第2章 §2.2 第2课时 基本不等式的应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式的应用，系统梳理利用“1”的代换、分离消元、换元等方法求最值，结合不等式证明及实际问题解决，构建从基础应用到变式延伸再到现实建模的学习支架。 资料通过一题多解（如例1两种求最值方法）和递进式探究（延伸探究1-6），培养学生数学思维，实际问题（矩形围栏、贮水池造价）设计引导用数学眼光观察现实，课中辅助教师高效授课，课后训练助力学生查漏补缺。

第2课时　基本不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(重点)2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(难点)3.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.(难点) 一、利用基本不等式求复杂式子的最值问题 例1　若x>0，y>0，且=1，则x+y的最小值为　　　　. 答案　16 解析　方法一　(巧用“1”的代换求最值) ∵=1，x>0，y>0， ∴x+y=(x+y)=10+≥10+2=16， 当且仅当即x=4，y=12时，等号成立. 即x+y的最小值为16. 方法二　(分离消元法求最值) ∵=1， ∴y==9+ ∵x>0，y>0，∴x>1， ∴x+y=x+9+=(x-1)++10 ≥2+10=16， 当且仅当x-1=即x=4时，等号成立， 此时，y=12，x+y的最小值为16. 延伸探究1　若x>0，y>0，x+y=1，则的最小值为　　　　　　　　. 答案　16 解析　∵x+y=1，x>0，y>0， ∴(x+y)=10+≥10+2=16， 当且仅当即x=y=时，等号成立， 即的最小值为16. 延伸探究2　若x>0，y>0，xy=9x+y，则x+y的最小值为　　　　　. 答案　16 解析　∵x>0，y>0，xy=9x+y，∴=1， 由例1可知，x+y的最小值为16. 延伸探究3　若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则x+y的最小值为　　　　　　. 答案　12 解析　由xy=9x+y-8得(x-1)(y-9)=1， 又x>1，y>9， ∴x+y=(x-1)+(y-9)+10 ≥2+10=12， 当且仅当x-1=y-9=1，即x=2，y=10时，等号成立，即x+y的最小值为12. 延伸探究4　若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则xy的最小值为　　　　　　. 答案　16 解析　由xy=9x+y-8得y= ∴xy=x· 令t=x-1，则x=t+1且t>0， ∴xy=(t+1)· ==9t++10 ≥2+10=16， 当且仅当9t=即t=即x=y=12时，等号成立，即xy的最小值为16. 反思感悟　(1)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. (2)对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. (3)当式子的一部分(比如分母)比较复杂时，可以通过换元简化表达式. 二、利用基本不等式证明不等式 例2　已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1， 所以-1= 同理-1≥-1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得=8， 当且仅当a=b=c=时，等号成立. 延伸探究5　本例的条件不变，求证：≥9. 证明　 = =3+≥3+2+2+2=9， 当且仅当a=b=c=时，等号成立. 反思感悟　利用基本不等式证明不等式的策略 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤(a>0，b>0)可变形为ab≤等.同时要从整体上把握基本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用. (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件. (3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式. 跟踪训练1　已知a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 证明　由基本不等式可得 a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2， 同理，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2c2a2， 则(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4) ≥2a2b2+2b2c2+2c2a2， 从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2， 当且仅当a2=b2=c2时，等号成立. 三、基本不等式在实际问题中的应用 例3　(课本例3)(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解　设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y)m. (1)由已知得xy=100.由， 可得x+y≥2=20，所以2(x+y)≥40， 当且仅当x=y=10时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m. (2)由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy m2. 由=9，可得xy≤81， 当且仅当x=y=9时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2. 例3　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. 解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y)m. 方法一　由已知得xy=16， 由可知x+y≥2=8， 所以2(x+y)≥16， 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二　由已知xy=16，得y= 所以2(x+y)=2≥2×2=16. 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 延伸探究6　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解　由已知得2(x+y)=12， 故x+y=6，面积为xy， 由=3， 可得xy≤9， 当且仅当x=y=3时，等号成立. 因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值.利用基本不等式求最值； (3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 跟踪训练2　(课本例4)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解　设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元.根据题意，有 z=150×+120(2×3x+2×3y) =240 000+720(x+y). 由容积为4 800 m3，可得3xy=4 800， 因此xy=1 600. 所以z≥240 000+720×2， 当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297 600. 所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元. 跟踪训练2　某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ 注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=. 解　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为. 设每平方米的平均综合费用为y元， 则y=560+48x+=560+48. 当x+取最小值时，y有最小值. ∵x>0，∴x+≥2=30， 当且仅当x=即x=15时，等号成立. ∴当x=15时，y有最小值2 000. 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 1.