第1章 §1.3 第2课时 全集、补集及综合运用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“全集、补集及综合运用”核心知识点，从集合研究范围的确定切入，通过方程解集在不同范围的差异引入全集，对比子集关系引出补集概念，系统梳理补集的文字、符号、图形语言及性质，进而过渡到交并补综合运算和参数范围问题，构建从概念到应用的递进学习支架。 该资料以问题情境激发探究，如通过方程解集差异培养数学眼光，借助Venn图、数轴直观分析发展数学思维，用符号语言精准表达补集强化数学语言。课中例题分层设计（如延伸探究改变全集）助力教师突破重难点，课后课时对点练覆盖选择、填空、解答题，帮助学生查漏补缺，巩固知识应用能力。

第2课时　全集、补集及综合运用 学习目标　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(难点) 导语 在研究问题时，我们经常需要确定研究问题的范围，比如方程(x-2)(x2-3)=0，在有理数范围内，解集为{2}；在实数范围内，解集为{2-}.那么我们在研究集合问题时，如果在不同的范围内研究，是不是可能会得到不同的结果呢？ 一、全集与补集 问题　若U={2-}，A={2}，B={-}，集合U与集合A，B之间有什么关系？ 提示　集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B=∅，A∪B=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系. 知识梳理 1.全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU=∅，∁U∅=U； (3)∁U(∁UA)=A； (4)A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅ 注意点： (1)“全集”不是固定不变的，是可以随着具体问题的改变而改变的. (2)补集是集合的一种运算，求集合A的补集时需要首先明确全集，且保证集合A是全集U的子集，当全集U不同时，得到的A的补集也不同，因此补集和全集是相互依存、不可分割的. (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 例1　(课本例5)设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁UA，∁UB. 解　根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA={4，5，6，7，8}，∁UB={1，2，7，8}. 例1　(1)设U={x|x是小于7的自然数}，A={2，3，4}，B={1，5，6}，求∁UA，∁UB. 解　根据题意可知，U={0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA={0，1，5，6}，∁UB={0，2，3，4}. (2)已知A=R，B={x|0<x≤5}，求∁AB. 解　由题意可知∁AB={x|x≤0或x>5}. 延伸探究1　若把例1(2)中的“A=R”改为“A={x|0≤x<9}”，求∁AB. 解　由题意可知∁AB={x|x=0或5<x<9}. 反思感悟　两种求补集的方法 (1)若所给的集合是用列举法表示的，则从全集中去掉集合A中元素后的剩余元素组成的集合即为所求补集，也可以采用Venn图求解. (2)若所给的集合是用描述法表示的，我们需要明确该集合具体表示的是什么，如果是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍. 跟踪训练1　(1)若集合A={x|-1≤x<1}，当U={x|x≤2}时，∁UA=　　　　，当U={x|-4≤x≤1}时，∁UA=　　　　. 答案　{x|x<-1或1≤x≤2}　{x|-4≤x<-1或x=1} 解析　当U={x|x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示. 由图知∁UA={x|x<-1或1≤x≤2}. 当U={x|-4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示. 由图知∁UA={x|-4≤x<-1或x=1}. (2)(多选)已知U为全集，若A∩B=A，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.(∁UA)⊆(∁UB) D.(∁UB)⊆(∁UA) 答案　AD 解析　因为A∩B=A，所以A⊆B，故A正确，B错误； 所以(∁UB)⊆(∁UA)，故C错误，D正确. 二、交、并、补集的综合运算 例2　若在例1(2)的条件中增加“C={x|-1≤x<3}”，求： (1)(∁AB)∩(∁AC)； (2)∁A(B∪C)； (3)∁A(B∩C)； (4)(∁AB)∪(∁AC). 解　由数轴(图略)可得 ∁AB={x|x≤0或x>5}，∁AC={x|x<-1或x≥3}， B∪C={x|-1≤x≤5}，B∩C={x|0<x<3}. (1)(∁AB)∩(∁AC)={x|x<-1或x>5}. (2)∁A(B∪C)={x|x<-1或x>5}. (3)∁A(B∩C)={x|x≤0或x≥3}. (4)(∁AB)∪(∁AC)={x|x≤0或x≥3}. 反思感悟　(1)进行集合的交、并、补运算时，要首先明确题目中包含哪些运算，再依据各自的定义，并结合集合的表示形式，选择用Venn图法或数轴法来求解. (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算. (3)从上面的例题我们可以得到以下两个结论：①(∁AB)∩(∁AC)=∁A(B∪C)，②∁A(B∩C)=(∁AB)∪(∁AC)，同学们可以用Venn图验证上面的结论. 跟踪训练2　(1)设全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，则(∁UA)∩B等于(　　) A.{6} B.{5，8} C.{6，8} D.{3，5，6，8} 答案　B 解析　∵∁UA={3，5，8}，∴(∁UA)∩B={5，8}. (2)(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 答案　A 解析　由题意可得M∪N={x|x<2}， 则∁U(M∪N)={x|x≥2}，故A正确； ∁UM={x|x≥1}， 则N∪∁UM={x|x>-1}，故B错误； M∩N={x|-1<x<1}， 则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1}，故C错误； ∁UN={x|x≤-1或x≥2}， 则M∪∁UN={x|x<1或x≥2}，故D错误. 三、利用集合间的关系求参数范围 例3　已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若(∁UA)∩B=B，求实数m的取值范围. 解　因为A={x|x≤-2或x≥3}， 所以∁UA={x|-2<x<3}， 因为(∁UA)∩B=B， 所以B⊆(∁UA). ①当B=∅时，即2m+1≥m+7， 所以m≥6，满足(∁UA)∩B=B. ②当B≠∅时，则无解. 故实数m的取值范围是{m|m≥6}. 延伸探究2　若把本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为“(∁UA)∪B=B”，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 答案　 解析　因为(∁UA)∪B=B， 所以(∁UA)⊆B， 所以 解得-4≤m≤- 故实数m的取值范围为. 反思感悟　由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解. 1.知识清单： (1)全集与补集及性质. (2)交、并、补集的综合运算. (3)利用集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点. 1.设全集U={x|x是小于5的非负整数}，A={2，4}，则∁UA等于(　　) A.{1，3} B.{1，3，5} C.{0，1，3} D.{0，1，3，5} 答案　C 2.设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{x|x≤2或x>3} D.{x|-2≤x≤2} 答案　A 解析　由题图可知，阴影部分表示的集合为∁U(M∪N)， ∵M∪N={x|x<-2或x≥1}， ∴∁U(M∪N)={x|-2≤x<1}. 3.已知全集U={-1，1，3}，集合A={a+2，a2+2}，且∁UA={-1}，则a的值是(　　) A.-1 B.1 C.3 D.±1 答案　A 解析　由已知A={1，3}， 又∵a2+2>1，∴a2+2=3且a+2=1，∴a=-1. 4.已知U={x|x>0}，A={x|2≤x<6}，则∁UA= 　　　　　　　　. 答案　{x|0<x<2或x≥6} 解析　如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA={x|0<x<2或x≥6}. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则∁AB等于(　　) A.{x|x是菱形} B.{x|x是内角都不是直角的菱形} C.{x|x是正方形} D.{x|x是邻边都不相等的矩形} 答案　B 解析　由集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则∁AB={x|x是内角都不是直角的菱形}. 2.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B=则∁A(A∩B)等于(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 答案　D 解析　因为A={1，2，3，4，5，9}， B={x|∈A}， 所以B={1，4，9，16，25，81}， 则A∩B={1，4，9}，∁A(A∩B)={2，3，5}. 3.设集合S={x|x>-2}，T={x|-4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　) A.{x|-2<x≤1} B.{x|x≤-4} C.{x|x≤1} D.{x|x≥1} 答案　C 解析　因为S={x|x>-2}，所以∁RS={x|x≤-2}，又T={x|-4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. 4.已知全集U=R，集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|-2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3} 答案　D 解析　由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}. 5.设集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}，若∁UM={1，2}，则实数p的值为(　　) A.-6 B.-12 C.12 D.6 答案　C 解析　由于集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}，∁UM={1，2}， 故M={3，4}，即x2-7x+p=0的两实根为3，4， 故p=3×4=12. 6.已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)=∅，则M∪N等于(　　) A.M B.N C.R D.∅ 答案　A 解析　∵N∩(∁RM)=∅，∴N⊆M，∴M∪N=M. 7.(多选)下列说法中，当U为全集时，正确的是(　　) A.若A∩B=∅，则(∁UA)∪(∁UB)=U B.若A∩B=∅，则A=∅或B=∅ C.若A∪B=U，则(∁UA)∩(∁UB)=∅ D.若A∪B=∅，则A=B=∅ 答案　ACD 解析　因为A∩B=∅，(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)=∁U∅=U，故A正确；A∩B=∅，例如A={1，2}，B={3，4}，A∩B=∅，但A≠∅且B≠∅，故B错误；A∪B=U，(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=∁UU=∅，故C正确；A∪B=∅，则A，B都是∅，故D正确. 8.(5分)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，B={2，3，4}，则∁U(A∩B)=　　　　　　. 答案　{1，2，5} 解析　A∩B={3，4}，所以∁U(A∩B)={1，2，5}. 9.(5分)已知全集U=R，集合A={x|x<-1}，B={x|2a<x<a+3}，且B⊆∁RA，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　 解析　由题意得∁RA={x|x≥-1}.①若B=∅，则a+3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥-1且2a<a+3，解得-≤a<3.综上，实数a的取值范围为. 10.(10分)设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}， 求：(1)A∩B；(3分)(2)∁RA；(3分) (3)∁R(A∪B).(4分) 解　(1)∵A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}， ∴A∩B={x|3≤x<7}. (2)∵全集为R，A={x|3≤x<7}，∴∁RA={x|x<3或x≥7}. (3)∵A∪B={x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. 11.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 答案　C 解析　设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%. 12.(多选)设全集U={1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T={2}，(∁US)∩T={4}，(∁US)∩(∁UT)={1，5}，则有(　　) A.3∈S B.3∈∁US C.3∈T D.3∈∁UT 答案　AD 解析　因为S∩T={2}，所以2∈S，且2∈T，又(∁US)∩T={4}，所以4∉S，4∈T，又(∁US)∩(∁UT)={1，5}，所以∁U(S∪T)={1，5}，所以1，5∉(S∪T)，3∈(S∪T)，3∉(S∩T)，若3∈T，则3∉S，3∈(∁US)∩T，与(∁US)∩T={4}矛盾，所以3∈S，3∉T，3∈∁UT. 13.(5分)已知集合S={x|0<x<9}，集合A={x|8<x<10}，B={x|a<x<2a-1}，若(∁SB)∩A={x|8<x<9}，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　当B=∅时，2a-1≤a，得a≤1， 此时∁SB=S，(∁SB)∩A=S∩A={x|8<x<9}，符合题意； 当B≠∅时，2a-1>a，得a>1， 因为S={x|0<x<9}，B={x|a<x<2a-1}， 所以∁SB={x|0<x≤a或2a-1≤x<9}， 因为(∁SB)∩A={x|8<x<9}， 所以2a-1≤8，得a≤ 所以当B≠∅时，1<a≤ 综上所述，实数a的取值范围是. 14.(11分)已知集合A={x|a<x<a+1}，B={x|0≤x≤2}. (1)若a=1，求A∪B；(4分) (2)在①A∩B=∅，②(∁RB)∩A=∅，③B∪(∁RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)当a=1时，A={x|1<x<2}， B={x|0≤x≤2}，所以A∪B={x|0≤x≤2}. (2)若选①A∩B=∅，则a+1≤0或a≥2， 解得a≤-1或a≥2. 若选②(∁RB)∩A=∅，∁RB={x|x<0或x>2}， 所以解得0≤a≤1. 若选③B∪(∁RA)=R，∁RA={x|x≤a或x≥a+1}， 所以解得0≤a≤1. 15.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，已知全集U=A∪B，D=(∁UA)∪(∁UB)，card(U)=m，card(D)=n，若A∩B非空，则card(A∩B)等于(　　) A.mn B.m+n C.n-m D.m-n 答案　D 解析　card(A∩B)=card(A∪B)-card(D)=card(U)-card(D)=m-n. 16.(12分)设全集U=R，集合A={x|x2+4x+a=0}，B={x|x2+bx-2=0}. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值；(4分) (2)若(∁UA)∩B={2}，(∁UB)∩A={-3}，求A∪B.(8分) 解　(1)∵集合A中恰有一个元素， ∴Δ=16-4a=0，解得a=4. (2)∵(∁UA)∩B={2}， ∴2∈B，则4+2b-2=0，解得b=-1. ∵(∁UB)∩A={-3}， ∴-3∈A，则9-12+a=0，解得a=3. 则A={x|x2+4x+3=0}={-1，-3}， B={x|x2-x-2=0}={-1，2}， 检验可知(∁UA)∩B={2}，(∁UB)∩A={-3}成立. ∴A∪B={-3，-1，2}. 学科网（北京）股份有限公司 $