第1章 §1.2 集合间的基本关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本高中数学讲义聚焦集合间的包含关系，系统梳理子集、真子集的概念及性质，通过实例抽象定义，结合Venn图直观表示，延伸至空集与子集的关系，最终应用于参数范围求解，构建从概念到应用的学习支架。 资料以问题驱动引入，通过实数关系类比激发探究欲，体现数学眼光。实例与Venn图、数轴结合，培养几何直观和推理意识，如用班级学生集合说明子集，数轴分析参数范围。分层例题与延伸探究助力逻辑思维，课后练习梯度设计帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

学习目标　1.理解两个集合间的包含关系.2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.(重点)3.理解空集与子集、真子集之间的关系.(难点) 导语 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 一、子集 问题　观察下面的几个例子，请同学们说出每组两个集合之间的关系. (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)E={x|x=2k，k∈Z}，F={偶数}. 提示　(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，(2)(3)中的集合C与D，E与F也有这种关系. 知识梳理 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，即A⊆B，且B⊆A⇔A=B. 例1　(课本例2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A={1，2，3}，B={x|x是8的约数}； (2)A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 解　(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集. 例1　指出下列各对集合之间的关系： (1)A={x|-1<x<4}，B={x|x-5<0}； (2)A={x|x是正方形}，B={x|x是矩形}； (3)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}； (4)M={x|x=2n-1，n∈N*}，N={x|x=2n+1，n∈N*}. 解　(1)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (4)M={正奇数}，N={不含1的正奇数}，故N⊆M. 反思感悟　判断集合间关系的常用方法 跟踪训练　(1)已知A={x|x是正数}，B={x|x是正整数}，C={x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A.A⊆B⊆C B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C 答案　B 解析　集合A，B，C的关系如图. (2)已知集合M={x|x=3m-1，m∈Z}，集合N={x|x=3n+2，n∈Z}，则M，N之间的关系为　　　　. 答案　M=N 解析　设x∈M， 则存在m∈Z， 有x=3m-1=3(m-1)+2， ∵m∈Z，∴m-1∈Z， ∴x=3(m-1)+2∈N，故M⊆N； 设x∈N，则存在n∈Z， 有x=3n+2=3(n+1)-1， ∵n∈Z，∴n+1∈Z， ∴x=3(n+1)-1∈M，故N⊆M， 综上所述，M=N. 二、真子集 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 性质 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅A； (3)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC 注意点： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}. 例2　(课本例1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解　集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}.真子集为∅，{a}，{b}. 例2　填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ {a} {a，b} {a，b，c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 解　 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2. 延伸探究1　利用例题的结论，试求满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数. 解　由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个， 又集合{3，4，5}的非空子集的个数为23-1=7， 故集合M的个数为7. 反思感悟　求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身. (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. 三、由集合间的关系求参数范围 例3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a等于(　　) A.2 B.1 C. D.-1 答案　B 解析　若a-2=0，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意； 若2a-2=0，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意. 综上所述，a=1. (2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解　因为A⊆B，如图所示，此时B≠∅， 所以 即 所以m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 延伸探究2　若例3(2)中的条件不变，且B⊆A，求实数m的取值范围. 解　(1)当B=∅时，满足B⊆A， 此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 延伸探究3　若例3(2)中的条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}且B⊆A”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解　(1)当B=∅时，满足B⊆A，此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且B⊆A时，如图所示. 则 解得即2≤m<3， 所以实数m的取值范围是{m|m<3}. 延伸探究4　若例3(2)中的条件不变，且BA，求实数m的取值范围. 解　(1)当B=∅时，满足BA，此时m+1>2m-1，解得m<2. (2)当B≠∅，且BA时，如图所示. 所以 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|m≤3}. 反思感悟　利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集. 1.知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质. (2)子集的个数. (3)由集合间的关系求参数范围. 2.方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论. 1.(多选)以下四个选项中，错误的为(　　) A.{1}∈{0，1，2} B.{1，-3}={-3，1} C.{0，1，2}⊆{1，0，2} D.