知识清单： (1)巧用“1”的代换求最值问题. (2)分离消元法求最值. (3)利用基本不等式证明不等式. (4)基本不等式在实际问题中的应用. 2.方法归纳：消元法、换元法、常数代换法. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误. 1.已知a>0，b>0，a+b=2，则的最小值是(　　) A. B.4 C. D.5 答案　C 解析　∵a>0，b>0，a+b=2， ∴=1， ∴+2 当且仅当b=2a，即a=b=时取等号. 2.若正实数x，y满足xy+3x=3，则12x+y的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　∵x>0，y>0，xy=3-3x>0， ∴0<x<1，y= ∴12x+y=12x+=12x+-3 ≥2-3=9， 当且仅当即x=时取等号， ∴12x+y的最小值为9. 3.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　) A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 答案　C 解析　设矩形模型的长和宽分别为x，y， 则x>0，y>0， 由题意可得2(x+y)=8， 所以x+y=4， 所以矩形模型的面积S=xy≤=4，当且仅当x=y=2时，等号成立， 所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2. 4.已知x，y是正数且x+y=1，则的最小值为(　　) A. B. C.2 D.3 答案　B 解析　由x+y=1，得(x+2)+(y+1)=4， 即[(x+2)+(y+1)]=1， ∴ =[(x+2)+(y+1)] = ≥×(5+4)= 当且仅当 即x=y=时等号成立. ∴的最小值为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若x>0，y>0，且=1，则x+y的最小值是(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　x+y=(x+y)=5+ ≥5+2=9， 当且仅当即x=3，y=6时取等号， 故x+y的最小值是9. 2.某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 答案　B 解析　由题意得，A(1+a)(1+b)=A(1+x)2， 则(1+a)(1+b)=(1+x)2， 因为(1+a)(1+b)≤ 所以1+x≤=1+ 所以x≤当且仅当a=b时取等号. 3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+n=a+则m+n的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　∵a>0，b>0，ab=1， ∴m+n=b++a+=(a+b)+=2a+2b≥2=4， 当且仅当a=b=1时，等号成立. 即m+n的最小值为4. 4.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y+的最小值为(　　) A.10 B.6 C.4 D.9 答案　A 解析　由xy=x+4y，得=1， 所以x+y+=(x+y)+1=4+1++1≥6+2=6+4=10， 当且仅当x=6，y=3时，等号成立， 所以x+y+的最小值为10. 5.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　) A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 答案　B 解析　设BC=a，CD=b， 因为矩形的面积为4，所以ab=4， 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 2a+b=2a+≥2=4 当且仅当2a=即a=时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4. 6.已知正实数x，y满足=1，则4xy-3x的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　B 解析　由x>0，y>0，且=1， 可得xy=x+y. 所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y. 又因为x+4y=(x+4y) =5+≥9， 当且仅当即x=3，y=时取等号， 所以4xy-3x的最小值为9. 7.(多选)已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是(　　) A.的最小值是2 B.xy的最大值是1 C.x2+y2的最小值是4 D.x(y+1)的最大值是2 答案　AB 解析　因为正数x，y满足x+y=2， 所以(x+y) ==2， 当且仅当即x=y=1时，等号成立， 所以的最小值是2，故A正确； 因为正数x，y满足x+y=2， 所以xy≤=1， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以xy的最大值是1，故B正确； 由得x2+y2≥2， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以x2+y2的最小值是2，故C错误； x(y+1)≤ 当且仅当即x=y=时，等号成立， 所以x(y+1)的最大值是故D错误. 8.(5分)若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是　　　　. 答案　 解析　由a2+2ab=1可得b= 所以a2+b2=a2+ ≥2 当且仅当a2=时，等号成立. 9.(5分)设0<x<1，则当取得最小值时，x的值是　　　　. 答案　 解析　由0<x<1，得1-x>0，由基本不等式可得=[(1-x)+x]· =+5 ≥2+5=9， 当且仅当即x=时，等号成立. 10.(10分)已知a>0，b>0，且a+b=求证：a+b≥2. 证明　由a>0，b>0， 则a+b= 由于a+b>0，则ab=1，即a+b≥2=2， 当且仅当a=b=1时，等号成立， 所以a+b≥2. 11.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为(　　) A.3 B.8 C.4 D.9 答案　A 解析　由题意p=7，则S==3 当且仅当7-b=7-c，即b=c=4时，等号成立， 所以此三角形面积的最大值为3. 12.(多选)若x>0，y>0，x+2y=1，则下列说法正确的是(　　) A.xy的最大值是 B.的最小值是8 C.4x2+y2的最小值为 D.的最小值是4 答案　AB 解析　∵x+2y=1≥2 ∴xy≤当且仅当 即时等号成立，故A正确； (x+2y)=4+ ≥4+2=8， 当且仅当时等号成立，故B正确； 4x2+y2=4(1-2y)2+y2=17y2-16y+4 =17 当且仅当y=时等号成立，故C错误； =2≥4， 当且仅当xy=1时等号成立，而0<xy≤∴等号不成立，故D错误. 13.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为　　　　. 答案　400 解析　由题意设矩形花园的长为x，宽为y(x>0，y>0)， 则矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以又因为AG=BC=40， 所以AF=DE=x，FG=y，所以x+y=40， 由基本不等式x+y≥2得xy≤400， 当且仅当x=y=20时，等号成立，矩形花园面积最大，最大值为400. 14.(11分)设a，b均为正数，且a+b=1. (1)求a2+b2-4ab的最小值；(5分) (2)证明：a+2b+-9≥0.(6分) (1)解　∵a，b均为正数，且a+b=1， ∴a2+b2-4ab=(a+b)2-6ab=1-6ab， ∵a+b=1≥2∴0<ab≤ 1-6ab≥1-=-当且仅当a=b=时等号成立， ∴a2+b2-4ab的最小值为-. (2)证明　a+2b+=a+2b+ ==(a+b)=5+≥5+2=9， 当且仅当且a+b=1，即a=b=时，等号成立， 故不等式a+2b+-9≥0. 15.(5分)若x，y是正实数，(x-y)2=(xy)3，则的最小值为　　　　　　. 答案　2 解析　因为(x-y)2=(xy)3且x，y是正实数，所以两边同时除以(xy)2，得=xy，又因为=xy+≥2=4，当且仅当xy=即时等号成立，所以=2. 16.(12分)已知正实数a，b满足a+2b+5=ab，且不等式恒成立，求实数m的取值范围. 解　因为正实数a，b满足 a+2b+5=ab 所以m≥ =- =-(2a+b)， 而(2a+b)=+10 ≥2+10=18， 当且仅当即a=b=时取等号， 所以-(2a+b)≤-18， 所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}. 学科网（北京）股份有限公司 $