5.4.3正切函数的性质与图象课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 5.4.3　正切函数的性质与图象 内容索引 学习目标 活动方案 检测反馈 学 习 目 标 内容索引 活 动 方 案 内容索引 我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？研究函数的哪几个方面的性质？ 活动一　探究正切函数的性质 【解析】 正弦、余弦函数的性质是从周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值这几个方面来研究的，有了这些知识准备，我们也从这几个方面来探究正切函数的性质． 内容索引 思考1►►► 正切函数y＝tan x的定义域是什么？ 思考2►►► 诱导公式tan(π＋x)＝tanx说明了正切函数的什么性质？ 【解析】 周期性．正切函数是周期函数，周期是π. 内容索引 思考3►►► 诱导公式tan(－x)＝－tanx说明了正切函数的什么性质？ 【解析】 奇偶性．正切函数是奇函数． 思考4►►► 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 内容索引 活动二　掌握正切函数的图象 内容索引 内容索引 内容索引 思考6►►► 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？ 内容索引 探究 　观察正切函数的图象完成下表： 函数性质 正切函数 定义域   值域   周期性   奇偶性   单调性   R π 奇函数 内容索引 活动三　掌握正切函数的定义域、值域 内容索引 思考7►►► 函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的定义域是怎样的？ 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 内容索引 1. 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠kπ＋(k∈Z)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解． 2. 求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围． 内容索引 活动四　掌握正切函数的单调性及其应用 内容索引 内容索引 (1) 比较大小：tan1与tan4； 内容索引 内容索引 内容索引 例 4　画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． 活动五　掌握正切函数的性质的应用 【解析】 y＝|tanx|的图象如图． 由图象可知，函数y＝|tanx|是偶函数， 内容索引 内容索引 检 测 反 馈 内容索引 2 4 5 1 3 【答案】 D 内容索引 2 4 5 1 3 内容索引 2 4 5 1 3 【答案】 B 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 【答案】 AC 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 2 4 5 3 1 内容索引 谢谢观看 Thank you for watching 1. 推导并理解正切函数的周期性和奇偶性． 2. 能利用性质画出正切函数的图象，并能借助图象理解y＝tan x在区间上的性质． 3. 掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图象与性质解决综合问题． 【解析】 【解析】 可以先考察函数y＝tan x，x∈的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展. 思考5►►► 如何画出函数y＝tan x，x∈的图象？ 【解析】 如图，设x∈，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B(x0，y0)．过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则tan x＝＝＝＝AT. 由此可见，当x∈时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈的图象．如下图所示： 由图可知， 当x∈时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于时， AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y＝tan x，x∈的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x＝. 【解析】 正切函数的图象叫作正切曲线．正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 增区间(k∈Z) 无减区间 例 1　求函数y＝tan的定义域． 【解析】 由2x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为. 【解析】 例 2　(1) 求函数y＝tanx的值域； 【解析】 (－∞，－]∪[1，＋∞) (2) 求函数y＝tan2x－2tanx＋3，x∈的值域． 【解析】 由题意，得y＝(tanx－1)2＋2. 因为x∈，所以tanx∈[1，]， 所以原函数的值域为[2,6－2]． (1) 函数y＝logtan