周末练12 章末检测试卷四(第四～五章)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的概念、性质（单调性、奇偶性）、零点及不等式应用，通过典型例题将二次函数、对数函数、指数函数等知识点串联，构建从基础概念到实际应用的知识网络，体现各知识点间的逻辑联系。 其亮点在于注重用数学眼光观察现实问题，如车流量、证书印制等实际情境转化为函数模型，培养数学建模能力。通过逻辑推理分析函数单调性、零点存在性，如第17题证明唯一零点，提升数学思维。分层设计的选择、填空、解答题，满足不同学生需求，帮助教师精准复习，巩固知识。

周末练12 章末检测试卷四 (第四~五章) 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C D C B A 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD ABC ABD {x|0<x<2} 1 15 16 17 18 19 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个大于2的零点， 即方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2. 结合图象(图略)可知 解得－5<m<－4. 故实数m的取值范围是(－5，－4). 15 16 17 18 19 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)当x<0时，－x>0， 又f(x)为R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[－x－lo(－x＋1)] ＝x＋lo(－x＋1). 所以函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为 f(x)＝x＋lo(－x＋1). (2)当x≥0时，f(x)＝x＋log2(x＋1)为增函数， 15 16 17 18 19 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以f(x)在R上为增函数. 由f(lox)＋f(log2(2x－1))<0得 f(log2(2x－1))<－f(lox)＝f(－lox)＝f(log2x)， 所以log2(2x－1)<log2x， 所以所以所以<x<1， 所以不等式f ＋f(log2(2x－1))<0的解集为. 15 16 17 18 19 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)因为函数y＝logax的图象恒过点(1，0)， 所以函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a>0且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1). (2)F(x)＝f(x)－g(x) ＝loga(x＋2)－1－， 因为函数F(x)的图象过点， 所以F(2)＝， 即loga4－1－， 15 16 17 18 19 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以a＝2. 所以F(x)＝log2(x＋2)－－1. 所以函数F(x)在(1，2)上单调递增. 又因为F(1)＝log23－2<0， F(2)＝>0，F(1)·F(2)<0， 所以函数F(x)在(1，2)上有零点， 故函数F(x)在(1，2)上有唯一零点. 15 16 17 18 19 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)由题意得，当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20<x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)， 由已知得解得 故函数v(x)的解析式为 v(x)＝ 15 16 17 18 19 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)由题意和(1)可得 f(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)单调递增， 故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x≤200时，f(x)＝x(200－x) ＝－(x－100)2＋， 15 16 17 18 19 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值， 综上可知，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333. 即当车流密度为100辆/km时， 车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/h. 15 16 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)∵f(x)是奇函数， ∴定义域关于原点对称， 由>0，得(x－1)(1－ax)>0. 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， ∴＝－1，解得a＝－1. 经验证，a＝－1满足题意. (2)由(1)可知f(x)＝lo 15 16 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ＝lo(x>1)， 令u(x)＝1＋(x>1)， 对任意1<x1<x2， 有u(x1)－u(x2)＝ ＝. 因为1<x1<x2， 所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， 15 16 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以>0，即u(x1)－u(x2)>0. 所以u(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减. 又因为y＝lou(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增. (3)f(x)>＋m在[3，4]上恒成立， 即m<f(x)－在[3，4]上恒成立， 15 16 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令g(x)＝f(x)－. 由(2)知f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在[3，4]上单调递增. 所以g(x)min＝g(3)＝f(3)－＝－， 所以m<－， 即实数m的取值范围为. 15 16 17 18 19 一、单项选择题 1.计算：log225·log52等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 原式＝×＝3. 解析 15 16 17 18 19 2.函数f(x)＝x2－3x－4的零点是 A.(1，－4) B.(4，－1) C.1，－4 D.4，－1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1. 解析 15 16 17 18 19 3.函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 15 16 17 18 19 由题意得即 解得1≤x<.故此函数的定义域是. 解析 4.若函数f(x)＝log3x＋x－3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f(2)≈－0.369 1 f(2.5)≈0.334 0 f(2.25)≈－0.011 9 f(2.375)≈0.162 4 f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.281 25)≈0.031 9 那么方程x－3＋log3x＝0的一个近似根(精确度为0.1)为 A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 √ 由参考数据可知f(2.25)·f(2.312 5)<0，且|2.312 5－2.25|＝0.062 5<0.1，所以当精确度为0.1时，可以将2.3作为函数f(x)＝log3x＋x－3零点的近似值，也即方程x－3＋log3x＝0的根的近似值. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知x0是函数f(x)＝的一个零点，且x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0，0)，则 A.f(x1)<0，f(x2)<0 B.f(x1)>0，f(x2)>0 C.f(x1)<0，f(x2)>0 D.f(x1)>0，f(x2)<0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵y＝在(－∞，0)上单调递减， y＝在(－∞，0)上单调递减， ∴f(x)＝在(－∞，0)上单调递减. ∵f(x0)＝0，x1<x0，x0<x2<0， ∴f(x1)>f(x0)＝0，f(x2)<f(x0)＝0. 解析 15 16 17 18 19 6.某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现，该植物在水面的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间t(单位：月，t∈N)的关系为 y＝8×，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1 000倍需要的时间为 A.20个月 B.22个月 C.24个月 D.26个月 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 刚投放时的面积为y＝8×＝8， 设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1 000倍， 则8×＝8×1 000， 即t＝lo1 000＝≈＝24. 解析 15 16 17 18 19 7.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 由函数y＝logax的图象过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝， 则其函数图象错误； 选项B中的函数为y＝x3，则其函数图象正确； 选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图象错误； 选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图象错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根， 则实数a的取值范围为 A.(0，1) B.(0，2) C.(0，3) D.(1，3) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 函数f(x)＝ 作出函数f(x)的图象，如图所示. 方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点. 根据图象可知，当0<a<1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根， 则实数a的取值范围是(0，1). 解析 二、多项选择题 9.若ab>0，给出的下列四个等式，不一定成立的有 A.lg(ab)＝lg a＋lg b B.lg＝lg a－lg b C.lg＝lg D.lg(ab)＝ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 15 16 17 18 19 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0， ∴AB中的等式不一定成立； ∵ab>0，∴>0，lg×2lg＝lg， ∴C中等式成立； 当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义， ∴D中等式不一定成立. 解析 15 16 17 18 19 10.某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(单位：千元)、乙厂的总费用y2(单 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 位：千元)与印制证书数量x(单位：千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则 A.甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1 B.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元 C.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系 式为y2＝x＋ D.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 甲厂的总费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝0.5x＋1，故A正确； 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5(元)，故B正确； 易知当x>2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝x＋，故C正确； 当x＝8时，y1＝0.5×8＋1＝5，y2＝×8＋， 因为y1>y2，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故D不正确. 解析 15 16 17 18 19 11.关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有 A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C.若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4 D.函数f(x)有且仅有两个零点 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示.由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确； 若取f(x1)＝f(x2)＝1，则存在x1∈(2，3)，x2>3， 所以x1＋x2≠4，C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，D正确. 解析 三、填空题 12.不等式log2x<1的解集是　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 {x|0<x<2} 由题意得log2x<1＝log22， 解得0<x<2. 解析 13.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝log2x－的零点，则g(x0)＝　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 ∵f(1)＝log21－＝－<0，f(2)＝log22－>0， 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故x0∈(1，2)， ∴g(x0)＝[x0]＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵f(x)＝logax(x≥1)是减函数，∴0<a<1，且f(1)＝0. ∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x<1)为减函数， ∴3a－1<0，解得a<. 又∵f(x)＝是R上的减函数， ∴(3a－1)×1＋4a≥0，解得a≥， 综上可得≤a<， 即实数a的取值范围是. 解析 四、解答题 15.已知函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个零点，且都大于2，求实数m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m有两个大于2的零点，即方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2. 结合图象(图略)可知 解得－5<m<－4. 故实数m的取值范围是(－5，－4). 解 16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－ lo(x＋1). (1)求函数f(x)在(－∞，0)上的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当x<0时，－x>0， 又f(x)为R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－[－x－lo(－x＋1)] ＝x＋lo(－x＋1). 所以函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为 f(x)＝x＋lo(－x＋1). 解 (2)求不等式f ＋f(log2(2x－1))<0的解集. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当x≥0时，f(x)＝x＋log2(x＋1)为增函数， 所以f(x)在R上为增函数. 由f(lox)＋f(log2(2x－1))<0得 f(log2(2x－1))<－f(lox)＝f(－lox)＝f(log2x)， 所以log2(2x－1)<log2x， 所以所以所以<x<1， 所以不等式f ＋f(log2(2x－1))<0的解集为. 解 17.已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a>0且a≠1)，g(x)＝. (1)若函数y＝f(x)的图象恒过定点A，求点A的坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为函数y＝logax的图象恒过点(1，0)， 所以函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a>0且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1). 解 (2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象过点，试证明函数F(x)在x∈(1，2) 上有唯一零点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 F(x)＝f(x)－g(x) ＝loga(x＋2)－1－， 因为函数F(x)的图象过点， 所以F(2)＝， 即loga4－1－， 所以a＝2. 所以F(x)＝log2(x＋2)－－1. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以函数F(x)在(1，2)上单调递增. 又因为F(1)＝log23－2<0， F(2)＝>0，F(1)·F(2)<0， 所以函数F(x)在(1，2)上有零点， 故函数F(x)在(1，2)上有唯一零点. 证明 18.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/km)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60 km/h，研究表明：当20<x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意得，当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20<x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)， 由已知得解得 故函数v(x)的解析式为 v(x)＝ 解 (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值.(精确到1辆/h) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意和(1)可得 f(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)单调递增， 故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋， 故当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值， 综上可知，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值≈3 333. 即当车流密度为100辆/km时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/h. 解 19.设f(x)＝lo为奇函数，a为常数. (1)求a的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵f(x)是奇函数， ∴定义域关于原点对称， 由>0，得(x－1)(1－ax)>0. 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， ∴＝－1，解得a＝－1. 经验证，a＝－1满足题意. 解 (2)证明：f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)可知f(x)＝lo ＝lo(x>1)， 令u(x)＝1＋(x>1)， 对任意1<x1<x2， 有u(x1)－u(x2)＝ ＝. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为1<x1<x2， 所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， 所以>0，即u(x1)－u(x2)>0. 所以u(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减. 又因为y＝lou(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增. 证明 (3)若在区间[3，4]上的每一个x，不等式f(x)>＋m恒成立，求实数m 的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f(x)>＋m在[3，4]上恒成立，即m<f(x)－在[3，4]上恒成立， 令g(x)＝f(x)－. 由(2)知f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在[3，4]上单调递增. 所以g(x)min＝g(3)＝f(3)－＝－， 所以m<－， 即实数m的取值范围为. 解 $