专题1.5 全称量词与存在量词讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，系统梳理全称/存在量词的概念、命题形式及真假判断方法，构建从命题识别、真假辨析到否定转换，再到结合参数范围求解的递进式学习支架。 资料以题型分类（6大题型含例题与变式）为特色，通过实例引导学生用数学思维进行逻辑推理（如根据命题真假求参数），用数学语言精准表达命题否定（如符号“∀”“∃”转换），课中助力教师分层教学，课后通过练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.5 全称量词与存在量词【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 2 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 2 【题型3 根据命题的真假求参数】 3 【题型4 全称量词命题的否定】 4 【题型5 存在量词命题的否定】 4 【题型6 根据命题否定的真假求参数】 4 【课后练习】 5 知识点1 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 【例1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【变式1-1】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（多选）下列命题是全称量词命题且为假命题的是（    ） A． B． C．矩形的对角线互相平分且相等 D．所有的素数都是奇数 【变式1-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】（25-26高一上·四川眉山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 【变式2-1】（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）下列命题中是真命题的有（    ） A．若，，且，则，中至少有一个大于1 B．的充要条件是 C．， D．， 【变式2-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据命题的真假求参数】 【例3】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【变式3-1】（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（23-24高二下·浙江·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知命题，，则是（    ）. A．， B．， C．， D．， 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】（25-26高一上·河南·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·四川广元·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点3 命题的否定与原命题的真假 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2.命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【题型6 根据命题否定的真假求参数】 【例6】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【变式6-1】（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【变式6-2】（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）已知集合，. (1)若全集，写出集合的补集； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 课后练习 【课后练习】 1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·广西南宁·期中）命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定是（   ） A．存在一个实数，它的绝对值是正数 B．存在无数个实数，它的绝对值不是正数 C．任意一个实数，它的绝对值都是正数 D．任意一个实数，它的绝对值都不是正数 4．（24-25高一上·广西·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．空集是任意非空集合的真子集 B．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 C．已知，，则与是两个不同的集合 D．已知命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则中有不属于的元素 5．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 全称量词与存在量词【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 2 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 3 【题型3 根据命题的真假求参数】 5 【题型4 全称量词命题的否定】 6 【题型5 存在量词命题的否定】 7 【题型6 根据命题否定的真假求参数】 8 【课后练习】 10 知识点1 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 【例1】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念逐一判断即可. 【详解】对于A：任意是全称量词，所以该命题是全称命题，故A错误； 对于B：对于B：命题“不存在实数”是“存在实数”的否定， 其等价命题为“对任意实数，都有”，这是一个全称量词命题，故B错误； 对于C：矩形是指所有矩形，所以该命题是全称命题，故C错误； 对于D：有一个是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故D正确. 故选：D 【变式1-1】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（多选）下列命题是全称量词命题且为假命题的是（    ） A． B． C．矩形的对角线互相平分且相等 D．所有的素数都是奇数 【答案】AD 【分析】根据全称量词命题的定义和全称量词命题真假的判断方法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，当时，，故A选项是全称量词命题且为假命题； 对于B，当时，成立，故B选项是存在量词命题且真命题； 对于C，所有矩形的对角线互相平分且相等，故C选项是全称量词命题且为真命题； 对于D，所有的素数都是奇数， 2为素数且为偶数，故D选项是全称量词命题且为假命题. 故选：AD. 【变式1-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择. 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】（25-26高一上·四川眉山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 【答案】B 【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B，利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可. 【详解】对于A，当，显然不成立，故A错误； 对于B，若取，则，满足，故B正确； 对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，由必能得到，而由不一定得到，如， 故是的充分不必要条件，即D错误. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）下列命题中是真命题的有（    ） A．若，，且，则，中至少有一个大于1 B．的充要条件是 C．， D．， 【答案】AC 【分析】利用反证法，可判断A的正误；代入特殊值，根据充分、必要条件的定义，可判断B的正误，代入特殊值检验，可判断C、D的正误. 【详解】选项A：假设，都不大于1，即，则，与条件矛盾， 所以假设不成立，故A正确； 选项B：当时，满足，但， 所以不是必要条件，故B错误； 选项C：当时，满足，所以，，故C正确； 选项D：当时，，不满足，故D错误. 故选：AC 【变式2-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可． 【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． 【题型3 根据命题的真假求参数】 【例3】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围. （2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围. 【详解】（1）若为真命题，则，所以，所以. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 由（1）知命题为假命题时，的取值范围为. 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 【变式3-1】（2025·云南·一模）已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数的单调性及全称命题的真假计算即可. 【详解】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 故选:A． 【变式3-2】（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解出即可求解. 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定为，. 【变式4-1】（23-24高二下·浙江·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定的求法，直接求出命题的否定. 【详解】原命题的否定为. 【变式4-2】（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知命题，，则是（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题的否定为. 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：命题“，”的否定是“，”． 【变式5-1】（25-26高一上·河南·开学考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 【变式5-2】（25-26高一上·四川广元·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 则其否定为：，. 故选：B 知识点3 命题的否定与原命题的真假 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2.命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【题型6 根据命题否定的真假求参数】 【例6】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据必要不充分条件得出集合间的包含关系，分集合为空集和非空集合两种情况讨论，即可求解； （2）根据存在性命题为真命题得出集合交集非空，同样结合集合非空进行分析即可. 【详解】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当时，则，解得， 当时，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为命题“，”为真命题，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式6-1】（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，讨论、列不等式求参数范围； （2）法一：根据已知有，讨论集合中不等式的两个端点值与集合的关系列不等式求参数范围；法二：假设，讨论集合是否为空，求出对应的参数范围，再由及集合的补运算，求最终参数范围. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解． 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为命题“”是真命题，所以，则， 法一：所以，或，或， 解得，或，或， 所以实数的取值范围为． 法二：假设， 当，则，满足， 当，则，此时或，解得或， 所以时，或， 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 【变式6-2】（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）已知集合，. (1)若全集，写出集合的补集； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【分析】（1）由补集的定义求解； （2）根据求解； （3）根据，为真命题求解. 【详解】（1）由题意 或； （2）若“”是“”的充分条件，则，所以，解得； （3）若命题“，”是假命题，则命题“，”为真命题， 所以①，解得， ②时，或，解得或， 综上，或. 课后练习 【课后练习】 1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 3．（25-26高一上·广西南宁·期中）命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定是（   ） A．存在一个实数，它的绝对值是正数 B．存在无数个实数，它的绝对值不是正数 C．任意一个实数，它的绝对值都是正数 D．任意一个实数，它的绝对值都不是正数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定判断即可得结论. 【详解】命题“存在一个实数，它的绝对值是正数”的否定命题是：“任意一个实数，它的绝对值都不是正数”． 故选：D． 4．（24-25高一上·广西·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．空集是任意非空集合的真子集 B．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 C．已知，，则与是两个不同的集合 D．已知命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则中有不属于的元素 【答案】ABD 【分析】由真子集的概念可判断A选项；由充分条件、必要条件的判断方法可判断B选项；由集合相等概念可判断C选项；结合该命题否定的真假可判断D选项. 【详解】对于A：由真子集的概念可知，空集是任意非空集合的真子集，故A正确； 对于B：正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形， “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件，故B正确； 对于C：因为，， 所以集合与集合的元素相同，即，故C错误； 对于D：命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题， 则命题的否定“存在非空集合中的元素，不是集合中的元素”是真命题， 所以中有不属于的元素，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【详解】（1）当时，，而或， 则，. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由，所以或，即或， 故的取值范围为或. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $