第1章 §1.3 第1课时 并集与交集（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合的并集与交集运算，涵盖概念含义、运算方法及参数范围求解。课堂通过实数运算类比引入集合运算问题，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已有认知自然过渡到新知识学习。 其亮点在于运用Venn图、数轴等几何直观手段（数学眼光），结合定义辨析和例题推理（数学思维），通过表格系统梳理性质与符号语言（数学语言）。例如用数轴分析无限数集运算，求参数时强调空集分类讨论。帮助学生直观理解概念，培养运算推理能力，教师可借助清晰结构提升教学效率。

第1课时 并集与交集 第一章　§1.3　集合的基本运算 <<< 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(重点) 2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算.(难点) 学习目标 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算.如果把集合与实数相类比，那么两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题. 导 语 一、并集 二、交集 课时对点练 三、根据并集与交集运算求参数范围 随堂演练 内容索引 并集 一 提示　集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成. 观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，C={1，2，3，4}.你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 问题1 文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 (读作“ ”) 符号语言 A∪B=________________ 图形语言   性质 A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B 或 并集 A∪B A并B {x|x∈A，或x∈B} 知识梳理 (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性. 注 意 点 <<< 8 　(1)(课本例1)设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B. 例 1 A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8} ={3，4，5，6，7，8}. 解 (2)(课本例2)设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∪B. A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3} ={x|-1<x<3}. 解 9 　(1)设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∪B. 例 1 A∪B={1，2，4，8}∪{1，4，9} ={1，2，4，8，9}. 解 (2)设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∪B. A∪B={x|0≤x<4}∪{x|1≤x<5} ={x|0≤x<5}. 解 10 并集运算的关注点 (1)若集合中元素个数有限，求并集时可直接根据并集的定义求解. (2)若集合是无限连续的数集，可利用数轴分析求解，要注意端点应为实心点还是空心点. 反 思 感 悟 11 (1)集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于 A.{x|x≥2} B.{x|2≤x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|2<x<4} 跟踪训练 √ 由B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，得A∪B={x|x≥2}. 解析 12 (2)已知集合A={-1，0，1}，则满足A∪B={-1，0，1，2，3}的集合B可能是 A.{-1，2} B.{-1，0，1，3} C.{-1，0，1} D.{0，2，3} √ {-1，0，1}∪{0，2，3}={-1，0，1，2，3}，故D符合题意. 解析 13 二 交集 提示　集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合D，集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成. 观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，D={2，3}，你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？ 问题2 文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 (读作“ ”) 符号语言 A∩B=_________________ 图形语言   性质 A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 且 交集 A∩B A交B {x|x∈A，且x∈B} 知识梳理 (1)A∩B仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B=∅. 注 意 点 <<< 17 　(课本例4)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系. 例 2 平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合. (1)直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P}； (2)直线l1，l2平行可表示为L1∩L2=∅； (3)直线l1，l2重合可表示为L1∩L2=L1=L2. 解 18 　例1(1)(2)的条件不变，问题改为求A∩B. 例 2 (1)A∩B={1，2，4，8}∩{1，4，9}={1，4}. (2)A∩B={x|0≤x<4}∩{x|1≤x<5}={x|1≤x<4}. 解 19 若将例2(2)条件改为“A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}”，求A∩B. 延伸探究1 A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}， 则A∩B={0，1，2}. 解 20 交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法. (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 反 思 感 悟 21 根据并集与交集运算求参数范围 三 (1)已知集合A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，则p+q+r等于 A.12 B.6 C.-14 D.-12 例 3 √ 23 因为A∩B={-2}， 所以-2∈A且-2∈B，将x=-2代入x2-px-2=0，得p=-1， 所以A={1，-2}， 因为A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}， 所以B={-2，5}， 所以q=-[(-2)+5]=-3，r=(-2)×5=-10， 所以p+q+r=-14. 解析 24 (2)已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是 A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 √ 利用数轴，若A∪B=R，则a≤-1. 解析 25 将例3(2)中的A∪B=R变成A∪B=A，求实数a的取值范围. 延伸探究2 由A∪B=A，得B⊆A， 当B=∅时，有a≥4，满足题意； 当B≠∅时，有即3≤a<4， 综上，实数a的取值范围为{a|a≥3}. 解 26 将例3(2)中的集合B变为B={x|a<x≤4-a}，且A∪B=R变为A∩B=∅，求实数a的取值范围. 延伸探究3 ①当B=∅时，有a≥4-a，即a≥2，满足题意； ②当B≠∅时，有即1<a<2， 综上，实数a的取值范围为{a|a>1}. 解 27 由集合的运算结果求参数范围的一般步骤 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组). (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围. 反 思 感 悟 28 1.知识清单： (1)并集的概念及运算. (2)交集的概念及运算. (3)根据集合间的运算求参数范围. 2.方法归纳：观察法、图示法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若集合A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}，则A∩B等于 A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|-4<x<4} √ ∵A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}， ∴A∩B={x|0<x≤2}. 解析 1 2 3 4 2.集合M={1，2，3，4，5}，集合N={1，3，5}，则 A.N∈M B.M∪N=M C.M∩N=M D.M>N √ 因为N　M，所以M∪N=M. 解析 1 2 3 4 3.满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 由{1，3}∪A={1，3，5}，知A⊆{1，3，5}且A中一定有元素5，因此集合A可以是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}. 解析 1 2 3 4 4.集合A={x|x2-2x+1=0}，B={x|ax-1=0}，A∩B=B，则a=　　　. 1或0 A={x|x2-2x+1=0}={1}， ∵A∩B=B，∴B={1}或B=∅， 故a=1或a=0. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A C ABD C 2 题号 9 11 12 13 15 答案 -3≤a<3 ACD ABC (1)16　(2)29 BD 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)∵A∩B={2}， ∴4+2a+12=0，4+6+2b=0， 即a=-8，b=-5， ∴A={x|x2-8x+12=0}={2，6}， B={x|x2+3x-10=0}={2，-5}. (2)∵A∪B={-5，2，6}，C={2，-3}， ∴(A∪B)∩C={2}. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)当m=-3时，B={x|-7<x<-2}， 故A∩B={x|-3≤x<-2}. (2)因为A∪B=A，故B⊆A， 若2m-1≥m+1，即m≥2， 则B=∅，符合题意； 若m<2，则解得-1≤m<2， 综上，实数m的取值范围是{m|m≥-1}. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，得7∈A，7∈B且-1∈B， 所以在集合A中x2-x+1=7， 解得x=-2或x=3. 当x=-2时，在集合B中，x+4=2， 又2∈A，故2∈(A∩B)=C， 但2∉C，故x=-2不符合题意，舍去. 当x=3时，在集合B中，x+4=7， 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以2y=-1，解得y=-符合题意， 所以A={2，-1，7}，B={-1，-4，7}， 所以A∪B={2，-1，7，-4}. 16 基础巩固 1.(2025·八省联考)已知集合A={-1，0，1}，B={0，1，4}，则A∩B等于 A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{-1，0，1，4} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知集合M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是 A.{0，1} B.{0} C.{-1，2，3} D.{-1，0，1，2，3} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由Venn图可知阴影部分表示的集合是M∪P.因为M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，所以M∪P={-1，0，1，2，3}. 解析 3.设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=x+b}，且A∩B={(2，5)}，则 A.a=3，b=2 B.a=2，b=3 C.a=-3，b=-2 D.a=-2，b=-3 √ ∵A∩B={(2，5)}， ∴解得 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知集合A={1，2}，A∩B={1}，A∪B={0，1，2}，则集合B等于 A.{0，1} B.{0，2} C.{1，2} D.{1} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵集合A={1，2}，A∩B={1}， A∪B={0，1，2}， ∴1∈B，0∈B，2∉B，则B={0，1}. 解析 5.设集合A={x|-1≤x<2}，B={x|x<a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是 A.a<2 B.a>-2 C.a>-1 D.-1<a≤2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在数轴上表示出集合A，B即可知a的取值范围是a>-1. 解析 6.(多选)设集合S={x|-2≤x≤3}，T={x|0<x<7}，若集合P⊆(T∪S)，则P可以是 A.{x|-2≤x≤0} B.{x|3≤x≤6} C.{x|x<7} D.{x|1≤x≤5} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意T∪S={x|-2≤x<7}，P可以是选项A，B，D，满足P⊆(T∪S)，C不满足. 解析 √ 7.已知集合A={x∈Z|-1≤x<}，B=若A∩B有两个元 素，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A={-1，0，1}，B= 由于A∩B有两个元素，则 解得-<a<-1或-<a<0， 所以实数a的取值范围是. 解析 8.满足{1}∪B={1，2}的集合B的个数是　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 由{1}∪B={1，2}，故B可以是{2}，{1，2}，共2个. 解析 9.已知集合A={x|-2<x<4}，集合B={x|x+a-1≥0}，若A∪B={x|x>-2}，则实数a的取值范围为　　　　　. 集合A={x|-2<x<4}， 集合B={x|x≥1-a}， 若A∪B={x|x>-2}，则-2<1-a≤4，解得-3≤a<3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -3≤a<3 10.设A={x|x2+ax+12=0}，B={x|x2+3x+2b=0}，A∩B={2}，C={2，-3}. (1)求a，b的值及A，B； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A∩B={2}， ∴4+2a+12=0，4+6+2b=0， 即a=-8，b=-5， ∴A={x|x2-8x+12=0}={2，6}， B={x|x2+3x-10=0}={2，-5}. 解 (2)求(A∪B)∩C. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵A∪B={-5，2，6}，C={2，-3}， ∴(A∪B)∩C={2}. 解 11.(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的有 A.M∪N=N B.M∩N=N C.M⊆(M∩N) D.(M∪N)⊆N √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M⊆N，所以M∪N=N，A正确； M∩N=M，当M≠N时，M∩N≠N，B错误； 因为M∩N=M，而M⊆M，所以M⊆(M∩N)，C正确； 因为M∪N=N，而N⊆N，所以(M∪N)⊆N，D正确. 解析 √ √ 12.(多选)设集合A={x|x2-(a+2)x+2a=0}，B={x|x2-5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值可以为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B={x|x2-5x+4=0}={1，4}，对于集合A， x2-(a+2)x+2a=0，解得x=2或x=a， 当a=2时，A={2}，A∪B={1，2，4}， 因为1+2+4=7，所以符合题意； 当a≠2时，A={2，a}，A∪B中必含有1，2，4， 因为1+2+4=7，所以a=0或1或4. 综上所述，实数a的值可以为0，1，2，4. 解析 13.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店： (1)第一天售出但第二天未售出的商品有　 　种；  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示. 由图可知，第一天售出但第二天未售出的商品有19-(3-x)-x=16(种). 解析 (2)这三天售出的商品最少有　　种. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 这三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y(种). 由于所以0≤y≤14. 所以(43-y)min=43-14=29. 解析 14.已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1<x<m+1}. (1)若m=-3，求A∩B； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m=-3时，B={x|-7<x<-2}， 故A∩B={x|-3≤x<-2}. 解 (2)若A∪B=A，求实数m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A∪B=A，故B⊆A， 若2m-1≥m+1，即m≥2， 则B=∅，符合题意； 若m<2，则解得-1≤m<2， 综上，实数m的取值范围是{m|m≥-1}. 解 15.(多选)已知集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}，若集合A中元素的个数为有限个，则将其个数记为card(A)，则下列说法正确的是 A.若card(A)=2，则card(A∪B)=4 B.若card(A)=1，则card(A∪B)=3 C.若card(A∪B)=3，则A∩B=∅ D.若card(A∪B)=4，则A∩B=∅ 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}={1，3}，对于A，若card(A)=2，则card(A∪B)的可能取值为3或4，故A错误； 对于B，若card(A)=1，则A={2}，A∪B={1，2，3}，所以card(A∪B)=3，故B正确； 对于C，若card(A∪B)=3，则A∩B可能为∅，{1}，{3}，故C错误； 对于D，若card(A∪B)=4，则A={2，a}，且a的值不是1和3，所以A∩B=∅，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.设集合A={2，-1，x2-x+1}，B={2y，-4，x+4}，C={-1，7}，且A∩B=C，求实数x，y的值及A∪B. 16 由题意，得7∈A，7∈B且-1∈B， 所以在集合A中x2-x+1=7，解得x=-2或x=3. 当x=-2时，在集合B中，x+4=2， 又2∈A，故2∈(A∩B)=C， 但2∉C，故x=-2不符合题意，舍去. 当x=3时，在集合B中，x+4=7， 所以2y=-1，解得y=-符合题意， 所以A={2，-1，7}，B={-1，-4，7}， 所以A∪B={2，-1，7，-4}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章　§1.3　集合的基本运算 <<< $