1.1 集合的概念-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的 在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和 属于关系 图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基 素养和数学运算素养 础上.用符号语言刻画集合 课前。预习学案 对应学生用书P1 [情境引入] [知识点二]元素与集合的关系 情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康 1.元素与集合的表示 托尔(1829-1920，德国数学家).集合论被誉为20世 通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合； 纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研 通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素， 究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不 2.元素与集合的关系 仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻 知识点 关系 概念 记法 读法 辑学 如果a是集合 情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点，在 “a属 属于 A中的元素，就 a∈A 学校体育馆举行军训动员大会. 元素 于A” 说a属于A [问题]这个通知的对象是全体高一学生还是个别 与集 如果a不是集 对象？ 合的 关系 合A中的元 “a不属 提示通知的对象是全体高一学生· 不属于 aA 素，就说a 于A” [知识梳理] 不属于A [知识点一]元素与集合的相关概念 ?思考3.元素与集合之间有第三种关系吗？ 1,元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写 拉丁字母a,b,c,…表示。 提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集， ∈A”与“a任A”这两种结果. 通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示。 [知识点三] 常见的数集及符号表示 3.集合相等：构成两个集合的元素是一样的. 数 非负整数集 正整 有理 4.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性 整数集 实数集 (自然数集)》 数集 数集 纪思考1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 符 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数 N或N Q 式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或 人等 ?思考4.N与N*(N+)有何区别？ 2.某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 提示：N*是所有正整数组成的集合，而N是由O 提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为 和所有的正整数组成的集合，所以N比N*(N) 高个子男生没有明确的标准。 多一个元素0. 数学·必修第一册 [知识点四]集合的表示 [预习自测] 1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花 1.下列各组对象中不能构成集合的是 括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法， A.某校高一(2)班的全体勇生 2思考5.一一列举元素时，需要考虑元素的顺 B.某校全体学生的家长 序吗？ C.李明的所有家人 提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 D.王明的所有好朋友 例如：{a,b}与{b,a}表示同一个集合. 答案：D 2.设集合A只含有一个元素a,则下列各式正确的是 2.描述法 ( 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具 A.0∈A B.aA 有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 C.a∈A D.a=A (x∈AP(x)},这种表示集合的方法称为描述法， 答案：C 有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A:P(x)} 或{x∈A;P(x)} 3.下列四个关系式：①万∈R:②是EQ:③0∈N: 2思考6.集合A={xx-1=0}与集合B={1}表 ④0∈{0}.其中正确的个数是 示同一个集合吗？ A.1 B.2 提示：A={x|x-1=0}={1}与集合B表示同 C.3 D.4 个集合 答案：C 课堂。互动学案 对应学生用书P2 题型 集合的概念 ⊙[变式训练] [例1]考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明 1.(多选)下列说法正确的是 理由 A.中国的所有直辖市可以组成一个集合 (1)2026年全国高考数学试卷中的所有难题； B.高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合 (2)观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞船交会 C.正偶数的全体可以组成一个集合 对接的电视观众； D.大于2014且小于2026的所有整数不能组 (3)接近1的全体实数； 成集合 (4)篮球比林书豪打得好的球员， 解析：AC[B中，由于“较胖”的标准不明确，不满 汇思路点拔]根据集合元素的确定性判断： 足集合元素的确定性，所以B错误；D中的所有整 [解](1)试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是 数能组成集合，所以D错误.] 无法确定的，故不能组成一个集合；(2)元素“观众” 是确定的，所以能组成一个集合；(3)接近1的实数 题型二 元素与集合的关系 没有一个明确的标准，所以这些实数是无法确定 [例2幻下列关系中正确的个数为 的，不能组成一个集合；(4)哪些球员比林书豪打得 ①√2∈Q;②0tN;③πtR;④|-4|∈Z 好是不确定的，所以不能组成一个集合。 A.1 B.2 C.3 D.4 规律方法 汇思路点拨了先明确符合Q、N、R及Z的含义， 判断一些对象能否构成集合的方法 再判断√2,0，π，一4与相应数集的关系， (1)判断每个对象是否具有确定性是判断其能否 构成集合的关键. 解析：A[①√2是无理数，√2￠Q,故①错误； (2)判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到 ②0是非负整数，∴.0∈N故②错误； 一个明确的衡量标准. ③，π是实数，∴π∈R,故③错误； 提醒：注意集合中元素的互异性、无序性 ④一4=4是整数，.一4∈Z,故④正确.门 2 第一章集合与常用逻辑用语 规律方法 ◇[变式训练] 1.判断元素与集合关系的2种方法 3.集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要 元素1和a2,若P与Q相等.则a= 判断该元素在已知集合中是否出现即可： 解析：由题意知a2=4,即a=士2. (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要 答案：±2 判断该元素是否满足集合中元素所具有的特 题型四列举法和描述法的灵活运用 征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具 有什么特征. [例4幻用适当的方法表示下列集合： 2.已知元素与集合的关系求参数的思路 (1)比5大3的数组成的集合 当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元 (2)方程x2+y2-4x十6y十13=0的解集； 素.反之，当a任A时，结论恰恰相反 (3)不等式x-3>2的解的集合； 利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解 (4)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的 参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求 集合 得的参数进行检验： [思路点拨了(3)(4)应进描述法，(1)(2)应选列 ⊙[变式训练] 举法， 2集合A中的元米x清足3∈N,x∈N,则集合A [解] (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}. 中的元素为 (2)方程x+y2-4x+6y+13=0可化为：(x-2)2+ 解析：曲∈Ne∈N知≥0：3>0，且x≠ 0+3)2=0=2, y=-3, 方程的解集为{(2，一3). 3,故0≤x<3.又x∈N,故x=0,1,2.当x=0时， (3)由x-3>2,得x>5. 6 30=2∈N,当x-1时31=3∈N:当x=2时， 故不等式的解集为{xx>5}. 3一2=6∈N.故集合A中的元素为0,1,2. 6 (4)“二次函数y=x2一10的图象上的所有，点”用描 述法可表示为{(x,y)y=x2-10}. 答案：0,1,2 题型三】 集合中元素的特性 规律方法 用列举法和描述法表示集合的三点要求 [例3]已知集合A含有三个元素1,0，x.若x2∈A, 求实数x的值 明确集合中的元素 思路点拔]可令x=1,0或x解得x的值. 自 明确元素满足的条件 [解]若x2=0,则x=0,此时集合A中有两个相 同元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去 根据集合中元素的特点来 若x2=1,则x=士1. 选择表示集合的方法 当x=1时，集合A中有两个相同元素1，舍去； (1)根据表示集合的元素的特点选择适当方法表 当x=-1时，集合A中三个元素为1,0，一1， 示集合，一般要符合最简原则 符合. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举 若x2=x,则x=0或x=1, 法表示.描述法既可以表示元素个数无限的集 不符合互异性，都舍去. 综上可知：x=-1. 合，也可以表示元素个数有限的集合 规律方法 ◇[变式训练] 根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3 4.选择适当的方法表示下列集合. 个步骤 (I)Welcome中的所有字母组成的集合； 求解夕根据集合中元素的确定性，解出字母所有取值 (2)所有正偶数组成的集合； 检验夕根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验 (3)二元二次方程组的解集， ly=x /作答子 写出所有符合题意的字母的取值 (4)所有正三角形组成的集合， 3 数学·必修第一册 解：(1)列举法：列举出所有字母得{W,e,1,c, (3)列举法：求出该方程组的解，为 o,m}. (2)描述法：正偶数可以写成正整数的2倍，所以用 口=0'所以用列举法表示为{(0,0)，11). (y=0, 描述法表示为{xx=2k,k∈N”}. (4)描述法：{xx是正三角形} 随堂。步步夯实 对应学生用书P5 ● 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是 C.2∈A,且(3,10)∈B A.拥有手机的人 D.(3,10)∈A,且2∈B B.2026年高考语文难题 答案：C C.所有有理数 4.由实数x,一x,x,√，π所组成的集合里面 D.小于π的正整数 元素最多有 个. 答案：ACD 答案：2 2.下列说法正确的有 ( 5.已知集合A由元素a-3,2a-1,a2-4构成，且-3 @1∈N:②5∈N:③∈Q:④2+E∈Q: ∈A,求实数a的值 ⑦g2 解：因为-3∈A,所以a-3=-3或2a-1=-3 或a2-4=-3. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 若a-3=-3,则a=0,此时集合A={-3,-1,-4}, 答案：B 符合题意， 3.集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)y=x2+ 若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A={-4,-3, 1}(A,B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关 一3}不满足集合中元素的互异性. 系都正确的是 若a-4=-3,则a=1或a=-1(舍去)，当a=1 A.2∈A,且2∈B 时集合A={-2,1,-3},符合题意.综上可知，a B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B =0,或a=1. 课后。素养提升 对应学生课时P247 基础过关 4.集合(1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的 》 一个是 () 1.下列说法正确的是 A.{x|x是小于18的正奇数 A.某校爱好足球的同学组成一个集合 B.{x|x=4k十1，k∈Z,且k<5} B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合 C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5} C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合 D.{xx=4s-3,s∈N*,且s≤5} 1,3,6,工组成的集合有7个元素 D.1,05,224'√4 答案：D 5.（多选)若以集合中的三个元素为边可构成一个三 答案：C 角形，则该三角形可能是 () 2.已知方程x2一16=0的解是集合A中的元素，则下 列关系不正确的是 A.锐角三角形 B.直角三角形 ) C.钝角三角形 D.等腰三角形 A.4∈A B.{-4}∈A 解析：ABC[若以集合中的三个元素为边可构成 C.-4∈A D.4∈A且-4∈A 一个三角形，则由集合元素的互异性可得，三个元 答案：B 素互不相等，即三边都不相等，故选ABC.] 3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个 四边形，则这个四边形可能是 () 6,（多选)已知x,y,为非零实数，代数式而十立 A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 十后+的值所组皮的集合是M,则下列判 答案：A 断正确的是 ) ·生· 第一章集合与常用逻辑用语 A.0M B.2∈M 能力提升 -》》 C.-4∈M D.4∈M 解析：CD[x,y,之同为正数时，代数式的值为4， 12若a,合，1组成的袋合与d,a十b,0组皮的案合 所以4∈M;当x,y,之中只有一个负数或有两个负 为同一个含3个元素的集合，则a226十b226的值 数时，代数式的值为0；当x,y,之同为负数时，代数 为 式的值为一4.故选C、D.] 解析：因为a,2,1组成的集合与a2,a十b,0组成 7.若x∈N,则满足2x一5<0的元素组成的集合中所 有元素之和为 的集合为同一个集合， 解析：由2x-5<0,得<号又x∈N=01,2故 b二0， 1b=0, 所以{a解得 或/0， a2=1, la=-1 a-1. 所有元素之和为3. 答案：3 b=0, 当 时，三个元素组成的集合为{一1,0,1}， 8.不等式x-a≥0的解集为A,若3任A,则实数a的 a=-11 取值范围是 符合题意； 1b=0, 解析：因为3￠A,所以3是不等式x一a<0的解， 当 时，集合中有相同的元素，所以不符合 la=1 所以3-a<0,解得a>3. 题意 答案：a>3 b=0, 9.由实数x,一x,|x|,√x,-x所组成的集合中 综上， 0a=-1, 最多含有个元素，最少含有 个元素 所以a2026+b2026=(-1)2026+02026=1. 解析：√-x=土x,-x=一x,且当x=0 答案：1 时，x=一x=|x=√=-=0，由实数x, 13.已知集合A={xx=m十nW5,且m2-3n2=1,m, 一x,x,√，一x所组成的集合中最多含有2 n∈Z. 个元素，最少含有1个元素. (1)判断（√2+√6）2是否为A中元素； 答案：21 (2)设c∈A,求证：C=∈A; 2+3 10.分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2-5=0的所有实数根组成的集合A; (3)证明：若x∈A,则x十是偶数。 (2)由小于8的所有自然数组成的集合B. (1)解：因为(2十√6)=8十4√5，此时m=8,n= 解：(1)描述法表示为A={x∈R|x2-5=0},列 4,不满足m2-3n2=1,所以(2+√6)2不是集合 举法表示为A={5,-5. A中元素. (2)描述法表示为B={x∈N|x<8),列举法表示 (2)证明：因为c∈A,所以可设c=m十n√3，m,n 为B={0,1,2,3,4,5,6,7}. 11.已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成 ∈Z,所以、C。=m+n5=0m+n3)(2-5 2+52+√5 的，且-3∈A,求实数a. =(2m-3n)+(2n-m)3.因为2m-3n,2n-m 解：由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2十5a, 都是整数，且(2m-3n)2-3(2n-m)2=m2-3n “0=-1成a=-是 =1,所以、C∈A. 则当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不符 2+√3 合集合中元素的互异性，故a=一1应舍去. (3)证明：因为x∈A,所以x十1=m十n√3+ 当a=-名时0-2=-名202十50=-3，特合 m+n√5 =m十n5+m二n=2.因为m∈z. m2-3n2 集合中元素的互异性，a=一多 Γ2 所以2m为偶数，即x十1为偶数. ·5·