1.3 第1课时 并集与交集-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

1.3集合 第1课时 课程标准 1.理解两个集合之间的并集和交集的含义 能用 2.能求两个集合的交集与并集 集和并 课前 [情境引入] 某班有学生20人，他们 的学号分别是1,2,3，…，20， 现有a,b两本新书，已知学号 是偶数的读过新书a,学号是 3的倍数的读过新书b. [问题](1)问至少读过一本书的有哪些同学？ (2)同时读了a,b两本书的有哪些同学？ 提示(1)至少读过一本书的有学号为2,3,4,6,8， 9,10,12,14,15,16,18,20的同学. (2)同时读了a,b两本书的有学号为6,12,18的 同学 [知识梳理] [知识点一]并集 1.并集的概念 ①自然语言：一般地，给定两个 集合A,B,由这两个集合的 所有元素组成的集合，称为A 与B的并集. ②符号语言：A与B的并集记 作AUB(读作“A并B”),则 AUB={xx∈A,或x∈B} ③图形语言：如图所示. ④我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来 理解. 2.并集运算的性质 ①AUB=BUA;②AUA=A; ③AU0=0UA=A; ④A二(AUB).B三(AUB); ⑤如果A二B,则AUB=B,反之也成立. 2思考1.集合AUB的元素个数是否等于集合A 与集合B的元素个数和？ 提示：不一定，AUB的元素个数小于或等于集合 A与集合B的元素个数和， 第一章集合与常用逻辑用语 的基本运算 并集与交集 素养解读 种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达集合的交 集运算，发展学生的数学抽象和数学运算素养 预习学案 对应学生用书P9 [知识点二]交集的概念 1.交集的概念 ①自然语言：一般地，给定两个集合A,B,由既属于 A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组 成的集合，称为A与B的交集 ②符号语言：A与B的交集记 作A∩B(读作“A交B”),则 A∩B={xx∈A,且x∈B} ③图形语言：如右图所示， ④我们经常使用的“且”可以借助集 合的交集来理解. 2.交集运算的性质 A B 对于任意两个集合A,B,都有： ①A∩B=B∩A; ②A∩A=A; ③A∩0=0∩A=0; ④(A∩B)三A,(A∩B)三B; ⑤如果A三B,则A∩B=A,反之也成立 ?思考2.当集合A,B无公共元素时，A与B有交 集吗？ 提示：有，交集为空集 3.若x∈(A∩B),则x∈(AUB)吗？反之，若x∈ (AUB),则x∈(A∩B)吗？ 提示：若x∈(A∩B),则x∈(AUB)成立； 反之，若x∈(AUB),则x∈(A∩B)不一定成立. 4.若A∩B=A,则A与B有何关系？若AUB A,则A与B又有什么关系？ 提示：若A∩B=A,则A三B; 若AUB=A,则B二A. [预习自测] 1.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B ={xx3=x},则A∩B A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 答案：D 数学·必修第一册 2.设集合A={1,2,3,4},集合B={1,3,5,7},则集 合AUB A.1,3} B.{1,2,3,4,5,7} C.{5,7} D.{2,4,5,7} 答案：B ● 课堂 题型一 并集的运算 [例1](1)设集合M={x|x2+2.x=0,x∈R,N= {xx2-2x=0,x∈R},则MUN= ( ) A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} (2)已知集合M={x|-3<x≤5}，N={xx<-5 或x>5},则MUN A.{xx<-5,或x>-3} B.{x|-5<x<5} C.{x3<x<5} D.{xx<-3,或x>5} 汇思路点拨](1)定义法：若集合是用列举法表示 的，可以直接利用并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数 组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. [解析](1)M={xx2+2x=0,x∈R}={0,-2}, N={x|x2-2.x=0,x∈R}={0,2},故MUN= {-2,0,2}. N M N 530 (2)在数轴上表示集合M,N,可知MUN={xx< -5或x>-3}.故选A. [答案](1)D(2)A 规律方法 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定 义求解，但要注意集合中元素的互异性， (2)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数 轴分析法求解，但要注意端点值的取舍： ⊙[变式训练] 1.(1)若集合M={-1,0,1},集合N={0,1,2},则 MUN= () A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} (2)已知集合P={x|x<3},集合Q={x|-1≤x ≤4}，则PUQ= A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4} C.{x|x≤4) D.{xx≥-1} 3.若集合A={x|-1<x<6},B={xx≤1，或x≥ 5},则AUB= ,A∩B= 答案：R{x|-1<x≤1，或5≤x<6} 互动学案 对应学生用书P11 解析：(1)因为M={-1,0,1},N={0,1,2}, 所以MUN={-1,0,1U{0,1,2}={-1,0,1,2}. (2)P={xx<3},Q={x|-1≤x≤4}， 如图，PUQ={xx≤4}. 34 答案：(1)D(2)C 题型二 交集的运算 [例2](1)设集合S={xx2+2x=0,x∈R},T {xx2-2x=0,x∈R},则S∩T ( A.{0} B.{-2} C.{-2,0} D.{-2,0,2}》 (2)已知集合M={x-1<x<3},N={x-2<x <1},则M∩N= ( A.{x|-2<x<1} B.{x|-1<x<1) C.{x|1<x<3} D.{x|-2<x<3} 汇思路点拨](1)求出集合S,T的元素，再根据 交集的定义求解. (2)借助数轴求解. [解析](1)集合S={-2,0},T={0,2},则S∩T ={0},故选A. (2)由图知M∩N={x|-1<x<1},选B. N M 。 [答案](1)A(2)B 规律方法 (1)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集 合A与B的公共元素组成的集合，当两个集 合没有公共元素时，两个集合的交集是空集， 而不能说两个集合没有交集. (2)求涉及不等式表示的集合的交集时，借助数轴 求解可化抽象为直观. ◇[变式训练] 2.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={xx2-x-6 ≥0}，则M∩N A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 解析：C由题意可知，集合N={xx≤-2，或x≥3}， 所以M∩N={-2}.故选C. 3.若集合A={x-2<x<1},B={xx<-1,或x >3},则A∩B= 解析：由集合交集的定义可得A∩B={x|一2<x <-1}. 答案：{x-2<x<-1} 题型集合并集、交集性质的应用 [例3](1)已知集合A={x|x≥2}，B={x|x≥m}, 且AUB=A,则实数m的取值范围是 (2)已知A={x2a≤x≤a十3}，B={xlx<-1,或 x>5},若A∩B=A,求a的取值范围. [思路点拨](1)由AUB=A,得B三A,可求出 m的取值范围. (2)由于A∩B=A,.A三B.结合数轴分A=财 与A≠必两种情况分别求解. (1)[解析]AUB=A,即B三A,所以m≥2. [答案]m≥2 (2)[解].A∩B=A,∴.A三B. ①若A=心，则2a>a十3，解得a>3; ②若A卡心，如图所示 2aa+3-10 5 2a a+3 x 则有2a≤a+3, 或/2a≤a+3, la+3<-1,12a>5, 解得a<-4或5 <a≤3. 综上所运a的取值范是{<一4，或a>} 规律方法 1.并集的性质 (1)①A三(AUB),B三(AUB); ②A=AUA,A=AU0; ③AUB=BUA. (2)若A三B,则AUB=B;反之若AUB=B,则 A二B.由于A=AU,因此，AUB=B中的 A可以为空集，这一点是要特别注意的. 2.交集的性质 (1)①(A∩B)三A,(A∩B)三B; ②A=A∩A,A∩=； ③A∩B=B∩A (2)若A三B,则A∩B=A;反之若A∩B=A,则 A三B.由于A∩=0，因此，A∩B=A中的 A可以为空集.空集的这一特殊性要特别注意 第一章集合与常用逻辑用语 3.利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会 遇到A∩B=A,AUB=B等这类问题，解答 时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合 间的关系去分析，如A∩B=A台A三B,AUB =B台A二B等，解答时应灵活处理. (2)当集合B二A时，如果集合A是一个确定的 集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B =②的情况，切不可漏掉， ◇[变式训练] 4.设集合A={x|x2-3.x+2=0},B={x|x2+ 2(a-1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值； (2)若AUB=A,求实数a的取值范围， 解：(1)由题意可知：A={xx2-3.x十2=0}={1， 2},因为A∩B={2},所以2∈B,将2代入集合B 中，得4+4(a-1)+(a2-5)=0, 解得a=-5或a=1. 当a=-5时，集合B={2,10},符合题意； 当a=1时，集合B={2,-2},符合题意. 综上所述：a=-5或a=1. (2)若AUB=A,则B三A,因为A={1,2},所以B =必或B={1}或{2}或{1,2}. ①若B=0,则△=4(a-1)2-4(a2-5) =24-8a<0, 解得a>3; △=24-8a=0, ②若B={1},则 2(a-1D=1-a=1, 2 即a3, 不成立； la=0, [△=24-8a=0, ③若B={2},则 x= 2(a-1)=1-a=2, 2 即/a3, 不成立； (a=-1, 4=24-8a>0, ④若B={1,2},则1+2=-2(a-1), 1×2=a2-5, fa<3, 即a=一 2,此时不成立，综上a>3. a=±√7， 数学·必修第一册 随堂 1.设全集U=R,集合A={x|x一1≤ 0},集合B={x-2<x<3},则图 中阴影部分表示的集合为 () A.{x|x<3} B.{.x|-3<x≤1} C.{x|x<2} D.{x|-2<x≤1} 答案：D 2.(2025·北京卷)集合M={x|2x-1>5},N={1, 2,3},则M∩N= A.{1,2,3} B.{2,3} C.{3} D.⑦ 答案：D 3.设M={0,1,2,4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4, 7,9},则(M∩N)U(M∩P)= 答案：{1,4,7} 课后⊙ 基础过关 》 1.设集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},则集合 AUB- ) A.{1,3,1,2,4,5} B.1} C.{1,2,3,4,5} D.{2,3,4,5} 答案：C 2.设集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},则A∩B = ) A.{1,8} B.{2,5} C.{2,3,5} D.{1,2,3,5,8} 答案：C 3.已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x3<x< 15},则A∩B中元素的个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 答案：B 4.已知集合A={-1,0,1,2,3},B= 则A∩B A.{0,1,2} B.{-1,1,3} C.{1,2} D.{1,3)} 答案：B 5.（多选)已知集合A={x|一2≤x≤7}，B={xm十 1<x<2m-1},则使AUB=A的实数m的取值 范围可以是 步步夯实 对应学生用书P12 4.已知A={xla<x≤a十8}，B={x|x<-1或x> 5},若AUB=R,则a的取值范围为 答案：{a|-3≤a<-1》 5.设集合A={-2},B={xax+1=0,a∈R,若AU B=A,求a的值. 解：AUB=A,.B二A. A={-2}≠0，B=或B≠0. 当B=必时，方程ax十1=0无解，此时a=0. 当B≠时，此时a≠0，则B={-, -上∈A,即-=-2，得a=2 1 a a 综上，a=0或a=2: 1 素养提升 对应学生课时P251 A.{mm≥2} B.{m-3<m<4} C.{m2<m<4} D.{mm≤4} 解析：BCD[AUB=A,.B二A. ①若B≠⑦，则m十1<2m-1,解得m>2. .A={x-2≤x≤7}，B={xlm十1<x<2m-1}, .m十1≥-2，且2m-1≤7，解得-3≤m≤4. 此时2<m≤4. ②若B=0,则m十1≥2m-1,解得m≤2，符合 题意 综上，实数m满足m≤4即可，故选B、C、D.] 6.(多选)已知集合M={x|a<x<3十a},N={x|x <2或x>4},则下列结论正确的是 () A.若a<-1,则M三N B.若a>4,则M二N C.若MUN=R,则1<a<2 D.若M∩N≠必，则1<a<2 解析：ABC[对于A,若a<-1,则3十a<2,则M 三N,故A正确；对于B,若a>4,显然对于任意x ∈M,x>4,则x∈N,故M三N,故B正确；对于C, 若MUN=R,则<2， 解得1<a<2,故C正 3+a>4, 确：对于D,若MnN=g,则≥2， 无解， (a+3≤4， 故M∩N≠，a∈R,故D错误.] 7.若集合A={x|2x十1>0}，B={x|-1<x<3},则 A∩B= 解析：A={x>-}B=-1<<3 画数轴如图： ，,B -2-1101234 AnB={-2<<3} 答案：{-合<<3} 8.设集合A={x∈Rx2+x-6=0},集合B={x mx十1=0}，且AUB=A,则m的值组成的集合是 解析：由AUB=A,得B三A.A={x∈Rx2+x-6 =0}={-3,2},当m=0时，B=必三A;当m≠0 时=品则-品=2或一品=-3，所以m 宁或m=合故所求象合为，一司} 答案：0合} 9.若集合A={x|-1<x<5},B={xx≤1，或x≥ 4},则AUB= ,A∩B= 解析：借助数轴可知： AUB=R,A∩B={x|-1<x≤1或4≤x<5. 答案：R{x-1<x≤1或4≤x<5》 10.已知集合A={x|-1<x≤3}， B={≤0，或x≥}求AnB,AUB 解：A=(-1<<3,B=(x<0,成x≥号， 把集合A与B表示在数轴上，如图， AnB=x-1<r≤3n{l≤0，或≥} ={-1<≤0，或号<≤3}： AUB=x-1<r≤3U{≤o,或≥2}-R 11.已知非空集合A={x2a+1≤x≤3a-5}, B={x|3≤x≤22}. (1)当a=10时，求A∩B,AUB; (2)求能使A二(A∩B)成立的a的取值范围. 第一章集合与常用逻辑用语 解：(1)当a=10时，A={x21≤x≤25}. 因为B={x3≤x≤22}， 所以A∩B={x21x22}, AUB={x|3≤x≤25}. (2)由A二(A∩B),可知A三B, 因为A为非空集合， 2a+1≥3， 所以{3a-5≤22， 解得6≤a≤9. l2a+13a-5, 能力提升 -》 12.已知集合S={1,2,3,…,10},S的子集A满足 A∩{1,2,3}≠，AU{4,5,6}≠S,这样的子集A 的个数为 解析：先求使A∩{1,2,3}≠⑦成立的S的子集A 的个数N1,在{1,2,3}中取出至少一个元素的方 式有7种，而集合{4,5，…，10}的子集有2个，因 此N1=7×27=896.再扣除其中使AU{4,5,6} =S的集合A的个数N2,这些取法中1,2,3,7， 8,9,10均被取出，而集合{4,5,6}的子集有23个， 因此N2=23=8.从而满足条件的子集A的个数 为N1-N2=896-8=888. 答案：888 13.设集合A={xlx2-a.x十a2-19=0},B={xx2 -5x+6=0},C={xx2+2x-8=0} (1)若A∩B=AUB,求实数a的值； (2)若必(A∩B),且A∩C=0,求实数a的值； (3)若A∩B=A∩C≠必，求实数a的值、 解：(1)B={xx2-5x+6=0}={2,3}, 因为A∩B=AUB,所以A=B,则A={2,3}, 所以2+3=4 解得a=5. 12×3=a2-19 (2)因为0年(A∩B),且A∩C=,B={2,3}, C={x|x2+2x-8=0}={-4,2}, 所以-4年A,2年A,3∈A, 所以32-3a十a2-19=0, 即a2-3a-10=0,解得a=5或a=-2. 当a=-2时，A={-5,3},满足题意； 当a=5时，A={2,3},不满足题意，舍去. 综上，可知a=-2. (3)因为A∩B=A∩C≠⑦，B={2,3},C={-4, 2},所以2∈A,则22-2a+a2-19=0,即a2-2a -15=0,解得a=5或a=-3.当a=5时，A= {2,3},不满足题意，舍去；当a=一3时，A= {-5,2},满足题意.综上，可知a=-3.