第1章 1.4.1 充分条件与必要条件（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，从“若p则q”形式命题的真假判断切入，梳理充分条件（p⇒q）、必要条件（q是p的必要条件）的概念，关联判定定理与性质定理，搭建从命题基础到定理应用再到集合关系的学习支架。 资料以问题驱动引导学生观察命题真假培养数学眼光，通过逻辑推理分析条件关系发展数学思维，用集合语言表达条件联系提升数学语言能力。课中教师可依托例题深化理解，课后学生通过分层练习巩固，有效查漏补缺。

1.4.1　充分条件与必要条件 学习目标　1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(难点) 导语 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系. 一、充分条件与必要条件 问题　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2-4x+3=0，则x=1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 提示　在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题. 知识梳理　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p⇒q p⇏q 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件且q是p的必要条件；若p⇏q，则p不是q的充分条件且q不是p的必要条件. (3)充分、必要条件可以不唯一. 例1　(1)(课本例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④若x2=1，则x=1； ⑤若a=b，则ac=bc； ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数. 解　①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ④由于(-1)2=1，但-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件. ⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件. ⑥=2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件. (2)(课本例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； ④若x=1，则x2=1； ⑤若ac=bc，则a=b； ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数. 解　①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. ④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ⑤由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. ⑥由于1×不全是无理数，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. 例1　(1)下列各题中，p是不是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 解　①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. ②由x=1⇒(x-1)(x-2)=0，故p是q的充分条件. ③方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二　设集合A={x|x>1}，B={x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件. (2)下列各题中，q是不是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：a>b，q：ac>bc. 解　①因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. ②因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件. 反思感悟　判断p是q的充分、必要条件的方法 (1)经常用到的是判断p能否推出q，以及q能否推出p. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件p：“x∈A”，条件q：“x∈B”.若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件. 跟踪训练　下列“若p，则q”形式的命题中，判断p是否为q的充分条件. (1)若a∈N，则a∈R； (2)若A⊆B，则A∩B=A； (3)若(a-2)(a-3)=0，则a=3. 解　(1)由于N为R的真子集，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. (2)由A⊆B可以推出A∩B=A，所以p⇒q，所以p是q的充分条件. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3，因此p⇏q，所以p不是q的充分条件. 二、充分条件与必要条件的应用 例2　已知集合P={x|-2<x<4}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，求实数m的取值范围. 解　由已知，“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则Q是P的子集， 由题意得解得0<m< 所以实数m的取值范围是. 延伸探究　已知集合P={x|-2<x<1}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的必要条件，求实数m的取值范围. 解　由题意得，P是Q的子集， 则解得-≤m≤0. 所以实数m的取值范围是. 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件、必要条件的判断. (3)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳：等价转化. 3.常见误区：忽略充分条件、必要条件不唯一；忽略求参数范围时能否取到端点值. 1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A.四边形的对角线相等 B.四边形的两组对边分别相等 C.四边形有两个内角都为直角 D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 答案　D 解析　四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误；四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误；四边形有三个内角都为直角才是矩形，故C错误；四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D正确. 2.以下说法错误的是(　　) A.“x2=y2”是“x=y”的必要条件 B.“m是自然数”是“m是整数”的充分条件 C.“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件 D.“(a+b)(a-b)=0”是“a=b”的充分条件 答案　D 解析　由x=y，可得x2=y2，故“x2=y2”是“x=y”的必要条件，A正确；由m是自然数，可得m是整数，故“m是自然数”是“m是整数”的充分条件，B正确；由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等，所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件，C正确；由(a+b)(a-b)=0，得|a|=|b|，推不出a=b，D错误. 3.(多选)下列不等式中，可以作为“-1<x<1”的充分条件的有(　　) A.x<1 B.0<x<1 C.-1<x<0 D.-1<x<1 答案　BCD 解析　要求不等式-1<x<1成立的一个充分条件，则该条件所构成的集合为{x|-1<x<1}的子集，故BCD满足题意. 4.已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P， 所以所以-1≤a≤5. 故实数a的取值范围是. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共36分 1.下列选项中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q： 答案　A 解析　根据充分条件的概念逐一判断， 只有ab≠0⇒a≠0. 2.使x>1成立的一个必要条件是(　　) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 答案　A 解析　只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出. 3.已知a∈N*，则“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 答案　A 解析　若a=3，则a与8的最小公倍数是24；若正整数a与8的最小公倍数是24，则a的可能取值为3，6，12，24，故“a=3”是“a与8的最小公倍数是24”的充分条件，但不是必要条件. 4.(多选)若“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，则实数a的值可以是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　CD 解析　因为“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，所以a>3. 结合选项实数a的值可以是4，5. 5.(多选)下列命题中为假命题的是(　　) A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件 C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件 D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件 答案　ABD 解析　对于A，不妨设a=0>b=-1，但此时有a2=0<b2=1，所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，故A为假命题；对于B，不妨设a=-1，b=0，此时有a2=1>b2=0，但a<b，所以“a>b”不是“a2>b2”的必要条件，故B为假命题；对于C，由无理数的定义可知“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题；对于D，由x2+2x-3=0可以推出x=-3或x=1，所以“x=1”不是“x2+2x-3=0”的必要条件，故D为假命题. 6.(多选)若关于x的方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是(　　) A.m>0 B.-2<m<1 C.m>-4 D.1≤m<2 答案　AC 解析　方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则其判别式Δ≤0，即4-4m≤0，解得m≥1，结合选项可知，选项A和选项C正确. 7.设x，y是两个实数，则p：“x，y中至少有一个数大于1”的一个充分条件是(　　) A.x+y=2 B.x+y>2 C.x2+y2>2 D.xy>1 答案　B 解析　对于选项A，当x=1，y=1时，满足x+y=2，但p不成立；对于选项C，D，当x=-2，y=-3时，满足x2+y2>2，xy>1，但p不成立，也不符合题意. 8.(5分)设A，B是两个非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的　　　　　　　条件(填“充分”“必要”). 答案　必要 解析　由A∩B=A，得A⊆B，但推不出A=B，因此“A∩B=A”不是“A=B”的充分条件； 反过来，由A=B，得A⊆B，能推出A∩B=A，因此“A∩B=A”是“A=B”的必要条件. 9.(5分)已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　. 答案　{a|a≤-9} 解析　∵p是q的必要条件，∴q⇒p， ∴解得a≤-9. 10.(9分)下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a2+b2=0，q：a+b=0；(3分) (2)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.(6分) 解　(1)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0， a+b=0⇏a2+b2=0，∴p是q的充分条件. (2)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0， 而(x-1)(y-2)=0⇏(x-1)2+(y-2)2=0，∴p是q的充分条件. 11.(多选)使ab>0成立的充分条件可以是(　　) A.a>0，b>0 B.a+b>0 C.a<0，b<0 D.a>1，b>1 答案　ACD 解析　因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件. 12.(多选)下列各题中，p是q的必要条件的是(　　) A.p：两个三角形全等，q：两个三角形相似 B.p：x>5，q：x>10 C.p：ac=bc，q：a=b D.p：0<x<5，q：|x-1|<1 答案　BCD 解析　A选项，两个三角形相似未必全等，故p不是q的必要条件；B选项，当x>10时，x>5恒成立，即满足p是q的必要条件；C选项，若a=b，则ac=bc成立，即p是q的必要条件；D选项，若|x-1|<1，则0<x<2，满足p是q的必要条件. 13.(5分)已知集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={x|x+m≥0}，p：x∈A，q：x∈B，并且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 答案　{m|m≥-3} 解析　由已知可得A={y|y=(x-1)2+3，x∈R}={y|y≥3}，B={x|x≥-m}.因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以-m≤3，即m≥-3，所以实数m的取值范围是{m|m≥-3}. 14.(10分)设集合A={x||x|≤3}，集合B={x|2-a≤x≤1+2a}，a∈R. (1)若集合B是空集，求a的取值范围；(4分) (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.(6分) 解　(1)因为集合B是空集，所以2-a>1+2a， 解得a<所以a的取值范围为. (2)A={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}. “x∈A”是“x∈B”的充分条件等价于集合A是集合B的子集， 则集合B不是空集，2-a≤1+2a，解得a≥. 又解得a≥5， 故a的取值范围为{a|a≥5}. 15.(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)，设P，Q都为有限集合，则下列命题中是真命题的是(　　) A.P∩Q=∅是card(P∪Q)=card(P)+card(Q)的充分条件 B.card(P)≤card(Q)是P⊆Q的必要条件 C.card(P)≤card(Q)是P不是Q的子集的充分条件 D.card(P)=card(Q)是P=Q的必要条件 答案　ABD 解析　对于A，若P∩Q=∅，则集合P与集合Q没有公共元素，所以card(P∪Q)=card(P)+card(Q)，故A正确； 对于B，若P⊆Q，则集合P中的元素都是集合Q中的元素，则card(P)≤card(Q)，故B正确； 对于C，由card(P)≤card(Q)无法得到P不是Q的子集，故C错误； 对于D，当P=Q时，集合P中的元素与集合Q中的元素完全相同，则card(P)=card(Q)，故D正确. 16.(10分) 已知a，b是实数，求证：a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.该条件是否为必要条件？试证明你的结论. 证明　因为a2-b2=1， 所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1. 即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件. a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件，证明如下： 若a4-b4-2b2=1， 则a4-(b4+2b2+1)=0，即a4-(b2+1)2=0， 即(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0. 又a2+b2+1≠0，所以a2-b2-1=0， 即a2-b2=1. 因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $