第1章 §1.3 第1课时 并集与交集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“并集与交集”核心知识点，从实数运算类比引入集合运算，通过具体集合元素关系问题引出并集、交集定义，结合文字、符号、图形语言梳理性质，再以例题和跟踪训练掌握运算，最后拓展含参数范围问题，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以问题驱动概念生成，如通过集合元素关系引导学生抽象定义，培养数学眼光中的抽象能力。例题兼顾有限集与无限集运算，用数轴辅助分析，强化数学思维中的推理与数形结合，提升运算能力。课中教师可借Venn图直观教学，课后学生通过分层训练巩固知识，有效查漏补缺，体现数学语言的符号与图形表达优势。

第1课时　并集与交集 学习目标　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(重点)2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算.(难点) 导语 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算.如果把集合与实数相类比，那么两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题. 一、并集 问题1　观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，C={1，2，3，4}.你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 提示　集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成. 知识梳理 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B={x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性. 例1　(1)(课本例1)设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B. 解　A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8} ={3，4，5，6，7，8}. (2)(课本例2)设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∪B. 解　A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3} ={x|-1<x<3}. 例1　(1)设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∪B. 解　A∪B={1，2，4，8}∪{1，4，9} ={1，2，4，8，9}. (2)设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∪B. 解　A∪B={x|0≤x<4}∪{x|1≤x<5} ={x|0≤x<5}. 反思感悟　并集运算的关注点 (1)若集合中元素个数有限，求并集时可直接根据并集的定义求解. (2)若集合是无限连续的数集，可利用数轴分析求解，要注意端点应为实心点还是空心点. 跟踪训练　(1)集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于(　　) A.{x|x≥2} B.{x|2≤x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|2<x<4} 答案　A 解析　由B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，得A∪B={x|x≥2}. (2)已知集合A={-1，0，1}，则满足A∪B={-1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　) A.{-1，2} B.{-1，0，1，3} C.{-1，0，1} D.{0，2，3} 答案　D 解析　{-1，0，1}∪{0，2，3}={-1，0，1，2，3}，故D符合题意. 二、交集 问题2　观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，D={2，3}，你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？ 提示　集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合D，集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成. 知识梳理 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B=∅. 例2　(课本例4)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系. 解　平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合. (1)直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P}； (2)直线l1，l2平行可表示为L1∩L2=∅； (3)直线l1，l2重合可表示为L1∩L2=L1=L2. 例2　例1(1)(2)的条件不变，问题改为求A∩B. 解　(1)A∩B={1，2，4，8}∩{1，4，9}={1，4}. (2)A∩B={x|0≤x<4}∩{x|1≤x<5}={x|1≤x<4}. 延伸探究1　若将例2(2)条件改为“A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}”，求A∩B. 解　A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}， 则A∩B={0，1，2}. 反思感悟　交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法. (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 三、根据并集与交集运算求参数范围 例3　(1)已知集合A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，则p+q+r等于 (　　) A.12 B.6 C.-14 D.-12 答案　C 解析　因为A∩B={-2}， 所以-2∈A且-2∈B，将x=-2代入x2-px-2=0，得p=-1， 所以A={1，-2}， 因为A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}， 所以B={-2，5}， 所以q=-[(-2)+5]=-3，r=(-2)×5=-10， 所以p+q+r=-14. (2)已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是(　　) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 答案　C 解析　利用数轴，若A∪B=R，则a≤-1. 延伸探究2　将例3(2)中的A∪B=R变成A∪B=A，求实数a的取值范围. 解　由A∪B=A，得B⊆A， 当B=∅时，有a≥4，满足题意； 当B≠∅时，有即3≤a<4， 综上，实数a的取值范围为{a|a≥3}. 延伸探究3　将例3(2)中的集合B变为B={x|a<x≤4-a}，且A∪B=R变为A∩B=∅，求实数a的取值范围. 解　①当B=∅时，有a≥4-a，即a≥2，满足题意； ②当B≠∅时，有即1<a<2， 综上，实数a的取值范围为{a|a>1}. 反思感悟　由集合的运算结果求参数范围的一般步骤 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组). (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围. 1.知识清单： (1)并集的概念及运算. (2)交集的概念及运算. (3)根据集合间的运算求参数范围. 2.方法归纳：观察法、图示法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情况. 1.若集合A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}，则A∩B等于(　　) A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|-4<x<4} 答案　C 解析　∵A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}， ∴A∩B={x|0<x≤2}. 