第5章 5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，通过“月亮圆缺”现象导入，结合已学图象和诱导公式，搭建从直观到抽象的学习支架，帮助学生理解周期函数定义、最小正周期及奇偶性判断方法。 其亮点在于注重概念形成与思维训练，通过问题链引导观察推理，如用定义法和公式法求y=cos2x周期，强调定义域优先判断奇偶性。体现数学眼光（抽象概念）、数学思维（逻辑推理），助力学生掌握方法，教师教学更系统高效。

第1课时 周期性与奇偶性 第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 <<< 1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.(重点) 2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.(难点) 学习目标 同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今夜圆，却疑圆处减婵娟.一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质. 导 语 一、正弦函数、余弦函数的周期 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 课时对点练 三、三角函数周期性、奇偶性的应用 随堂演练 内容索引 正弦函数、余弦函数的周期 一 提示　能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0，2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象.②诱导公式一，sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos α，对任意的k∈Z都成立. 正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？ 问题1 1.周期函数 条件 ①设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T ②使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且___________ 结论 函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的_____ f(x+T)=f(x) 周期 知识梳理 2.最小正周期 条件 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__________ 结论 这个最小正数就叫做f(x)的___________ 最小的正数 最小正周期 3.正弦函数、余弦函数的周期性 函数 _______ _______ 周期 _______________ _______________ 最小正周期 2π ___ y=sin x y=cos x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 注 意 点 <<< 9 　(课本例2)求下列函数的周期： (1)y=3sin x，x∈R； 例 1 ∀x∈R，有3sin(x+2π)=3sin x. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π. 解 10 (2)y=cos 2x，x∈R； 令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cos z的周期为2π，即cos(z+2π)=cos z， 于是cos(2x+2π)=cos 2x， 所以cos 2(x+π)=cos 2x，x∈R. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π. 解 11 (3)y=2sin，x∈R. 令z=，由x∈R得z∈R，且y=2sin z的周期为2π，即2sin(z+2π)=2sin z， 于是2sin. 所以2sin. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π. 解 12 　求下列三角函数的周期： (1)y=7sin x，x∈R； 例 1 因为7sin(x+2π)=7sin x，由周期函数的定义知，y=7sin x的周期为2π. 解 (2)y=sin 2x，x∈R； 因为sin 2(x+π)=sin(2x+2π)=sin 2x，由周期函数的定义知，y=sin 2x的周期为π. 解 13 (3)y=sinx∈R； 因为sin =sin=sin由周期函数的定义知，y=sin 的周期为6π. 解 14 (4)y=|cos x|，x∈R. y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知，y=|cos x|的周期为π. 解 15 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T=. (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可. 反 思 感 悟 16 求下列三角函数的最小正周期： (1)y=|sin x|； 由f(x)=|sin x|，f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x)， 得y=|sin x|的最小正周期为π(或通过图象判断). 解 跟踪训练1 (2)y=cos πx； 由y=cos πx，得T==2. 解 17 (3)y=3sin； 由y=3sin得T==4π. 解 (4)y=2cos. 由y=2cos得T==π. 解 18 二 正弦函数、余弦函数的奇偶性 提示　正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称. 继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？ 问题2 正弦函数是 ，余弦函数是 . 奇函数 偶函数 知识梳理 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=sin； 例 2 f(x)=sin=-cosx，x∈R. 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=-cos=-cosx=f(x)， 所以函数f(x)=sin是偶函数. 解 22 (2)f(x)=|sin x|+cos x； 函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R， 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x)， 所以函数f(x)=|sin x|+cos x是偶函数. 解 23 (3)f(x)=x2cos. f(x)=x2cos=-x2sin x，x∈R， 因为∀x∈R，都有-x∈R， 又f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x)， 所以函数f(x)=x2cos为奇函数. 解 24 判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(-x)的关系. (2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. 反 思 感 悟 25 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=sin xcos x； 函数的定义域为R，关于原点对称. ∵f(-x)=sin(-x)cos(-x) =-sin xcos x=-f(x)， ∴f(x)=sin xcos x为奇函数. 解 跟踪训练2 26 (2)f(x)=； 由得cos x=1， ∴函数的定义域为{x|x=2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称. 当cos x=1时，f(-x)=0，f(x)=±f(-x). ∴f(x)=既是奇函数又是偶函数. 解 27 (3)f(x)=. ∵1+sin x≠0，∴sin x≠-1， ∴x∈R且x≠2kπ-k∈Z. ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数. 解 28 三角函数周期性、奇偶性的应用 三 提示　通过研究一个周期内的函数图象和性质，可推导出整个函数具有的性质. 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？ 问题3 　(1)已知函数y=2sin是偶函数，则θ的值为 A.0 B. C. D. 例 3 因为函数y=2sin为偶函数，所以θ+=kπ+k∈Z)，即θ=+ kπ(k∈Z).又θ∈所以θ=代入检验，得到y=2sin= 2cos x，显然符合题意.故θ=. 解析 √ 31 (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)=sin x，则f 等于 A.- B. C.- D. f=f =f=f  =f=f=sin. 解析 √ 32 在本例(2)条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f 的值为　　　. 延伸探究1 f=f=f=f =f=-f=-sin=-. 解析 　- 33 若本例(2)中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f =-f(x)，f =1，则f的值为　　. ∵f=-f(x)， ∴f(x+π)=-f=-[-f(x)]=f(x)，∴T=π， ∴f=f=f=f =1. 解析 延伸探究2 1 34 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解. (2)对y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)， 当φ=kπ(k∈Z)时，是奇函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时，是偶函数. 对y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)， 当φ=kπ(k∈Z)时，是偶函数； 当φ=+kπ(k∈Z)时，是奇函数. φ为其他值时，均为非奇非偶函数. 反 思 感 悟 35 已知奇函数f(x)满足f =f(x)，当x∈时，f(x)= cos x，则f 的值为　　. ∵f =f(x)， ∴T= 又f(x)为奇函数， ∴f =f =f =-f =-=-cos =-. 解析 跟踪训练3 　- 36 1.知识清单： (1)周期函数的概念，三角函数的周期. (2)三角函数的奇偶性. (3)三角函数周期性、奇偶性的应用. 2.方法归纳：定义法、公式法、数形结合法. 3.常见误区：函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数， 且A≠0，ω≠0)的周期为T=. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.函数f(x)=sin(-x)是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 √ 由于x∈R， 且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x)， 所以f(x)为奇函数. 解析 1 2 3 4 2.下列函数中，周期为的是 A.y=sin B.y=sin 2x C.y=cos D.y=cos(-4x) √ y=cos(-4x)=cos 4x. T=. 解析 1 2 3 4 3.已知f(x)为奇函数，且周期为若f =-1，则f =　. ∵T=又f(x)为奇函数， ∴f =f =f  =-f =-(-1)=1. 解析 1 1 2 3 4 4.已知函数f(x)=是奇函数，当φ∈时， φ=　　. 因为函数f(x)=是奇函数， 所以+φ=kπ+k∈Z)，即φ=kπ+k∈Z)， 又因为φ∈ 所以令k=0，φ=. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A A B AC ABC 题号 9 11 12 13 15 答案 cos 2x(答案不唯一) B C 1-sin x 1 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(x)=2cos=2cos=-2sinx， ∴f(-x)=-2sin=2sinx=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x) =cos x-x3sin x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为函数f(x)的最小正周期为T=π，且ω>0， 所以由T==π，得ω=2. (2)由(1)知f(x)=sin 因为g(x)=f(x+φ)， 所以g(x)=sin=sin. 又因为g(x)是奇函数， 所以2φ+=kπ，k∈Z，即 φ=k∈Z， 又因为|φ|<所以k=0，即φ=-. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)y=sin x+|sin x|=k∈Z. 函数图象如图所示. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，故函数的最小正周期是2π. (3)因为函数图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称， 所以函数y=sin x+|sin x|是非奇非偶函数. 16 基础巩固 1.函数f(x)=x∈R的最小正周期为 A. B.π C.2π D.4π √ 由题意得T==4π. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数y=4sin(2x-π)的图象关于 A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x=对称 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y=4sin(2x-π)=-4sin 2x是奇函数，所以其图象关于原点对称. 解析 3.已知函数f(x)=sinω>0)的最小正周期为π，则f 等于 A.1 B. C.-1 D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵函数f(x)=sinω>0)的最小正周期为π， ∴周期T==π，解得ω=2， 即f(x)=sin ∴f =sin=sin =sin=1. 解析 4.函数f(x)=xsin x的部分图象是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)， ∴函数是偶函数，排除B，D； 当x取趋近于0的正数时，f(x)>0，排除C，故选A. 解析 √ 5.已知函数f(x)=cos x是偶函数，则实数a等于 A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)为偶函数， ∴f(-x)=f(x)恒成立， 即cos(-x)=cos x恒成立， 整理得(a+1)=0恒成立， 故a+1=0，∴a=-1. 解析 6.(多选)下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是 A.y=|cos x| B.y=sin 6x C.y=sin D.y=cos √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，由y=|cos x|的图象知，y=|cos x|是周期为π的偶函数，所以A正确； B中，函数为奇函数，所以B不正确； C中，y=sin=cos 2x，T=π，所以C正确； D中，函数y=cosT=4π，所以D不正确. 解析 √ 7.(多选)已知y=2sin(4x+φ)+B为偶函数，则φ和B的可能取值分别为 A.0 B.-2 C.0 D.π，-2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y=2sin(4x+φ)+B为偶函数， 所以2sin(-4x+φ)+B=2sin(4x+φ)+B， 则-4x+φ+4x+φ=π+2kπ，k∈Z， 所以φ=+kπ，k∈Z，B为任意实数， 故A，B，C选项符合题意. 解析 8.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=且f(3)=则f(2 025)=___. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得f(x+6)==f(x)， ∴6为f(x)的周期， ∴f(2 025)=f(6×337+3)=f(3)=. 解析 9.请写出一个同时满足性质①②的非常数函数f(x)=　 　　　　　　. ①f(-x)-f(x)=0；②f(x+π)-f(x)=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 cos 2x(答案不唯一) 由f(-x)-f(x)=0可知f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数； 由f(x+π)-f(x)=0可得f(x+π)=f(x)，即π为f(x)的周期， 因此可得f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(x)=cos 2x(答案不唯一). 解析 10.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=2cos； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(x)=2cos=2cos =-2sinx， ∴f(-x)=-2sin=2sinx=-f(x). ∴f(x)为奇函数. 解 (2)f(x)=cos x-x3sin x. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∵f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x) =cos x-x3sin x=f(x)， ∴f(x)为偶函数. 解 11.如果函数f(x)=cosω>0)的相邻两个零点之间的距离为则ω的值为 A.3 B.6 C.12 D.24 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)=cosω>0)的相邻两个零点之间的距离为 所以T=2× 由解得ω=6. 解析 12.已知f(x)=sin x+x3+1，若f(-a)=m，则f(a)等于 A.-m B.1-m C.2-m D.m-1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设g(x)=sin x+x3，显然它的定义域为R，关于原点对称， 且g(-x)=sin(-x)+(-x)3=-(sin x+x3)=-g(x)， 所以g(x)为奇函数， f(-a)=g(-a)+1=m，则g(-a)=-g(a)=m-1， 所以g(a)=1-m，f(a)=g(a)+1=1-m+1=2-m. 解析 13.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)=1-sin x，则当x∈时， f(x)=　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1-sin x 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x∈时，3π-x∈ 因为当x∈时，f(x)=1-sin x， 所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x. 又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π-x)=f(-x)=f(x)， 所以f(x)的解析式为f(x)=1-sin x，x∈. 解析 14.已知函数f(x)=sinω>0)的最小正周期为π，g(x)=f(x+φ). (1)求ω的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为函数f(x)的最小正周期为T=π，且ω>0， 所以由T==π，得ω=2. 解 16 (2)若g(x)是奇函数，求φ的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知f(x)=sin 因为g(x)=f(x+φ)， 所以g(x)=sin=sin. 又因为g(x)是奇函数， 所以2φ+=kπ，k∈Z， 即 φ=k∈Z， 又因为|φ|<所以k=0，即φ=-. 解 16 15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)=且对于任意x∈R都有f(x+3)= -f(x)成立，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)+f(2 025)=　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得f(x+6)=-f(x+3)=f(x)， ∴f(x)是以6为周期的函数， 又f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0， f(2)=-f(-1)=f(1)=f(3)=-f(0)=0， f(4)=-f(1)=-f(5)=-f(2)=-f(6)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)+f(2 025)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)] +f(2 023)+f(2 024)+f(2 025)=337×0+f(1)+f(2)+f(3)=1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.已知函数y=sin x+|sin x|. (1)画出该函数图象的简图； 16 y=sin x+|sin x|=k∈Z. 函数图象如图所示. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； 16 由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，故函数的最小正周期是2π. 解 (3)判断函数y=sin x+|sin x|的奇偶性. 因为函数图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称， 所以函数y=sin x+|sin x|是非奇非偶函数. 解 第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 <<< $