第02讲常用逻辑用语（充分必要+量词）（核心知识+4易错辨析+6典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学重难点讲义专项（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦常用逻辑用语核心知识，系统梳理命题与四种命题的等价关系，充分必要条件的五种逻辑关系，集合视角下“小范围推大范围”的充要条件判断方法，以及全称与存在量词的辨析及否定规则，构建逻辑推理的完整知识支架。 资料亮点在于通过4大易错辨析（如否命题与命题否定的区分）和6类典例精讲（结合多地阶段检测题），培养学生数学思维的严谨性，借助集合包含关系提升逻辑推理能力，量词命题否定训练数学语言表达，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

第02讲 常用逻辑用语（充分必要+量词） （核心知识+4易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【题型一】四种命题改写与真假判断 【题型四】量词的辨析及真假判断 【题型二】充分条件与必要条件 【题型五】量词命题的否定 【题型三】充要条件的证明 【题型六】含参充要条件综合重难点 【知识点01】命题与四种命题 能够判断真假的陈述句称为命题，标准形式：若，则（）。 四种命题互化关系： 原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题： 等价结论：原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。 【知识点02】充分条件与必要条件 已知两个条件： 1. 若，则是的充分条件，是的必要条件； 2. 若且，则是的充分不必要条件； 3. 若且，则是的必要不充分条件； 4. 若，则互为充要条件； 5. 若互相不可推导，则为既不充分也不必要条件。 【知识点03】集合视角判充要 设： 1. 是的充分不必要条件； 2. 是的必要不充分条件； 3. 互为充要条件。 口诀：小范围推大范围，小充分、大必要。 【知识点04】全称量词与存在量词 （1）全称量词命题：，表示“对集合中任意元素，结论均成立”。 （2）存在量词命题：，表示“集合中存在至少一个元素，结论成立”。 【知识点05】量词命题的否定 1. 全称命题否定： 2. 存在命题否定： 易错点1：否命题与命题的否定混淆 否命题：条件、结论同时否定；命题的否定：只否定结论，不改变条件，二者完全不同，考试极易混淆丢分。 易错点2：充分、必要条件逻辑颠倒 能推出他人为充分，被他人推出为必要；切忌凭主观感觉判断，区间题型优先用集合包含关系验证。 易错点3：量词命题真假判断失误 全称命题：全部成立才为真，找到一个反例即为假；存在命题：只要一个成立即为真，全部不成立才为假。 易错点4：量词否定书写不规范 否定量词命题必须互换，仅否定结论不更换量词，属于典型解题错误。 【题型一】四种命题改写与真假判断 【典例1-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）命题 “若 ，则 ” 的否定是（   ） A．若 ，则 B． C．若 ，则 D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）命题“两个有理数的乘积是有理数”的逆命题为__________________，否定为__________________． 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知是奇数；是偶数，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假性． (1)若，则； (2)若，则或； (3)平行四边形的对角线互相平分． 【题型二】充分条件与必要条件 【典例2-1】（25-26高一下·山东日照·期中）已知、，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2-2】（25-26高一上·安徽·期中）“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2-3】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【变式2-1】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）设，集合，则是的______条件.（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 【变式2-2】（多选）（25-26高一上·河南开封·阶段检测）下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课后作业）是的什么条件？ 【题型三】充要条件的证明 【典例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【变式3-2】（24-25高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【题型四】量词的辨析及真假判断 【典例4-1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是______． ①，；②，；③对任意，，都有． 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【变式4-3】（25-26高一·全国·寒假作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)存在这样的，使； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 【题型五】量词命题的否定 【典例5-1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题，则为_________________ 【变式5-2】（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）命题：，的否定是__________. 【变式5-3】（25-26高一上·江西九江·期中）写出下列命题的否定，并判断否定后的命题的真假. (1)任意两个无理数的积是有理数； (2)存在某个菱形的对角线相等； (3)能被3整除的整数，其各位数字之和也能被6整除. 【题型六】含参充要条件综合重难点 【典例6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知命题，若是的充要条件，则________． 【变式6-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【变式6-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合内所有的元素均在第一象限，，，可以作为 三条边的长. (1)若是假命题，求的取值范围； (2)若是的充要条件，求的值. 1. 命题核心：原命题与逆否命题等价，复杂命题真假判断可优先等价转化，简化运算。 2. 充要条件核心逻辑：依托集合包含关系快速判断，牢记“小充分、大必要”，杜绝逻辑颠倒；含参题型结合数轴分析区间包含关系，精准求解参数范围。 3. 量词核心考点：真假判断区分全称、特称命题规则，命题否定严格遵循“改量词、否结论”，是固定解题模板。 4. 核心避坑点：严格区分否命题与命题的否定，不混淆充分、必要逻辑，量词否定不丢步骤，含参题型注意端点取舍。 5.解题通用思路：基础判断用推导法，区间题型用集合数轴法，量词题型套固定否定公式，可解决本章全部重难点题型。 一、单选题 1．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东揭阳·期中）在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·辽宁大连·期末）记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 二、多选题 5．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测），表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．，， C．，，若，则 D． 三、填空题 7．（2025高一上·江苏南通·专题练习）“，”的否定是__________，此否定是__________命题第二空填“真”或“假” 8．（24-25高一上·湖北十堰·阶段检测）设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 四、解答题 9．（24-25高一上·云南文山·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断该命题否定的真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)，，使得． 10．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语（充分必要+量词） （核心知识+4易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【题型一】四种命题改写与真假判断 【题型四】量词的辨析及真假判断 【题型二】充分条件与必要条件 【题型五】量词命题的否定 【题型三】充要条件的证明 【题型六】含参充要条件综合重难点 【知识点01】命题与四种命题 能够判断真假的陈述句称为命题，标准形式：若，则（）。 四种命题互化关系： 原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题： 等价结论：原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。 【知识点02】充分条件与必要条件 已知两个条件： 1. 若，则是的充分条件，是的必要条件； 2. 若且，则是的充分不必要条件； 3. 若且，则是的必要不充分条件； 4. 若，则互为充要条件； 5. 若互相不可推导，则为既不充分也不必要条件。 【知识点03】集合视角判充要 设： 1. 是的充分不必要条件； 2. 是的必要不充分条件； 3. 互为充要条件。 口诀：小范围推大范围，小充分、大必要。 【知识点04】全称量词与存在量词 （1）全称量词命题：，表示“对集合中任意元素，结论均成立”。 （2）存在量词命题：，表示“集合中存在至少一个元素，结论成立”。 【知识点05】量词命题的否定 1. 全称命题否定： 2. 存在命题否定： 易错点1：否命题与命题的否定混淆 否命题：条件、结论同时否定；命题的否定：只否定结论，不改变条件，二者完全不同，考试极易混淆丢分。 易错点2：充分、必要条件逻辑颠倒 能推出他人为充分，被他人推出为必要；切忌凭主观感觉判断，区间题型优先用集合包含关系验证。 易错点3：量词命题真假判断失误 全称命题：全部成立才为真，找到一个反例即为假；存在命题：只要一个成立即为真，全部不成立才为假。 易错点4：量词否定书写不规范 否定量词命题必须互换，仅否定结论不更换量词，属于典型解题错误。 【题型一】四种命题改写与真假判断 【典例1-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）命题 “若 ，则 ” 的否定是（   ） A．若 ，则 B． C．若 ，则 D． 【答案】A 【分析】根据命题的否定即可得出结论 【详解】由命题的否定的定义可知“若 ，则 ” 的否定是若，则 . 故选：A 【变式1-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）命题“两个有理数的乘积是有理数”的逆命题为__________________，否定为__________________． 【答案】 若两个数的乘积是有理数，则这两个数都是有理数 两个有理数的乘积不全是有理数 【分析】由逆命题及命题否定的概念即可求解. 【详解】命题“两个有理数的乘积是有理数”的逆命题为：若两个数的乘积是有理数，则这两个数都是有理数；否定为：两个有理数的乘积不全是有理数. 故答案为：①若两个数的乘积是有理数，则这两个数都是有理数；②两个有理数的乘积不全是有理数 【变式1-2】（多选）（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知是奇数；是偶数，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据命题和命题的否定以及数的性质一一判断即可. 【详解】对A，若是奇数，则一奇一偶，则是偶数，故A正确； 对B，若是偶数，举例，此时为偶数，故B错误； 对C，若不是偶数，则为奇数，则均为奇数，则为偶数，即不是奇数，故C正确； 对D，若不是奇数，则为偶数，举例，则此时为偶数，故D错误. 故选：AC. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假性． (1)若，则； (2)若，则或； (3)平行四边形的对角线互相平分． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据逆命题的概念写出即可,再根据题意判断真假性. 【详解】（1）逆命题：若，则． 因为时，，所以原命题为真命题； 由于解得或，所以逆命题为假命题． （2）逆命题：若或，则． 因为某个数的平方大于等于0，若，则一定有或，所以原命题为真命题； 因为或，一定有，所以逆命题也是真命题. （3）逆命题：若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形． 易知平行四边形的对角线相互平分，所以原命题为真命题； 反之，若一个四边形的对角线相互平分，则该四边形为平行四边形,所以逆命题是真命题． 【题型二】充分条件与必要条件 【典例2-1】（25-26高一下·山东日照·期中）已知、，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据可得出、之间的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】若，则或， 所以“”“”， “”“”， 故“”是“”的必要而不充分条件. 【典例2-2】（25-26高一上·安徽·期中）“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若且，则且成立，故充分性成立． 若“”，则且或且． 而且时，． 所以由且可以推出且，故必要性成立． 因此“且”是“且”的充要条件． 故选：C． 【典例2-3】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【分析】按充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 【变式2-1】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）设，集合，则是的______条件.（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） 【答案】充要条件 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，两式相减，得到，进而推出， 所以或 把代入方程组，得，因为，方程无解； 把代入方程组，得，因为，方程无解， 所以方程组无解； 综上，时，有，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故答案为：充要条件 【变式2-2】（多选）（25-26高一上·河南开封·阶段检测）下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得或，则“”是“”的必要不充分条件，A正确； 对于B，是的充分不必要条件，B正确； 对于C，由，得且，则是的充分不必要条件，C错误； 对于D，命题“若为无理数，则为无理数”是假命题，如是无理数，是有理数； 由为有理数，得为有理数，因此命题“若为无理数，则为无理数”是真命题， “为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D正确. 故选：ABD 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课后作业）是的什么条件？ 【答案】充分不必要条件 【分析】先由向量相等的定义证明充分性，再通过“模相等但方向不同”的反例说明必要性不成立，从而得出结论. 【详解】∵若，则由相等向量的定义可知，这两个向量的模相等且方向相同，所以成立. ∴，反之不成立. 如正方形中，，但方向相反， 故， 故是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 【题型三】充要条件的证明 【典例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用充分性和必要性的定义即可证明. 【详解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立所以是的充要条件． 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【变式3-2】（24-25高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】充分性：若，则， 即充分性成立； 必要性：若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为. 【题型四】量词的辨析及真假判断 【典例4-1】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足且，故A正确； 对于B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故D错误． 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是______． ①，；②，；③对任意，，都有． 【答案】② 【分析】根据全称命题分别判断各个小题即可. 【详解】当时，，故命题“”为假命题，①错误； 命题“”为真命题，②正确； 当时，，故命题“对任意，都有”为假命题，③错误． 故答案为：②. 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【答案】ACD 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合 与集合 有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 【变式4-3】（25-26高一·全国·寒假作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)存在这样的，使； (2)矩形的对角线垂直平分； (3)三角形两边之和大于第三边； (4)有些素数是奇数． 【答案】(1)存在量词命题，真 (2)全称量词命题，假 (3)全称量词命题，真 (4)存在量词命题，真 【分析】（1）先根据存在量词命题的概念判断，然后利用举例法判定存在量词命题为真； （2）先根据全称量词命题的概念判断，然后利用举反例法判定全称量词命题为假； （3）先根据全称量词命题的概念判断，然后利用三角形的性质判定全称量词命题为真； （4）先根据存在量词命题的概念判断，然后利用举例法判定存在量词命题为真. 【详解】（1）存在量词命题．时，成立．所以命题是真命题． （2）全称量词命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直， 所以全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题． （3）全称量词命题．三角形中，两边之和大于第三边， 所以全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． （4）存在量词命题．3是素数也是奇数，所以，存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题． 【题型五】量词命题的否定 【典例5-1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题的否定为. 【变式5-1】（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题，则为_________________ 【答案】 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题， 则为. 【变式5-2】（25-26高一上·甘肃甘南·阶段检测）命题：，的否定是__________. 【答案】， 【分析】利用存在量词命题否定方法写出答案. 【详解】命题：，是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题：，的否定是：，. 故答案为：， 【变式5-3】（25-26高一上·江西九江·期中）写出下列命题的否定，并判断否定后的命题的真假. (1)任意两个无理数的积是有理数； (2)存在某个菱形的对角线相等； (3)能被3整除的整数，其各位数字之和也能被6整除. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】根据全称命题和特称命题的否定形式结合反例判定命题真假即可. 【详解】（1）否定形式为：存在两个无理数的积是无理数，该命题是真命题； （2）否定形式为：任意菱形的对角线不相等，该命题是假命题； （3）否定形式为：存在能被3整除的整数，其各位数字之和不能被6整除，该命题是真命题. 