第3章 3.1.1 函数的概念(一)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的概念及三要素，衔接初中知识，通过分析课本问题1-4中解析式、图象、表格的异同，引导学生抽象出非空数集、对应关系、唯一性等核心要素，以问题链和对比表格为学习支架构建新知。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过实例抽象函数本质，结合例题训练数学思维，如判断函数关系、求解定义域时强化逻辑推理，用区间和集合语言规范表达。小结梳理知识清单与方法，助力学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供结构化教学资源。

3.1.1 函数的概念(一) 第三章　§3.1函数的概念及其表示 <<< 1.理解函数的概念，了解构成函数的要素.(重点) 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求函数的定义域与函数值.(难点) 学习目标 在初中，我们已经知道函数是用来刻画在某个变化过程中，自变量和因变量之间的变化规律的，给定自变量的某个取值，我们可以求得对应因变量的取值.这节课我们将在初中函数概念的基础上，应用集合语言和对应关系进一步刻画函数，从而建立更加准确的函数概念. 导 语 一、函数的概念 二、区间的概念 课时对点练 三、求函数的定义域与值 随堂演练 内容索引 函数的概念 一 提示　问题1和问题2都使用同一个解析式来表示了相应的实际问题，但是两个问题有不同的实际背景，这说明这两个函数有相同的对应关系，但是自变量的取值范围会有区别. 课本提出的问题1和问题2有什么异同点？这说明什么？ 问题1 请同学们阅读课本P60-P62的问题-问题4，回答以下问题. 提示　也提到了函数.但是与问题1和问题2中的函数给出的方式不相同，问题1和问题2是用解析式给出的函数，问题3和问题4是用图象和表格呈现出来的，变量间的对应关系比解析式更直观、形象. 课本问题3和问题4中是否提到了函数？请指出它们与问题1和问题2中的函数表示方式上的区别. 问题2 提示　①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示； ②都有一个对应关系； ③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么共同点吗？ 问题3 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种 的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 的取值范围A 值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 确定 唯一确定 x y 知识梳理 2.已学函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为 ，值域为 . (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为 ，当a>0时，值域是 ；当a<0时， 值域是. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为 ，值域为 . R R R {x|x≠0} {y|y≠0} 10 (1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)“y=f(x)”是数学符号之一，体现变量y与变量x的对应关系，不表示y等于f与x的乘积.其中的f表示对应关系，f(x)可以是解析式的形式，也可以是图象或表格的形式. (4)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 注 意 点 <<< 11 　(1)(多选)下列能表示从集合A到集合B的函数的是 A.A={-1，0，1}，B={0，1}，f：A中的数平方 B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数开方 C.A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数 D.A=R，B={x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 例 1 √ √ 12 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件； 选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求； 选项A和D符合函数的定义. 解析 13 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (2)下列图象能够作为函数y=f(x)的图象的有 由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象，(2)(3)(4)对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象. 解析 √ 14 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 反 思 感 悟 (2)判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 15 　设P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤4}，对于下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数关系的是 跟踪训练 1 由函数的定义知A的定义域不是P，不符合题意； B符合函数的定义，符合题意； C中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值，不符合函数定义； D中，当x=2时，有两个值与之对应，不符合函数定义. 解析 √ 16 二 区间的概念 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ________ {x|a<x<b} 开区间 ________ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 ________ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 ________ 设a，b∈R，且a<b，规定如下： [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 知识梳理 定义 名称 区间 数轴表示 {x|x≥a}   [a，+∞) {x|x>a}   (a，+∞) {x|x≤b}   (-∞，b] {x|x<b}   (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立，但因为区间的左端点必须小于右端点，所以区间只能表示连续的数集. (2)区间的开闭是由端点值能否取到来决定的，所以区间的开闭不能混淆，这要求我们用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)“∞”是一个符号，而不是一个数. 注 意 点 <<< 20 　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥-1}； 例 2 {x|x≥-1}=[-1，+∞). 解 (2){x|x<0}； {x|x<0}=(-∞，0). 解 21 (3){x|-1<x<1}； {x|-1<x<1}=(-1，1). 解 (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. {x|0<x<1或2≤x≤4}=(0，1)∪[2，4]. 解 22 用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“，”隔开. (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. (4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 反 思 感 悟 23 　(1)集合{x|-2<x≤2且x≠0}用区间表示为　　　　 . (2)已知区间(a2+a+1，7]，则实数a的取值范围是　　　　. 跟踪训练 2 由题意可知a2+a+1<7， 即a2+a-6<0， 解得-3<a<2， 所以实数a的取值范围是(-3，2). 解析 (-2，0)∪(0，2] (-3，2) 24 求函数的定义域与值 三 (课本例2)已知函数f(x)=， (1)求函数的定义域； 例 3 使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}. 所以，这个函数的定义域是{x|x≥-3}∩{x|x≠-2}={x|x≥-3，且x≠-2}， 即［-3，-2)∪(-2，+∞). 解 26 (2)求f(-3)，f 的值； 将-3与代入解析式，有 f(-3)==-1； f. 解 27 (3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值. 因为a>0，所以f(a)，f(a-1)有意义. f(a)=； f(a-1)=. 解 28 (1)求下列函数的定义域： ①y=3-x； 例 3 函数y=3-x的定义域为R. 解 ②y=； 由于0的零次幂无意义，故x+1≠0，即x≠-1. 又x+2>0，即x>-2， 所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}. 解 29 ③y=； 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤5且x≠±3， 所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}. 解 30 ④y=. 要使函数有意义，则 即 解不等式组得-1≤x<1. 所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}. 解 31 (2)已知函数f(x)=x+则f(2)=　　；当a≠-1时，f(a+1)=　　　　　. f(2)=2+. 当a≠-1时，a+1≠0， 所以f(a+1)=a+1+. 解析 a+1+ 32 在例3(2)中，若f(b)=则b=　　　　. 延伸探究 由f(b)=b+ 得b≠0，(2b-1)(b-2)=0， 解得b=或b=2. 解析 或2 33 (1)求定义域的依据：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，0次幂的底数不为0等，如果解析式中含有多个式子，则定义域是使得各式子都有意义的数的集合.另外，在实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义. (2)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示. (3)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式求f(a)(a在定义域之内)的值时，只需用a替换表达式中的x即得. ②已知f(x)与g(x) 求f(g(a))的值，应遵循由内往外的原则，即先计算g(a)的值，再将该值作为f(x)的自变量去替换表达式中的x进行求解. 反 思 感 悟 34 1.知识清单： (1)函数的概念与三要素. (2)用区间表示数集. (3)函数的定义域与函数值. 2.方法归纳：定义法、图象法. 3.常见误区：函数概念的理解. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列对应或关系式中是A到B的函数的是 A.A={x|-1≤x≤1}，B={y|-1≤y≤1}，x2+y2=1 B.A={1，2，3，4}，B={0，1}，对应关系如图： C.A=R，B=R，f：x→y= D.A=Z，B=Z，f：x→y= √ 1 2 3 4 A错误，x2+y2=1可化为y=±显然存在x∈A，y值不唯一； B正确，符合函数的定义； C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数； D错误，-1∈A，在B中找不到与之相对应的数. 解析 1 2 3 4 2.函数f(x)=(x-1)0+的定义域为 A.(1，+∞) B.(-2，+∞) C.(-2，1)∪(1，+∞) D.R √ 易知 解得x>-2且x≠1， 所以函数f(x)的定义域为(-2，1)∪(1，+∞). 解析 1 2 3 4 3.已知函数f(x)=则f 等于 A. B. C.a D.3a √ f =3a. 解析 1 2 3 4 4.若区间[a-1，a]关于原点对称，则a=　　　. 由已知得a-1=-a，解得a=. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D D ABC ACD (1，2) 题号 9 11 12 13 15 答案 [0，26] C A 15 3 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)f(2)=g(2)=22+1=5. (2)f(g(3))=f(32+1)=f(10)=. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)要使函数有意义， 则 所以x2=1，即x=±1，从而函数的定义域为{x|x=±1}={1，-1}. (2)要使函数有意义，必须满足 即解得 所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)由题意可知，关于x的不等式ax2+ax+1≥0在R上恒成立. 当a=0时，1≥0恒成立，所以a=0符合题意； 当a≠0时，则⇒0<a≤4. 所以实数a的取值范围为[0，4]. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)令x=y=1，则f(1)=2f(1)，∴f(1)=0. (2)令x=2，y=3，则f(6)=f(2)+f(3)=a+b， 令x=y=6，则f(36)=2f(6)=2(a+b)， ∴f(36)=2(a+b). 基础巩固 1.区间(0，1]等于 A.{0，1} B.{(0，1]} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列图象中，不能作为y=f(x)的函数图象的是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 任作一条垂直于x轴的直线，移动直线此直线与函数图象至多有一个交点，选项D不满足函数图象的要求. 解析 3.已知函数f(x)=若f(a)=2，则a的值为 A. B. C. D.- √ 由f(a)=2，得=2，解得a=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知函数f(x)由下表给出，则f 的值为 √ 因为<1，所以f =1，则10f =10>2， 故f=f(10)=3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x x≤1 1<x<2 x≥2 y 1 2 3 5.函数y=的定义域为 A.(-∞，3] B.[0，3] C.(0，2)∪(2，3) D.[0，2)∪(2，3] √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得 解得0≤x≤3且x≠2. 故函数的定义域为[0，2)∪(2，3]. 解析 6.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B={y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可以看作是从A到B的函数关系的是 A.f：x→y=x B.f：x→y=x C.f：x→y=x D.f：x→y=x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确. 解析 √ √ 7.(多选)下列四种说法中，正确的有 A.函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 由函数定义知，A，C，D正确，B不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 8.若函数f(x)的定义域为[2a-1，a+1]，值域为[a+3，4a]，则a的取值范围为　　　　. 由区间的定义知 解得1<a<2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1，2) 9.已知一枚炮弹发射后距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h=130t-5t2，则该函数的定义域为　　　　. 由题意可知130t-5t2≥0， 所以0≤t≤26，即函数h=130t-5t2的定义域为[0，26]. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [0，26] 10.已知f(x)=g(x)=x2+1，x∈R. (1)求f(2)，g(2)的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(2)=g(2)=22+1=5. 解 (2)求f(g(3))的值. f(g(3))=f(32+1)=f(10)=. 解 11.已知集合A={1，2，k}，B={4，7，10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y=3x+1，则k的值为 A.5 B.4 C.3 D.2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据对应关系为y=3x+1，3×1+1=4，3×2+1=7，由题意可得3×k+1=3k+1=10， 所以k=3. 解析 12.已知函数f(x)=+bx-3，且f(-1)=-1，则f(1)的值为 A.-5 B.-3 C.-1 D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 f(-1)=-a-b-3=-1， 所以 a+b=-2， 所以f(1)=a+b-3=-2-3=-5. 解析 13.已知集合A=B={0，1，2，3}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有　　种. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数的定义知，此函数可分为四类： 若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况； 若函数是三对一对应，则值域有{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共6种情况； 若函数是二对一对应，则值域有{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，共4种情况； 若函数是一对一对应，则值域为{0，1，2，3}，共1种情况. 综上，该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种). 解析 14.(1)求y=的定义域； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使函数有意义， 则 所以x2=1，即x=±1，从而函数的定义域为{x|x=±1}={1，-1}. 解 (2)求f(x)=的定义域； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使函数有意义，必须满足 即解得 所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}. 解 (3)若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，关于x的不等式ax2+ax+1≥0在R上恒成立. 当a=0时，1≥0恒成立，所以a=0符合题意； 当a≠0时，则⇒0<a≤4. 所以实数a的取值范围为[0，4]. 解 15.已知函数f(x)的定义域为A={1，2，3，4}，值域为B={7，8，9}，且对任意的x<y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有　　个. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 由题意知，当1，2对应7时，3对应8，4对应9； 当1对应7时，2，3对应8，4对应9； 当1对应7时，2对应8，3，4对应9，所以一共有3个. 解析 16.已知函数f(x)对任意正实数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立. (1)求f(1)的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=y=1，则f(1)=2f(1)，∴f(1)=0. 解 (2)若f(2)=a，f(3)=b(a，b均为常数)，求f(36)的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=2，y=3，则f(6)=f(2)+f(3)=a+b， 令x=y=6，则f(36)=2f(6)=2(a+b)， ∴f(36)=2(a+b). 解 第三章　§3.1函数的概念及其表示 <<< $