第4章 4.3.1 对数的概念（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数的概念、指数与对数互化及性质，通过历史需求和指数方程求解问题导入，衔接指数知识，构建“问题发现-概念形成-应用巩固”的学习支架。 其亮点在于问题驱动与逻辑推理，以指数方程无法求解引出对数，结合例题、延伸探究强化底数真数范围辨析，体现数学思维的严谨性和数学语言的精确性。学生能提升转化能力，教师可通过分层练习高效落实教学目标。

§4.3.1 第四章　 §4.3　对数 <<< 对数的概念 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化.(重点) 3.会求简单的对数值. 学习目标 大家阅读课本128页的“阅读与思考”，可以发现，对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！ 导 语 一、对数的概念 二、对数与指数的互相转化 课时对点练 三、利用对数的定义计算 随堂演练 内容索引 四、对数的相关性质 对数的概念 一 提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 我们知道若2x=4，则x=2；若3x=81，则x=4；若=128，则 x=-7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x=3，1.11x=2，10x=5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 问题1 对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 . x=logaN 底数 真数 知识梳理 (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法：以a为底N的对数. 注 意 点 <<< 8 　若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是 A.[2，+∞) B.(2，3)∪(3，+∞) C.(-∞，2) D.(2，+∞) 例 1 要使对数式log(t-2)3有意义， 需 解得t>2，且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞). 解析 √ 9 　将例1的对数式改为“log(t-2)(t-3)”，求实数t的取值范围. 延伸探究 1 由题意可得 解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，+∞). 解 10 关于对数式的范围 利用式子logab⇒求字母的范围. 反 思 感 悟 11 二 对数与指数的互相转化 提示　x=log23；x=log1.112；x=log105. 现在你能解指数方程2x=3，1.11x=2，10x=5了吗？ 问题2 两类特殊对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为 .  (2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为 .  lg N ln N 知识梳理 　(课本例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54=625； 例 2 log5625=4； 解 (2)2-6=； log2=-6； 解 15 (3) lo 解 16=-4； =16； 解 16 (5)lg 0.01=-2； 10-2=0.01； 解 (6)ln 10=n. en=10. 解 17 　将下列指数式与对数式互化： (1)log216=4； 例 2 24=16. 解 (2)lo=2； . 解 18 (3)ln 10=n； en=10. 解 (4)43=64； log464=3. 解 19 (5)3-2=； log3=-2. 解 (6)10-3=0.001. lg 0.001=-3. 解 20 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 反 思 感 悟 21 　下列指数式与对数式互化不正确的一组是 A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=- C.log39==3 D.log55=1与51=5 跟踪训练 1 因为=3化为对数式应为log93=故C不正确. 解析 √ 22 利用对数的定义计算 三 (课本例2)求下列各式中x的值： (1)log64x=-； 例 3 因为log64x=-，所以 x=6 解 24 (2)logx8=6； 因为logx8=6，所以x6=8.又x>0，所以 x= 解 (3)lg 100=x； 因为lg 100=x，所以10x=100，10x=102， 于是x=2. 解 25 (4)-ln e2=x. 因为-ln e2=x，所以ln e2=-x，e2=e-x， 于是x=-2. 解 26 求下列各式中x的值： (1)-lg x=2； 例 3 由-lg x=2得lg x=-2， ∴x=10-2=. 解 27 (2)logx=-3； 由logx=-3得x-3==4-3，∴x=4. 解 (3)x=lo27； 由x=lo27得=27，即3-x=33， ∴-x=3，即x=-3. 解 28 (4)ln=x. 由ln=x得ex=即ex=e-2，∴x=-2. 解 29 求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN=m. (2)将logaN=m写成指数式am=N. (3)将N写成以a为底的指数幂N=ab，则m=b，即logaN=b. 反 思 感 悟 30 求下列各式中x的值. (1)log3x=-3； 跟踪训练 2 由题意得x=3-3=. 解 (2)logx49=4； 由x4=49，x>0且x≠1，得x=. 解 31 (3)lg 0.000 01=x； 由10x=0.000 01=10-5，得x=-5. 解 (4)ln =-x. 由e-x=得x=-. 解 32 对数的相关性质 四 对数的性质 (1)loga1= (a>0，且a≠1). (2)logaa= (a>0，且a≠1). (3)负数和0没有对数. (4)对数恒等式：= ；logaax= (a>0，且a≠1，N>0). 0 1 N x 34 (1)求下列各式的值. ①log981=　　.  例 4 方法一　设log981=x， 所以9x=81=92， 故x=2，即log981=2. 方法二　log981=log992=2. 解析 2 35 ②log0.41=　　.  方法一　设log0.41=x，所以0.4x=1=0.40， 故x=0，即log0.41=0. 方法二　log0.41=0. 解析 0 36 ③ln e2=　　.  方法一　设ln e2=x，所以ex=e2，故x=2，即ln e2=2. 方法二　ln e2=2. 解析 2 37 (2)求下列各式中x的值. ①log2(log2x)=0； ∵log2(log2x)=0， ∴log2x=20=1，∴x=21=2. 解 ②log3(lg x)=1. ∵log3(lg x)=1，∴lg x=31=3， ∴x=103=1 000. 解 38 若把例4(2)中①改为“log8[log7(log2x)]=0”，求x的值. 延伸探究 2 由题可知log7(log2x)=1， ∴log2x=7，∴x=27=128. 解 39 利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 反 思 感 悟 40 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)对数式与指数式的互化. (3)对数的性质. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.(多选)下列选项中，可以作为真数求对数的是 A.1 B.0 C.π D.-x2 √ √ 1 2 3 4 2.2-3=化为对数式为 A.lo2=-3 B.lo-3)=2 C.log2=-3 D.log2(-3)= √ 根据对数的定义知选C. 解析 1 2 3 4 3.已知lob=c，则有 A.a2b=c B.a2c=b C.bc=2a D.c2a=b √ 由题意得(a2)c=b，即a2c=b. 解析 1 2 3 4 4.计算：3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　.  原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0. 解析 0 课时对点练 六 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B BD B AB B 题号 9 11 12 13 15 答案 AB A B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)log3243=5. (2)log2=-5. (3=81. (4)27=128. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lox=m， ∴=x，x2=. ∵loy=m+2，∴=y，y=. ∴=16. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log2[lolog2x)]=0， 得lolog2x)=1，log2x=即x=. 同理y=z=. ∵y=x=∴y>x. 又x==3z==2 ∴x>z，∴y>x>z. 基础巩固 1.设log45=2m，则4m等于 A.± B. C. D.25 √ 由log45=2m，可得42m=5， 所以4m=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为 A.a>且a≠1 B.0<a< C.a>0，且a≠1 D.a< √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知解得0<a<. 解析 3.已知lo81=x，则x等于 A.-8 B.8 C.4 D.-4 √ 由题意得x=81，即=34，则x=8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 A.54=625与log4625=5 B.10-2=0.01与lg 0.01=-2 C.=16与log-416= D.=m与ln m= √ 54=625可化为log5625=4，故A不正确； 10-2=0.01可化为lg 0.01=-2，故B正确； =16可化为lo16=-4，故C不正确； =m可化为ln m=故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.化简-2-lg 0.01+ln e3等于 A.14 B.0 C.1 D.6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=4-(33-lg 10-2+3=4-32-(-2)+3=0. 解析 6.(多选)下列等式正确的有 A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若lg x=10，则x=10 D.若ln x=e，则x=e2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A项，lg(lg 10)=lg 1=0，故A正确； B项，lg(ln e)=lg 1=0，故B正确； C项，若lg x=10，则x=1010，故C错误； D项，若ln x=e，则x=ee，故D错误. 解析 7.已知a>0且a≠1，则下列说法正确的是 A.若M=N，则logaM=logaN B.若logaM=logaN，则M=N C.若logaM2=logaN2，则M=N D.若M=N，则logaM2=logaN2 A中，当M，N小于或等于0时，logaM=logaN不成立； B正确； C中，M与N也可能互为相反数； D中，当M=N=0时无意义. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 8.若a=log23，则2a+2-a=　　.  ∵a=log23，∴2a==3， ∴2a+2-a=2a+=3+. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.方程的解是　　.  ∵=3-3，∴log2x=-3， 故x=2-3=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.将下列指数式、对数式互化： (1)35=243； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 log3243=5. 解 (2)2-5=； log2=-5. 解 (3)lo81=-4； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =81. 解 (4)log2128=7. 27=128. 解 11.(多选)下列命题正确的是 A.若lox=3，则x=2 B.若logx=-则x=64 C.若则x=4 D.若lob2=1，则a=b √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由lox=3，得x=3=2则A正确； 由logx=-得=2-4，又=x，所以x=(2-4=26=64，则B正确； 由3-2=得log3=-2，所以x-2=即x=2或x=-2，则C不正确； D中，a，b可能互为相反数. 解析 12.已知正实数a，b满足ba=4，且a+log2b=3，则a+2b的值可以为 A.6或9 B.7或8 C.6 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a+log2b=3，所以log2b=3-a， 所以b=23-a， 所以ba=(23-a)a==4=22， 所以-a2+3a=2，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2， 当a=1时，b=4，则a+2b=9；当a=2时，b=2，则a+2b=6. 解析 13.若a=lg 2，b=lg 3，则10的值为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a=lg 2，∴10a=2.∵b=lg 3， ∴10b=3.∴10. 解析 14.若lox=m，loy=m+2，求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lox=m， ∴=x，x2=. ∵loy=m+2，∴=y，y=. ∴=16. 解 15.若a>0则loa等于 A.2 B.3 C.4 D.5 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a>0， 所以a= 设loa=x，所以=a，所以x=3. 解析 16.若log2[lolog2x)]=log3[lolog3y)]=log5[lolog5z)]=0，试确定x，y，z的 大小关系. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log2[lolog2x)]=0， 得lolog2x)=1，log2x=即x=. 同理y=z=. ∵y=x=∴y>x. 又x==3z==2 ∴x>z，∴y>x>z. 解 第四章　 §4.3　对数 <<< $