∅∈{0} 答案　AD 解析　A应是{1}⊆{0，1，2}；对于B，集合中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C正确；D应是∅⊆{0}. 2.已知集合A={x|x<-2或x>0}，B={x|0<x<1}，则(　　) A.A>B B.AB C.BA D.A<B 答案　C 解析　由数轴知BA. 3.集合A={0，2，4，6}的子集个数是(　　) A.8 B.12 C.15 D.16 答案　D 4.集合A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为　　　　. 答案　{a|a>6} 解析　∵A={x|1≤x≤6}，B={x|x<a}，由A⊆B，结合数轴可知a>6. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分 1.下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) 答案　C 解析　由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中. 2.(多选)已知集合A={0，1}，则下列式子正确的是 (　　) A.0∈A B.{1}∈A C.∅⊆A D.{0，1}⊆A 答案　ACD 解析　∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确. 3.已知集合A=则集合A的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 答案　C 解析　集合A={x|-1<x<3，x∈N}={0，1，2}， 其真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共7个. 4.已知集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}，那么集合M={2，3，4}与Q的关系是(　　) A.MQ B.M，Q互不包含 C.QM D.Q=M 答案　A 解析　∵集合P={1，2，3，4，5}，Q={y|y=x+1，x∈P}={2，3，4，5，6}，又集合M={2，3，4}， ∴MQ. 5.已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={x|a-1≤x≤2a-1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|0≤a≤1} D.{a|0<a<1} 答案　A 解析　当B=∅，即2a-1<a-1，即a<0时，满足B⊆A； 当B≠∅，即a-1≤2a-1，即a≥0时，要使B⊆A， 则满足解得0≤a≤1. 综上，a≤1. 6.(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，若A⊆B且B⊆A，则实数m等于(　　) A.2 B.-1 C.-2 D.4 答案　AB 解析　∵A⊆B且B⊆A，∴A=B， ∴m2-m=2，解得m=2或m=-1. 7.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意知，A={1，2}，B={1，2，3，4}.又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. 8.(5分)已知a是实数，若集合{x|x2+x+a=0}是任何集合的子集，则a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　由题意知，集合{x|x2+x+a=0}是空集，即方程x2+x+a=0无解， 则Δ=1-4a<0，解得a>. 9.(5分)已知集合A={x|x<-1或x>2}，B={x|4x+p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是　　　　. 答案　{p|p≥4} 解析　集合A={x|x<-1或x>2}， B={x|4x+p<0}= 若B⊆A，则-≤-1，即p≥4， 则实数p的取值范围是{p|p≥4}. 10.(10分) 已知集合A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}，试写出集合A的所有子集. 解　因为A={(x，y)|x+y=2，x，y∈N}， 所以A={(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 所以集合A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 11.已知M=则集合M的子集个数是(　　) A.8 B.16 C.32 D.64 答案　B 解析　因为∈N， 又x∈N，所以x=7，6，4，0， 所以集合M={7，6，4，0}， 所以集合M的子集个数为24=16. 12.已知集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 答案　C 解析　集合A={a1，a2，a3}的所有非空真子集有：{a1}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2}，{a2，a3}，{a3}， 故3(a1+a2+a3)=9，即a1+a2+a3=3. 13.集合M={x|x=5k-2，k∈Z}，P={x|x=5n+3，n∈Z}，S={x|x=10m+3，m∈Z}之间的关系是(　　) A.SPM B.S=PM C.SP=M D.P=MS 答案　C 解析　由题意知M={…，-7，-2，3，8，13，18，…}，P={…，-7，-2，3，8，13，18，…}，S={…，-7，3，13，23，…}，故SP=M. 14.(10分)设集合A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}. (1)若a=试判定集合A与B的关系；(5分) (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.(5分) 解　(1)A={x|x2-8x+15=0}={5，3}， 当a=时，B={5}，元素5是集合A={5，3}中的元素， 集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA. (2)当a=0时，由题意得B=∅，又A={3，5}，故B⊆A； 当a≠0时，B=又A={3，5}，B⊆A，此时=3或=5，则有a=或a=. 所以C=. 15.(多选)已知集合A={1，2，4，8}，B={z|z=xy，x∈A，y∈A}，则下列四个结论正确的是(　　) A.AB B.{1，4，16，64}⊆B C.集合B中元素的个数为8 D.集合B的真子集的个数为127 答案　ABD 解析　∵集合A={1，2，4，8}，∴集合B={z|z=xy，x∈A，y∈A}={1，2，4，8，16，32，64}，∴AB，A正确；{1，4，16，64}⊆B，B正确；集合B中元素的个数为7，C错误；集合B的真子集的个数为27-1=127，D正确. 16.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x-4=0}. (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；(5分) (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)由于A中有两个元素， ∴关于x的方程ax2-3x-4=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=9+16a>0，且a≠0，即a>-且a≠0. 故实数a的取值范围是. (2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素， 即方程ax2-3x-4=0无解或只有一解， 当a=0时，方程为-3x-4=0，解得x=-集合A=； 当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素， 此时a=-； 若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根，则A中没有元素，此时a<-. 综上可知，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $