第1章 1.5.1 全称量词与存在量词（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，从命题基本概念出发，通过含变量语句引入量词作用，系统梳理全称/存在量词定义、命题形式及真假判断，构建从概念到应用的学习支架。 资料以问题情境引发思考，通过实例分析培养数学思维中的推理能力，用符号表达强化数学语言，课中助力教师引导学生层层深入，课后通过对点练帮助学生查漏补缺，提升逻辑素养。

1.5.1　全称量词与存在量词 学习目标　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.(重点)2.理解存在量词、存在量词命题的定义.(重点)3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.(难点) 导语 命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题，你能想到这样的例子吗？但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，使其成为命题，就可以判断真假，我们把这样的短语称为量词.本节课我们将学习全称量词和存在量词. 一、全称量词与全称量词命题 问题1　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 知识梳理　全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 例1　(课本例1)判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R，|x|+1≥1； (3)对任意一个无理数x，x2也是无理数. 解　(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)∀x∈R，总有|x|≥0，因而|x|+1≥1.所以，全称量词命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是真命题. (3)是无理数，但()2=2是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题. 例1　判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A=cos B； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 解　(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题，真命题. (2)省略了全称量词，可以表示为∀n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，真命题. (3)含有全称量词“所有的”，故是全称量词命题.对于任意二次函数，它的图象的开口都向上是假命题. 反思感悟　(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为真命题，就要证明集合M中每个元素x，都能使p(x)成立；若证明全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为假命题，则需要举个反例，即在集合M中找到一个元素，使p(x)不成立. 跟踪训练1　判断下列全称量词命题的真假. (1)任何实数都有算术平方根； (2)∀x∈{y|y是无理数}，x2是无理数. 解　(1)负数没有算术平方根，假命题.(2)x=是无理数，但x2=2是有理数，假命题. 二、存在量词与存在量词命题 问题2　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 提示　容易判断(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题. 知识梳理　存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 例2　(课本例2)判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数x，使x2+2x+3=0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解　(1)由于Δ=22-4×3=-8<0，因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2+2x+3=0”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 例2　判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假. (1)某个四边形不是平行四边形； (2)方程3x-2y=10有整数解； (3)有一个实数x，使x2+2x+4=0. 解　(1)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形.真命题. (2)可改写为存在一对整数x，y，使3x-2y=10成立.故为存在量词命题.真命题. (3)存在量词命题，由于Δ=22-4×4=-12<0，因此方程无实根.假命题. 反思感悟　(1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别. (2)若证明存在量词命题“∃x∈M，p(x)”为真命题，则只要在集合M中找到一个元素x，使 p(x)成立即可；若集合M中的所有的元素，都不能使结论成立，则可判断命题是假命题. 跟踪训练2　判断下列存在量词命题的真假. (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2)至少有一个整数n，使得n2+n为奇数； (3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数. 解　(1)菱形的对角线互相垂直，真命题. (2)n2+n=n(n+1)，故n和n+1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题. (3)当x=π时，x2仍是无理数，真命题. 三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围 例3　已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|6-m≤x≤m+3}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠∅，所以 解得≤m≤3. 即m的取值范围为. 延伸探究1　将本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，求出实数m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，所以A⊆B， 因为B≠∅，所以解得m≥9. 即m的取值范围为{m|m≥9}. 延伸探究2　把本例中的命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围. 解　p为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以6-m≤m+3，即m≥. 当m≥时，6-m≤m+3≥ 故∈B， 所以A∩B≠∅，满足题意， 故m的取值范围为. 反思感悟　依据含量词命题的真假求参数取值范围的策略 (1)含参数的全称量词命题为真时，常将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解. 1.知识清单： (1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念. (2)含量词的命题的真假判断. (3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围. 2.方法归纳：定义法、转化法. 3.常见误区：忽略有些命题省略了量词. 1.(多选)下列命题是全称量词命题的是(　　) A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R，x2+1=0 答案　AC 解析　选项A中的命题含有全称量词“任意一个”，是全称量词命题；选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题. 2.下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.存在没有最大值的二次函数 答案　D 解析　D选项是存在量词命题. 3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A.∀a∈N，方程ax+1=0有实数根 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a，b，若a-b≤0，则a≤b D.存在一个实数x，使等式x2-2x+1=0成立 答案　C 解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，当a=0时，方程ax+1=0无实数根，故A错误，故应选C. 4.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0.若p为真命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 答案　{a|a≤1} 解析　由题意可得，当p为真命题时，方程x2+2x+a=0有实根，即22-4a≥0，得a≤1，故实数a的取值范围是{a|a≤1}. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为(　　) A.∀x∈R，x2≥0 B.∃x∈R，x2≥0 C.∀x∈R，x2>0 D.∃x∈R，x2>0 答案　A 解析　命题“实数的平方不小于零”为全称量词命题，可以表示为∀x∈R，x2≥0. 2.(多选)下列命题中是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　) A.有一个x∈R，使得x2>3成立 B.对有些x∈R，x2>3成立 C.任选一个x∈R，都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立 答案　ABD 解析　命题“∃x∈R，x2>3”中∃x∈R表示有些、有一个、存在一个、至少有一个的意思，是存在量词命题，故选项A，B，D正确； 选项C中任选一个x∈R，表示对所有的x∈R，是全称量词命题，故选项C不正确. 3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A.∀x∈R，2x+1>0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 答案　C 解析　对A，是全称量词命题，当x=-1时，2x+1=-1<0，所以是假命题，故A不正确； 对B，是全称量词命题，当x=-1时，2x为偶数，但-1∉N，所以是假命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确. 4.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，|x|=0 B.∃x∈R，2x-10=1 C.∀x∈R，x3>0 D.∀x∈R，x2+1>0 答案　C 解析　当x=0时，x3=0，故选项C为假命题. 5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使>2 答案　B 解析　A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，令n=2，2n2+5n+2=20，能被2整除，所以B是存在量词命题又是真命题；C中，因为+(-)=0，所以C是假命题；D中，对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题. 6.已知命题p：∃x∈R，x2+2x-a=0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a>-1 B.a<-1 C.a≥-1 D.a≤-1 答案　B 解析　依题意得，方程x2+2x-a=0无实根， 所以必有Δ=4+4a<0，解得a<-1. 7.(多选)下列是真命题的是 (　　) A.存在x∈Q，使4-x2=0 B.存在x∈R，使x2+x+1=0 C.至少有一个正整数是偶数 D.有的有理数没有倒数 答案　ACD 解析　对于选项A，x=2符合题意，选项A为真命题；对于选项B，由于x2+x+1=>0恒成立，选项B为假命题；对于选项C，2符合题意，选项C为真命题；对于选项D，0没有倒数，选项D为真命题. 8.(5分)命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为　　　　　　　　　　　　. 答案　∃x<0，(1+x)(1-9x)2>0 解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”. 9.(5分)若命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　由题意，“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题， 根据二次函数的图象与性质， 可得Δ=(-3)2-4×9a<0，解得a>. 10.(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数t>0且<t；(2分) (2)存在实数x，使得x2-3x-4=0；(2分) (3)存在实数对(x，y)，使得3x-4y-5>0；(3分) (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3分) 解　(1)为全称量词命题，且为假命题， 如取t=1，则<t不成立. (2)为存在量词命题，且为真命题， 因为判别式Δ=b2-4ac=25>0， 所以存在实数x，使得x2-3x-4=0. (3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x-4y-5>0成立. (4)为全称量词命题，且为真命题. 11.(多选)已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，则下列命题为真命题的是(　　) A.∃x∈A，x∈B B.∃x∈B，x∉A C.∀x∈A，x∉B D.∀x∈B，x∈A 答案　AD 解析　因为集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，所以B是A的真子集，所以“∃x∈A，x∈B”“∀x∈B，x∈A”为真命题. 12.已知集合A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 答案　C 解析　当该命题是真命题时，a≥(x2)max，因为x∈A={x|1≤x≤2}，又当1≤x≤2时，x2的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故a≥5是该命题为真命题的一个充分不必要条件. 13.(5分)已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x+1”，命题q：“∃x∈R，2x2+5x+a=0”，若p，q均是真命题，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案　 解析　由∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x+1，得a≥3； 由∃x∈R，2x2+5x+a=0，即方程2x2+5x+a=0有实根，则Δ=25-8a≥0，解得a≤ 又p，q均是真命题， 则3≤a≤所以实数a的取值范围是. 14.(10分)已知命题“∃x∈{x|-3≤x≤2}，3a+x-2=0”为真命题，求实数a的取值范围. 解　由3a+x-2=0，得3a-2=-x， ∵-3≤x≤2，∴-2≤-x≤3， ∴-2≤3a-2≤3，即0≤a≤ 故实数a的取值范围是. 15.(5分)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2-ab+b=0”是真命题的一组有序数对(a，b)为　　　　. 答案　(2，4)(答案不唯一) 解析　由a2-ab+b=0，得ab-b=a2，即b(a-1)=a2，则b=(a≠1). 当a=2时，b=4，能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2-ab+b=0”是真命题. 16.(12分)已知M={x|a≤x≤a+1}， (1)若“∀x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围；(6分) (2)若“∃x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)∀x∈M，x+1>0是真命题，即a+1>0，解得a>-1， 所以实数a的取值范围是a>-1. (2)“∃x∈M，x+1>0”是真命题，即a+1+1>0， 解得a>-2， 所以实数a的取值范围是a>-2. 学科网（北京）股份有限公司 $