【题型六】含参充要条件综合重难点 【典例6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 【变式6-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知命题，若是的充要条件，则________． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 【变式6-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【变式6-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合内所有的元素均在第一象限，，，可以作为 三条边的长. (1)若是假命题，求的取值范围； (2)若是的充要条件，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是假命题，可得命题为真命题，列不等式求的范围； （2）由（1）的结论，结合三角形三边关系、充要条件的定义计算即可. 【详解】（1）因为是假命题，所以是真命题，则，解之得； （2）由上可知，且为等腰三角形， 则要满足三角形存在，需成立， 因为互为充要条件，则. 1. 命题核心：原命题与逆否命题等价，复杂命题真假判断可优先等价转化，简化运算。 2. 充要条件核心逻辑：依托集合包含关系快速判断，牢记“小充分、大必要”，杜绝逻辑颠倒；含参题型结合数轴分析区间包含关系，精准求解参数范围。 3. 量词核心考点：真假判断区分全称、特称命题规则，命题否定严格遵循“改量词、否结论”，是固定解题模板。 4. 核心避坑点：严格区分否命题与命题的否定，不混淆充分、必要逻辑，量词否定不丢步骤，含参题型注意端点取舍。 5.解题通用思路：基础判断用推导法，区间题型用集合数轴法，量词题型套固定否定公式，可解决本章全部重难点题型。 一、单选题 1．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特称命题否定为全称命题即可得到答案. 【详解】根据特称命题否定为全称命题知， 命题“”的否定为：“”， 故选：C. 3．（25-26高一上·广东揭阳·期中）在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据为锐角三角形求出的范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】在中，， 若为锐角三角形，则，解得， 因为， 所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 4．（24-25高一上·辽宁大连·期末）记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（    ） A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件 【答案】D 【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断. 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解. 二、多选题 5．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】由命题的真假判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故B错误； 对于C，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测），表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．，， C．，，若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据的定义，逐一分析各个选项即可判断得解. 【详解】对于A，由，得恒成立，A错误； 对于B，，，则， 当时，，有； 当时，，因此，，B正确； 选项C，取，满足，而，C错误； 对于D，，当时，，则， 即有，又，因此； 当时，，则，即有， 又，因此，D正确. 故选：BD 三、填空题 7．（2025高一上·江苏南通·专题练习）“，”的否定是__________，此否定是__________命题第二空填“真”或“假” 【答案】 0，使 假 【分析】根据定义求得命题的否定，再判断真假即可. 【详解】“，”的否定是“，使”， 因为，即恒成立， 故不存在使成立， 故原命题的否定为假命题. 故答案为：，使；假. 8．（24-25高一上·湖北十堰·阶段检测）设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 【答案】 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.分充分性和必要性两步证明即可. 【详解】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高一上·云南文山·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断该命题否定的真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)，，使得． 【答案】(1)“存在一个平行四边形的对边不平行”，假命题 (2)“存在一个非负数的平方不是正数”，真命题 (3)“所有四边形都有外接圆”，假命题 (4)“，都有”，假命题 【分析】（1）写出原命题的否定，由平行四边形的性质可判断真假； （2）写出原命题的否定，通过取特殊值，即可判断真假； （3）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假； （4）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假. 【详解】（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”， 由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”， 因为，不是正数，所以该命题的否定是真命题． （3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”， 因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． （4）命题的否定为“，都有”， 因为当时，，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． 10．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【答案】(1)必要不充分 (2)充要，证明见解析 【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断即可； （2）利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $