第1章 §1.1 集合的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦集合的核心知识，从生活实例引入元素与集合概念，梳理元素的确定性、互异性、无序性特征，明确元素与集合的属于关系及常用数集符号，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以生活实例培养数学眼光，通过问题链引导逻辑推理发展数学思维，规范符号与表示方法提升数学语言表达。课中问题探究与例题解析助力教学，课后训练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

学习目标　1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题.(重点) 2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.(重点)3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(重难点) 导语 在日常生活中，同学们经常听到“集合”一词.比如体育课上，体育老师常常在开始的时候说“集合”，现代汉语解释为“许多分散的人或物聚集在一起”.在我们数学课上也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子. 一、元素与集合的概念 问题1　下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ (1)1~10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2-3x+2=0的所有实数根. 提示　以上例子描述的内容都是某种研究对象的总体组成的，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中的事物或人等. 问题2　问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？ 提示　都能构成集合.(1)中的元素是：2，4，6，8，10；(2)中的元素是：立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)中的元素是：正方形；(4)中的元素是：到直线l的距离等于定长d的点；(5)中的元素是：1，2. 知识梳理 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 3.集合中元素的特征：确定的，互异性，无序的. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关. 例1　(1)下列说法中正确的是(　　) A.与定点A，B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 答案　C 解析　A不正确，与定点A，B等距离的点在线段AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由“title”中的字母构成的集合中的元素为t，i，l，e，共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合. (2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为　　　　　　. 答案　a≠±1 解析　由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1. 延伸探究　在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4，且集合A=B”，则a=　　　　　. 答案　±2 解析　由题意得a2=4，a=±2，符合题意. 反思感悟　(1)判断元素是否能够构成集合，主要是看集合中的元素是否满足确定性、互异性、无序性. (2)若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等. 二、元素和集合之间的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写. (2)0属于自然数集. 例2　(1)(多选)下列所给关系正确的是(　　) A.π∈R B.∉Q C.0∈N* D.|-5|∉N* 答案　AB 解析　对于选项A，π是实数，所以π∈R正确；对于选项B是无理数，所以∉Q正确；对于选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误；对于选项D，|-5|=5为正整数，所以|-5|∉N*错误. (2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1，若-3∈A，则实数a=　　　　. 答案　0或-1 解析　因为-3∈A， 所以解得a=0或a=-1. 反思感悟　判断元素和集合关系的方法 (1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 三、集合的表示 角度1　列举法表示集合 问题3　用A表示“地球上的四大洋”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？请把集合A中的所有元素逐一列举出来. 提示　这是用自然语言表示的集合；太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋. 知识梳理 列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可，不必考虑元素间的顺序. (3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. (4)这里，集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 例3　(课本例1)用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合. 解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}. 例3　用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C； (4)方程组的解组成的集合D. 解　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A={0，2，4，6，8，10}. (2)小于8的质数有2，3，5，7， 所以B={2，3，5，7}. (3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1所以C=. (4) 解方程组所以D={(3，2)}. 反思感悟　用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来. 角度2　描述法表示集合 问题4　不等式x-7<3的解集能用列举法表示吗？为什么？ 提示　不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}. 问题5　阅读课本，请仿照上面的例子表示出偶数集. 提示　{x∈Z|x=2k，k∈Z}. 知识梳理 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性. (2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. (3)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}是错误的. 例4　(课本例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解　(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2-2=0.因此，用描述法表示为 A={x∈R|x2-2=0}. 方程x2-2=0有两个实数根}. (2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为 B={x∈Z|10<x<20}. 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为 B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}. 例4　用描述法表示下列集合： (1)不等式2x-3<1的解集组成的集合A； (2)B={2，4，6，8，10}； (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C. (4)方程+|x-2y-4|=0的解集. 解　(1)不等式2x-3<1的解集组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设x∈A，则x满足2x-3<1，则A={x|2x-3<1}， 即A={x|x<2}. (2)设x∈B，则x=2n，n∈Z，且2≤x≤10， 所以x=2n，n≤5，n∈N*. 所以B={x|x=2n，n≤5，n∈N*}. (3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为C={(x，y)|x<0，y>0}. (4)由题意可得，2x+y-3和x-2y-4需同时为0. 解集用描述法可以表示为 解集用列举法可以表示为(2，-1). 反思感悟　用描述法表示集合的三个步骤 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示. (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围. (3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件. 跟踪训练　选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D. 解　(1)列举法A={0，1，2，3，4，5，6，7}， 描述法A={x∈N|x<8}. (2)描述法B={x|x=n2，n∈N}. (3)列举法C={(2，1)}， 描述法C=. (4)描述法D={(x，y)|y=x2+2x-10}. 1.知识清单： (1)元素与集合的概念. (2)元素与集合的关系. (3)常用数集的记法. (4)集合表示方法：列举法和描述法. 2.方法归纳：直接法、推理法、分类讨论. 3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素；集合中忽略对互异性的判断；列举法与描述法的乱用. 1.(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A.接近于1的所有正整数 B.小于0的实数 C.(2 025，1)与(1，2 025) D.未来世界的高科技产品 答案　BC 解析　A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 025，1)与(1，2 025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品标准不明确，不能构成一个集合. 2.由大于-3且小于11的奇数所组成的集合是(　　) A.{x|-3<x<11，x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11，x=2k+1} D.{x|-3<x<11，x=2k+1，k∈Z} 答案　D 解析　由题意可知，满足题设条件的只有D. 3.用列举法表示集合D={(x，y)|y=-x2+8，x∈N，y∈N}为　　　　　　　　　　. 答案　{(0，8)，(1，7)，(2，4)} 4.若由a1组成的集合A与由a2，a+b，0组成的集合B相等，则a2 026+b2 026的值为　　　　. 答案　1 解析　由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0， 所以=0，所以b=0， 所以a2=1，即a=±1， 又当a=1时，集合A，B均不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以a=-1. 所以a2 026+b2 026=1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)下面给出的四类对象中，能构成集合的是(　　) A.2025年参加“两会”的代表 B.长寿的人 C.小于π的所有整数 D.倒数等于它本身的数 答案　ACD 解析　A，C，D中的元素是确定的. 2.集合{(x，y)|y=2x-2}表示(　　) A.方程y=2x-2 B.点(x，y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合 答案　D 解析　本题中的集合是点集，其表示一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合. 3.下列元素与集合的关系中，正确的是(　　) A.-1∈N B.0∈Z C.0.∉Q D. ∈Q 答案　B 解析　因为-1不是自然数，所以A不正确；因为0是整数，所以B正确；因为0.是有理数，所以C不正确；因为是无理数，不是有理数，所以D不正确. 4.下列说法中，正确的为(　　) A.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 B.{(x，y)|x+y=0}={x|x+y=0} C.{x|x2-4x+4=0}={y|y=2} D.集合{(2，2)}不满足元素的互异性 答案　C 解析　由于集合{x|4<x<5}中有无数个元素，故不宜用列举法表示，故A错误；集合{(x，y)|x+y=0}是点集，集合{x|x+y=0}是数集，两个集合的元素不相同，故B错误；{x|x2-4x+4=0}={2}={y|y=2}，故C正确；集合{(2，2)}只有一个元素(2，2)，符合集合的互异性，故D错误. 5.设A是关于x的方程x2+ax+4=0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　) A.-5 B.-4 C.4 D.5 答案　B 解析　因为2∈A，所以22+2a+4=0，解得a=-4. 6.已知A={a-2，2a2+5a，12}，且-3∈A，则由a的值构成的集合是(　　) A.- B. C.{-1} D. 答案　D 解析　∵-3∈A，A={a-2，2a2+5a，12}， ∴ 解得a=-. 故由a的值构成的集合是. 7.(多选)下列集合中表示同一个集合的是(　　) A.M={(3，2)}，N={(2，3)} B.M={2，3}，N={3，2} C.M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1} D.M={x|x>2}，N={t|t>2} 答案　BD 解析　选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M与N是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合. 8.(5分)设集合A中含有1，a，b三个元素，集合B中含有a，a2，ab三个元素，若A=B，则实数a=　　　　，b=　　　　. 答案　-1　0 解析　由题意，得1∈B且a≠1，a≠0， ∴ ① 或 ② 由a≠1，解①得 解②得与a≠1矛盾， ∴a=-1，b=0. 9.(5分)若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素，则实数k的取值范围为　　　　　　　　. 答案　{k|k<1且k≠0} 解析　若集合A中有2个元素，则方程kx2+4x+4=0有两个不同的根， 即∴k<1且k≠0. 10.(13分)用适当的方法表示下列集合： (1)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；(3分) (2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合；(3分) (3)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3分) (4)不等式x-2>6的解集；(4分) 解　(1)用列举法可表示为{1，2，3，4，5，6}. (2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}. (3)用描述法可表示为{x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}. (4)用描述法可表示为{x|x>8}. 11.已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 答案　D 解析　由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，即D错误. 12.(多选)已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中的元素的是(　　) A.(1，2) B.(3，4) C.(5，4) D.(3，2) 答案　CD 解析　因为B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，故满足条件的元素(x，y)有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)，因为C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，所以集合C中的元素有(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4). 13.(5分)由实数x，-x，|x|-所组成的集合，最多含　　　　　　　个元素. 答案　2 解析　当x>0时，x=|x|=-=-x<0，此时集合中共有2个元素；当x=0时，x=|x|==-=-x=0，此时集合中共有1个元素；当x<0时=|x|=-=-x>0，此时集合中共有2个元素.综上，此集合最多有2个元素. 14.(13分)设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0).求证： (1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(5分) (2)集合A不可能是单元素集.(8分) 证明　(1)由题意知，若a∈A，则∈A. 又因为2∈A，所以=-1∈A. 因为-1∈A，所以∈A. 因为∈A，所以=2∈A. 所以若2∈A，则A中必还有另外两个元素，为-1. (2)若A为单元素集， 则a= 即a2-a+1=0，Δ=1-4=-3<0，方程无实数解. 所以a≠所以集合A不可能是单元素集. 15.(5分)已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M中的元素个数为　　　　. 答案　3 解析　针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论，此时代数式的值分别为4，0，0，-4，则M中的元素共3个. 16.(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，下列四个结论中正确的是(　　) A.2 025∈[0] B.-3∈[3] C.若整数a，b属于同一“类”，则a-b∈[0] D.若a-b∈[0]，则整数a，b属于同一“类” 答案　ACD 解析　对于A，因为2 025=405×5，所以2 025∈[0]，故A正确；对于B，因为-3=5×(-1)+2，所以-3∈[2]，故B错误；对于C，若a与b属于同一“类”，则a=5n1+k，b=5n2+k，a-b=5(n1-n2)∈[0](其中n1，n2∈Z)，故C正确；对于D，若a-b∈[0]，设a-b=5n，n∈Z，即a=5n+b，n∈Z，不妨令b=5m+k，m∈Z，k=0，1，2，3，4，则a=5m+5n+k=5(m+n)+k，m∈Z，n∈Z，所以a与b属于同一“类”，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $