1.4充分条件与必要条件讲义-2025-2026学年高一上学期人教A版数学必修第一册

人教版高中数学必修一讲义系列 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 【知识点】 1. 充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q，此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 2. 充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q。此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件。 设原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，得p与q的关系有以下四种情形： 原命题 逆命题 p与q的关系 结论 真 假 p⇒q，但q⇏p p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件 假 真 q⇒p，但p⇏q p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件 真 真 p⇔q p与q互为充要条件 假 假 p⇏q，且q⇏p p是q的既不充分也不必要条件，反之亦然 3. 充分条件与必要条件的传递性：充分、必要、充要条件都具有传递性。 4. 从集合角度看充分、必要条件 如果把p的研究范围设为集合A，把q的研究范围设为集合B 关系 A⫋B B⫋A A=B A⊈B，且B⊈A 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p与q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 【典例剖析】 考点一：并集的计算 例1. 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空： （1）“都是偶数”是“是偶数”的__________条件. （2）“”是“”的__________条件. （3）“∠A和∠B都是锐角”是“∠A+∠B是钝角”的__________条件. （4）设都为实数，则“”是“”的__________条件. （5）“”是“”的__________条件. （6）如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分不必要条件，则丙是甲的__________条件. 考点二：从集合角度看充分条件和必要条件 例2. 设p：，q：，则p是q的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 例3. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 例4. 能使方程有实数解的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 考点三：根据充分条件、必要条件求参数范围 例5. 设集合A=，集合B=，若的充分不必要条件，则的取值集合是__________. 例6. 已知集合A=，非空集合B=，若的必要不充分条件，则的取值集合是__________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $