m< 因为x2-x=≤6， 所以所以m<. 即m的取值范围是. 14.(15分)已知关于x的不等式2x2+bx+c<20的解集为{x|-4<x<1}. (1)求b，c的值；(7分) (2)若当2<x<4时，关于x的不等式2x2+bx+c<mx有解，求实数m的取值范围.(8分) 解　(1)由题意知，2x2+bx+c-20<0的解集为{x|-4<x<1}， ∴-4和1是方程2x2+bx+c-20=0的两个根， 由根与系数的关系可得 解得 (2)∵当2<x<4时，关于x的不等式2x2+6x+12<mx有解， ∴m>2x++6有解， 当2<x<4时，2x++6≥2+6=4+6，当且仅当x=时，等号成立， ∴m>4+6. 学科网（北京）股份有限公司 $