2.集合M={1，2，3，4，5}，集合N={1，3，5}，则(　　) A.N∈M B.M∪N=M C.M∩N=M D.M>N 答案　B 解析　因为NM，所以M∪N=M. 3.满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由{1，3}∪A={1，3，5}，知A⊆{1，3，5}且A中一定有元素5，因此集合A可以是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}. 4.集合A={x|x2-2x+1=0}，B={x|ax-1=0}，A∩B=B，则a=　　　　. 答案　1或0 解析　A={x|x2-2x+1=0}={1}， ∵A∩B=B，∴B={1}或B=∅， 故a=1或a=0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.(2025·八省联考)已知集合A={-1，0，1}，B={0，1，4}，则A∩B等于(　　) A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{-1，0，1，4} 答案　C 2.已知集合M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A.{0，1} B.{0} C.{-1，2，3} D.{-1，0，1，2，3} 答案　D 解析　由Venn图可知阴影部分表示的集合是M∪P.因为M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，所以M∪P={-1，0，1，2，3}. 3.设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=x+b}，且A∩B={(2，5)}，则(　　) A.a=3，b=2 B.a=2，b=3 C.a=-3，b=-2 D.a=-2，b=-3 答案　B 解析　∵A∩B={(2，5)}， ∴解得 4.已知集合A={1，2}，A∩B={1}，A∪B={0，1，2}，则集合B等于(　　) A.{0，1} B.{0，2} C.{1，2} D.{1} 答案　A 解析　∵集合A={1，2}，A∩B={1}， A∪B={0，1，2}， ∴1∈B，0∈B，2∉B，则B={0，1}. 5.设集合A={x|-1≤x<2}，B={x|x<a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A.a<2 B.a>-2 C.a>-1 D.-1<a≤2 答案　C 解析　在数轴上表示出集合A，B即可知a的取值范围是a>-1. 6.(多选)设集合S={x|-2≤x≤3}，T={x|0<x<7}，若集合P⊆(T∪S)，则P可以是(　　) A.{x|-2≤x≤0} B.{x|3≤x≤6} C.{x|x<7} D.{x|1≤x≤5} 答案　ABD 解析　由题意T∪S={x|-2≤x<7}，P可以是选项A，B，D，满足P⊆(T∪S)，C不满足. 7.已知集合A={x∈Z|-1≤x<}，B=若A∩B有两个元素，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为A={-1，0，1}， B= 由于A∩B有两个元素，则解得-<a<-1或-<a<0， 所以实数a的取值范围是. 8.(5分)满足{1}∪B={1，2}的集合B的个数是　　　　　. 答案　2 解析　由{1}∪B={1，2}，故B可以是{2}，{1，2}，共2个. 9.(5分)已知集合A={x|-2<x<4}，集合B={x|x+a-1≥0}，若A∪B={x|x>-2}，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　-3≤a<3 解析　集合A={x|-2<x<4}， 集合B={x|x≥1-a}， 若A∪B={x|x>-2}，则-2<1-a≤4，解得-3≤a<3. 10.(10分)设A={x|x2+ax+12=0}，B={x|x2+3x+2b=0}，A∩B={2}，C={2，-3}. (1)求a，b的值及A，B；(7分) (2)求(A∪B)∩C.(3分) 解　(1)∵A∩B={2}， ∴4+2a+12=0，4+6+2b=0， 即a=-8，b=-5， ∴A={x|x2-8x+12=0}={2，6}， B={x|x2+3x-10=0}={2，-5}. (2)∵A∪B={-5，2，6}，C={2，-3}， ∴(A∪B)∩C={2}. 11.(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的有(　　) A.M∪N=N B.M∩N=N C.M⊆(M∩N) D.(M∪N)⊆N 答案　ACD 解析　因为M⊆N，所以M∪N=N，A正确； M∩N=M，当M≠N时，M∩N≠N，B错误； 因为M∩N=M，而M⊆M，所以M⊆(M∩N)，C正确； 因为M∪N=N，而N⊆N，所以(M∪N)⊆N，D正确. 12.(多选)设集合A={x|x2-(a+2)x+2a=0}，B={x|x2-5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值可以为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　ABC 解析　B={x|x2-5x+4=0}={1，4}，对于集合A， x2-(a+2)x+2a=0，解得x=2或x=a， 当a=2时，A={2}，A∪B={1，2，4}， 因为1+2+4=7，所以符合题意； 当a≠2时，A={2，a}，A∪B中必含有1，2，4， 因为1+2+4=7，所以a=0或1或4. 综上所述，实数a的值可以为0，1，2，4. 13.(5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店： (1)第一天售出但第二天未售出的商品有　 　种；  (2)这三天售出的商品最少有　　　　种. 答案　(1)16　(2)29 解析　设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示. 由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19-(3-x)-x=16(种). (2)这三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y(种). 由于所以0≤y≤14. 所以(43-y)min=43-14=29. 14.(10分)已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1<x<m+1}. (1)若m=-3，求A∩B；(4分) (2)若A∪B=A，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)当m=-3时，B={x|-7<x<-2}， 故A∩B={x|-3≤x<-2}. (2)因为A∪B=A，故B⊆A， 若2m-1≥m+1，即m≥2， 则B=∅，符合题意； 若m<2，则解得-1≤m<2， 综上，实数m的取值范围是{m|m≥-1}. 15.(多选)已知集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}，若集合A中元素的个数为有限个，则将其个数记为card(A)，则下列说法正确的是(　　) A.若card(A)=2，则card(A∪B)=4 B.若card(A)=1，则card(A∪B)=3 C.若card(A∪B)=3，则A∩B=∅ D.若card(A∪B)=4，则A∩B=∅ 答案　BD 解析　集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}={1，3}，对于A，若card(A)=2，则card(A∪B)的可能取值为3或4，故A错误；对于B，若card(A)=1，则A={2}，A∪B={1，2，3}，所以card(A∪B)=3，故B正确；对于C，若card(A∪B)=3，则A∩B可能为∅，{1}，{3}，故C错误；对于D，若card(A∪B)=4，则A={2，a}，且a的值不是1和3，所以A∩B=∅，故D正确. 16.(11分)设集合A={2，-1，x2-x+1}，B={2y，-4，x+4}，C={-1，7}，且A∩B=C，求实数x，y的值及A∪B. 解　由题意，得7∈A，7∈B且-1∈B， 所以在集合A中x2-x+1=7， 解得x=-2或x=3. 当x=-2时，在集合B中，x+4=2， 又2∈A，故2∈(A∩B)=C， 但2∉C，故x=-2不符合题意，舍去. 当x=3时，在集合B中，x+4=7， 所以2y=-1，解得y=-符合题意， 所以A={2，-1，7}，B={-1，-4，7}， 所以A∪B={2，-1，7，-4}. 学科网（北京）股份有限公司 $