第1章 1.3 第2课时 补集-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学补集核心知识点，系统讲解全集含义、补集的文字符号图形语言表达、性质及与交并集的综合运算，在交集并集基础上构建完整集合运算体系，为后续数学问题解决提供学习支架。 资料以学生获奖集合为情境引入，从现实世界抽象补集概念培养数学抽象素养，通过Venn图和数轴辅助教学强化数学运算能力，课中助力教师分层授课，课后练习题帮助学生巩固知识查漏补缺。

第2课时　补集 课程标准 素养解读 1.理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集 2．能够解决交集、并集、补集的综合运算问题 3．能借助Venn图，利用集合运算解决有关的实际应用问题 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养 [情境引入] 某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}． [问题]　没有获得金奖的学生有哪些？ 提示　没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}． [知识梳理] [知识点一]　全集　 1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的　所有元素　，那么就称这个集合为全集． 2．记法：通常记作　U　. 1.在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．所以全集不一定是实数集． [知识点二]　补集　 1．补集的概念 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为　集合A的补集　，记作　∁UA　 符号语言 ∁UA＝　{x|x∈U，且x∉A}　 图形语言 2.本质：补集既是集合之间的一种关系，又是集合的基本运算之一．补集是一个相对的概念，只相对于相应的全集而言． 3．作用： ①依据定义求集合的补集；②求参数的值或范围； ③补集思想的应用． 4．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝　U　. (2)A∩(∁UA)＝　∅　. (3)∁UU＝　∅　，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝　A　. (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 2.∁UA，A，U三者之间有什么关系？ 提示：A⊆U，∁UA⊆U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅. [预习自测] 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,3,4,6,7}，则集合∁UA＝(　　) A．{2,5,8}　　　　　　 B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} 答案：A 2．设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪(∁UN)＝(　　) A．{0,2,4,6,8} B．{0,1,4,6,8} C．{1,2,4,6,8} D．U 答案：A 3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝　________　. 答案：5 　补集的运算 [例1] 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B. [思路点拨]　先求出全集U，再由∁UB求出B. [解]　借助Venn图，如图所示， 得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∵∁UB＝{1,4,6,8,9}， ∴B＝{2,3,5,7}． (1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解． (2)补集的几个性质：∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁UA)＝U，解题时要注意使用． [变式训练] 1．(2025·全国一卷)已知全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0　　　　　　　 B．3 C．5 D．8 解析：C　[因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，共有8个元素，集合A中有3个元素，所以∁UA中元素的个数为8－3＝5，选C.] 　集合交、并、补的综合运算 [例2] (1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)． (2)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求：A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. [思路点拨]　(1)利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，求出∁UA及∁UB，然后求解． (2)可以依据交集、并集、补集的定义依次求解；在求(∁UA)∩(∁UB)时可以利用性质(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)简化运算；利用Venn图更直观简洁． [解]　(1)如图所示 ∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}， ∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}． ∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}． (2)解法一：A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}． ∵∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}， (∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 解法二：A∩B，A∪B，A∩(∁UB)求法同解法一． (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{1,2,6}， (∁UA)∪B＝∁U(A∩(∁UB))＝{1,2,4,6,7,8}． 解法三：画出Venn图，如图所示，观察此图可得，A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}， A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． [变式训练] 2．(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝(　　) A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8) (2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 解析：(1)因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}， B＝{1,3,4,6,7)， 所以∁UB＝{2,5,8}． 又A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}． (2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1<x<2}． ∁UB＝{x|x≤－1，或x>3}． 又P＝{x|x≤0，或x≥}， 所以(∁UB)∪P＝{x|x≤0，或x≥}． 又∁UP＝{x|0<x<}， 所以(A∩B)∩(∁UP) ＝{x|－1<x<2}∩ ＝{x|0<x<2}． 答案：(1)A　(2)见解析 补集的综合应用 [例3] 已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求实数a的取值范围． [思路点拨]　解答本题可先求出∁RB，然后利用A∁RB 求出a的取值范围． [解]　∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠∅， ∵A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A＝∅，此时有2a－2≥a， ∴a≥2. ②若A≠∅，则有，或. ∴a≤1. 综上所述，a≤1，或a≥2. 解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题． [变式训练] 3．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则(　　) A．∁UM⊇∁UN　　　　 B．M⊆∁UN C．∁UM⊆∁UN D．M⊇∁UN 解析：C　[∵M∩N＝N， ∴N⊆M，如图所示， ∴∁UM⊆∁UN.] 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪(∁UM)＝(　　) A．{2,3,5}　　　　　　 B．{1,3,4} C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5} 答案：A 2．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1)，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2) 答案：D 3．(2025·上海卷)已知全集U＝{x|2≤x≤5，x∈R}，集合A＝{x|2≤x<4，x∈R}，则∁UA＝　________　. 答案：{x|4≤x≤5，x∈R} 4．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＋b＝　________　. 答案：7 5．设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m. 解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A， 所以m2－m－1＝5， 解得m＝3或m＝一2. 当m＝3时，|3－2m|＝3≠5， 此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}； 当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5， 此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去． 综上，可知m＝3. 1．设全集U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,0，1,2}，B＝{－3,0,2,3}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{－3,3}　　　　　 B．{0,2} C．{－1,1} D．{－3，－2，－1,1,3} 答案：C 2．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A．{x|x≤1} B．{x|x≤－4} C．{x|－2<x≤1} D．{x|x≥1} 答案：A 3．已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{－2,3} B．{－2,2,3} C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3} 答案：A 4．全集U＝R，集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{y|y＝x2＋1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x≤1} 答案：A 5．已知M＝{x|x＜－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩(∁RM)≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≤3} B．{a|a＞－2} C．{a|a≥－2} D．{a|－2≤a≤2} 解析：C　[由题意知∁RM＝{x|－2≤x＜3}，N＝{x|x≤a}．∵N∩(∁RM)≠∅，∴a≥－2.] 6．(多选)设集合P＝{1,2,3}，Q＝{x|2≤x≤3}，则下列结论中正确的有(　　) A．P⊆Q B．P∩Q＝P C．(P∩Q)⊆P D．(∁RQ)∩P≠∅ 解析：CD　[集合P中1∉Q，故A错误；P∩Q＝{2,3}，故B错误，C正确；∁RQ＝{x|x<2或x>3}，(∁RQ)∩P＝{1}，故D正确．故选C、D.] 7．已知全集U，集合A＝{3,5,7}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝{4,6,8}，则集合B＝　________　. 解析：由题意知U＝A∪(∁UA)＝{2,3,4,5,6,7,8}，则B＝{2,3,5,7}． 答案：{2,3,5,7} 8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，M⊆U，∁UM＝{5,7}，则实数a＝　________　. 解析：由题意得M＝{1,3}，所以|a－5|＝3，即a＝2或8. 答案：2或8 9．(一题两空)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，则A＝　________　，B＝　________　. 解析：法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}． 法二：∵(∁UB)∩A＝{1,9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}， ∴∁UB＝{1,4,6,7,9}． 又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∴B＝{2,3,5,8}． ∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}， ∴A＝{1,3,9}． 答案：{1,3,9}　{2,3,5,8} 10．设集合U＝{x∈N|x＜10}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)． 解析：∵U＝{x∈N|x＜10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}， ∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}， A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9} ＝{1,3,4,5,6,7,8,9}， ∁UA＝{0,2,3,4,6,9}，∁UB＝{0,1,2,7,8}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0,2}，(∁UA)∪(∁UB)＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}． 11．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值． 解：∵(∁UA)∩B＝{2}， ∴2∈B，∴4－2a＋b＝0.　① 又∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A， ∴16＋4a＋12b＝0.　② 联立①②，解得 12．(多选)定义集合运算M－N＝{x|x∈M且x∉N}，称为集合M与集合N的差集；定义集合运算MΔN＝(M－N)∪(N－M)，称为集合M与集合N的对称差．有以下四个等式，其中正确的是(　　) A．MΔN＝NΔM B．(MΔN)ΔP＝MΔ(NΔP) C．M∩(NΔP)＝(M∩N)Δ(M∩P) D．M∪(NΔP)＝(M∪N)Δ(M∪P) 解析：ABC　[A选项，假设全集为U，由题意得M－N＝M∩(∁UN)，N－M＝N∩(∁UM)，所以MΔN＝(M∩(∁UN))∪(N∩(∁UM))，NΔM＝(N∩(∁UM))∪(M∩(∁UN))，所以MΔN＝NΔM，A正确； 由题意，MΔN表示的运算为集合M与N的并集中去掉M与N的交集部分， 不妨设M，N，P均有交集，如图所示． B选项，MΔN表示①②⑥⑦部分的并集，(MΔN)ΔP表示①②⑥⑦与③④⑥⑦的并集去掉两者的交集， 即(MΔN)ΔP表示①②③④部分的并集，NΔP表示②③⑤⑥部分的并集，MΔ(NΔP)表示②③⑤⑥与①④⑤⑥的并集去掉两者的交集， 即MΔ(NΔP)表示①②③④部分的并集，故(MΔN)ΔP＝MΔ(NΔP)，B正确；C选项，通过推理知M∩(NΔP)，(M∩N)Δ(M∩P)均表示⑤⑥部分的并集，C正确；D选项，通过推理得到M∪(NΔP)表示①②③④⑤⑥部分的并集， M∪N表示①②④⑤⑥⑦部分的并集，M∪P表示①③④⑤⑥⑦部分的并集，(M∪N)Δ(M∪P)表示①②④⑤⑥⑦与①③④⑤⑥⑦的并集去掉两者的交集，即②③部分的并集，D错误．] 13．定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，b∈R，有a⊕b＝ab，a⊗b＝.已知全集U＝{x|x＝(a⊕b)＋(a⊗b)，－2＜a≤b＜1且a∈Z，b∈Z}，集合A＝{x|x＝2(a⊕b)＋，－1＜a＜b＜2且a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x2－3x＋m＝0}． (1)求全集U和集合A. (2)集合A，B是否能满足(∁UA)∩B＝∅？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由． 解：(1)全集U中x＝(a⊕b)＋(a⊗b)＝ab＋，当a＝－1时，b＝0或b＝－1，此时x＝－或x＝1； 当a＝0时，b＝0，此时x＝0. 所以U＝. 集合A中x＝2(a⊕b)＋＝2ab＋，当a＝0时，b＝1，此时x＝－，所以A＝. (2)因为∁UA＝{0,1}，所以当(∁UA)∩B＝∅时，B＝∅或B＝A. 当B＝∅时，方程无实根，Δ＝(－3)2－4m＜0，解得m＞； 当B＝A时，方程有两个相等的实根，为－，所以 此时m的值不存在． 综上，实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $