第4章 §4.1 指 数（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数概念，涵盖n次方根、根式与分数指数幂互化、实数指数幂运算等核心内容。以毕达哥拉斯学派发现无理数的历史情境导入，通过类比平方根、立方根自然引出n次方根，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于以问题驱动和类比推理培养数学思维，通过分类讨论化简根式、整体代换求代数式值等例题发展抽象能力与模型意识。随堂演练与课时对点练分层设计，助力学生提升运算能力与逻辑推理，也为教师提供系统教学资源与多样化实例。

§4.1 第四章　 指数函数与对数函数 <<< 指　数 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质.能利用根式的性质对根式进行运算.(重点) 2.理解分数指数幂的含义，掌握根式和分数指数幂的互化.(重点) 3.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值.(重难点) 学习目标 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.这就是本节课我们要学习的根式. 导 语 一、n次方根 二、根式与分数指数幂的互化 课时对点练 三、实数指数幂的运算 随堂演练 内容索引 四、实数指数幂的综合运用 n次方根 一 提示　如果x2=a(a>0)，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3=a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个. 如果x2=a(a>0)，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3=a呢？ 问题1 提示　比如(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4=81，我们把±3叫做81的4次方根；(-2)5=-32，我们把-2叫做-32的5次方根；(±2)10= 1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果2n=a，那么我们把2叫做a的n次方根. 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、 10次方根等，你认为n次方根应该是什么？ 问题2 1.n次方根的定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*. 2.n次方根的性质 n次方根 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0 x=_____ x=______ x=0 x不存在 知识梳理 3.根式 式子叫做 ，这里n叫做 ，a叫做 . 4.根式的性质 (1) 没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作= . (3)①当n为奇数时= (n∈N*，且n>1). ②当n为偶数时=|a|=(n∈N*，且n>1). 根式 根指数 被开方数 负数 0 a (1)对于()n=a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如=-3=3，而没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n=；当a<0且n为奇数时，()n=；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序. 注 意 点 <<< 10 　(课本例1)求下列各式的值： (1) 例 1 =-8； 解 ； =|-10|=10； 解 11 (3) =|3-π|=π-3； 解 . 解 12 　(1)化简下列各式： ①+()5； 例 1 原式=(-2)+(-2)=-4. 解 ②+()6； 原式=|-2|+2=2+2=4. 解 13 ③(a≤1). 原式=|3a-3|=3|a-1|=3-3a. 解 14 　将例1(1)的②+()6改为“”，试化简该式. 延伸探究 1 =a+|a|= 解 15 　将例1(1)的③(a≤1)中的条件“a≤1”删去，试化简该式. 延伸探究 2 =|3a-3|=3|a-1|= 解 16 (2)已知-3<x<3，求的值. 原式==|x-1|-|x+3|， ∵-3<x<3， ∴当-3<x<1时， 原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2； 当1≤x<3时，原式=(x-1)-(x+3)=-4. ∴原式= 解 17 正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数的值取决于n的奇偶性. (2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围. 反 思 感 悟 18 二 根式与分数指数幂的互化 提示　可以.. 被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 问题3 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且 n>1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m， n ∈N*，且n>1). (3)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . 0 没有意义 知识梳理 (4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras= (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s= (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r= (a>0，b>0，r∈Q). 拓展：① (a>0，r，s∈Q)； ②(a>0，b>0，r∈Q). ar+s ars arbr (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. 注 意 点 <<< 23 　(课本例3)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0)： (1)a2· 例 2 a2·； 解 . =(a=(. 解 24 　将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； 例 2 原式==(. 解 (2)； 原式=. 解 25 (3)((b>0). 原式=[(. 解 26 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数　　分数指数的分母，被开方数(式)的指数　　分数指数的分子. (2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. 反 思 感 悟 27 　(1)求值：=　　　；  跟踪训练 1 - 原式==-. 解析 28 (2)用分数指数幂表示=　　　. 原式=. 解析 29 实数指数幂的运算 三 1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的 . 2.实数指数幂的运算法则 (1)aras= (a>0，r，s∈R). (2)(ar)s= (a>0，r，s∈R). (3)(ab)r= (a>0，b>0，r∈R). (4)拓展：①= (a>0，r，s∈R)； ②(a>0，b>0，r∈R). 实数 ar+s ars arbr ar-s 特别强调底数a>0，b>0. 注 意 点 <<< 32 (课本例4)计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)； 例 3 =[2×(-6)÷(-3)] =4ab0 =4a； 解 33 (2)； =m2n-3 =； 解 34 (3)(. ()÷ = =-a =-a. 解 35 (1)=　　.(式中字母均是正数)  例 3 原式= = =a-1=. 解析 36 (2)计算：-(π-3)0+. 原式=-1+2=2. 解 (3)计算：. 原式==25=32. 解 37 关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 反 思 感 悟 38 (1)计算：-(-2)0-； 跟踪训练 2 原式=-1--1-. 解 (2)化简：2÷(-6)(x，y>0)； 原式=[2×(-3)÷(-6)]=x2y. 解 39 (3)化简：(2(m>0). 原式=(2=26m3=64m3. 解 40 实数指数幂的综合运用 四 已知x+x-1=7，求值： (1)x2+x-2； 例 4 x+x-1=7，两边平方得x2+2+x-2=49， 所以x2+x-2=47. 解 42 (2)； 设m=两边平方得m2=x+x-1+2=7+2=9， 因为m>0，所以m=3，即=3. 解 43 (3)x2-x-2. 设n=两边平方得n2=x+x-1-2=7-2=5， 因为n∈R，所以n=± 即=±. 所以x-x-1=()()=±3 x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±21. 解 44 本例的条件不变，求x3+x-3的值. 延伸探究 3 由x+x-1=7平方可得x2+x-2=47， 所以x3+x-3=(x+x-1)(x2+x-2-1)=7×46=322. 解 45 利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 常见的变形公式： x2+x-2=(x±x-1)2∓2，x+x-1=()2∓2=()2∓2. 反 思 感 悟 46 1.知识清单： (1)n次方根的概念、表示及性质. (2)分数指数幂与根式的相互转化. (3)实数指数幂的运算性质. (4)实数指数幂的综合运用. 2.方法归纳：转化法、整体代换法. 3.常见误区： (1)对于，当n为偶数时，忽略a≥0. (2)混淆()n和. (3)在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.若a<则化简的结果是 A.4a-1 B.1-4a C.- D.- √ ∵a<∴4a-1<0， ∴=|4a-1|=-(4a-1)=1-4a. 解析 1 2 3 4 2.(多选)下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 A.-=-(x>0) B.=-(x>0) C.(xy>0) D. √ √ 1 2 3 4 -=-故A正确； 故B错误； (xy>0)，故C正确； =|y故D错误. 解析 1 2 3 4 3.化简(x>0)的结果是 A.x B.x2 C.1 D. √ 原式==x. 解析 1 2 3 4 4.已知=5(x>0)，那么等于 A. B.- C.± D.7 ()2=+2=5+2=7. 又x>0，故. 解析 √ 课时对点练 六 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C BD A C 1 题号 9 11 12 13 15 答案 1 A B D 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)(2)(-6)(-3) =2×(-6)×(-3)=36a. (2)+2-2×-0.010.5 =1+ =1+ =1+=. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由x=a-3+b-2，得x-a-3=b-2， ∴ =. (2)令=A=B，则x=A3+3AB2，y=B3+3A2B， x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3， x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3， ∴(x+y+(x-y=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2=8. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 = = = ==-1. 基础巩固 1.若+(a-4)0有意义，则a的取值范围是 A.[2，+∞) B.[2，4)∪(4，+∞) C.(-∞，2)∪(2，+∞) D.(-∞，4)∪(4，+∞) √ 由题意可知 ∴a≥2且a≠4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.化简：等于 A.1 B.-1 C.7-2π D.2π-7 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =|π-4|+(π-3)=4-π+π-3=1. 解析 3.已知a>0，则下列运算中正确的是 A. B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-2)0=1 D.(-)5=- √ 故A错误； (-a2)3=-a2×3=-a6，(-a3)2=a6，故B错误； 当a=4时，(-2)0无意义，故C错误； (-)5=-故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.化简(其中a>0，b>0)的结果是 A. B.- C. D.- √ =. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知xy≠0，且=-3xy2，则下列结论正确的是 A.x>0，y>0 B.x<0，y<0 C.x>0，y<0 D.x<0，y>0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为=3|x|·y2， 又=-3xy2， 所以3|x|·y2=-3xy2， 又xy≠0，所以x<0，y>0或y<0. 解析 6.下列根式与分数指数幂的互化错误的是 A.-=(-x B.(y>0) C.(x>0) D.[(x>0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项错误，-=-(x≥0)，而(-x(x≤0)； B项正确(y>0)； C项正确(x>0)； D项正确，[(x>0). 解析 7.若3a·9b=则下列等式正确的是 A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a+2b=-1 D.a+2b=1 ∵3a·9b=3a·32b=3a+2b==3-1， ∴a+2b=-1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 8.当x<0时，x+=　　. 原式=x+|x|+=x-x+1=1. 解析 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.化简：=　　. 原式==1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 10.(1)化简：(2)(-6)(-3)(a>0，b>0)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)(-6)(-3) =2×(-6)×(-3) =36a. 解 (2)求值：+2-2×-0.010.5. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +2-2×-0.010.5 =1+ =1+ =1+=. 解 11.已知2a=5b=m，且=2，则m等于 A. B.10 C.20 D.100 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得m>0， ∵2a=m，5b=m， ∴2=5= ∵2×5= ∴m2=10，∴m=. 解析 综合运用 12.方程的解是 A.x=- B.x=- C.x= D.x= √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=3-2，∴x-1=-2， ∴x=-.∴方程的解是x=-. 解析 13.已知a2x=3，则=　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式==a2x-1+a-2x=3-1+. 解析 14.(1)已知x=a-3+b-2，化简. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x=a-3+b-2，得x-a-3=b-2， ∴ =. 解 (2)已知=4，x=a+3y=b+3求(x+y+(x-y的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令=A=B，则x=A3+3AB2，y=B3+3A2B， x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3， x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3， ∴(x+y+(x-y=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2=8. 解 15.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存m+n期，则利息为 A.5.94万元 B.1.18万元 C.6.18万元 D.0.94万元 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 由题意可得则5(1+p)m·5(1+p)n=5.4×5.5， 即存m+n期，本利和为5(1+p)m+n=5.4×1.1=5.94，故存m+n期，利息为5.94-5=0.94(万元). 16.若a=3，求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 = = = ==-1. 解 第四章　 指数函数与对数函数 <<< m???�/?PNG � $