第5章 §1 方程解的存在性及方程的近似解（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第一册（北师大版2019）

§１方程解的存在性及方程的近似解 知识点 1 函数的零点 知识 清单破 1.函数的零点的概念 使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. f(x)的零点就是函数y=f(x)的图 象与x轴交点的横坐标. 2.方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 3.零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负, 即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)= 0至少有一个解. 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 　　对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每 次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的 方法称为二分法. 知识点 2 二分法 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 　　给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤: 知识点 3 用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤 1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: (1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点; (2)若f(a)·f(c)<0 (此时x0∈(a,c)),则令b=c; (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c. 4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值(可以是[a,b]中的任意一个值);否则重复 步骤2~4. 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.所有的函数都有零点. (　    ) ✕ 2.若方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).(　    ) ✕ 3.若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0. (　    ) ✕ 4.用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用. (　    ) √ 5.用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小 近似解所在的区间. (　    ) √ 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 函数零点个数的判断及应用 1.判断函数零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程,根据方程解的个数判断函数零点的个数. (2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数. (3)借助函数的单调性进行判断.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且在区间 (a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点. (4)转化成判断两个函数图象的交点个数问题. 2.已知函数零点个数求参数的取值范围,为了便于限制零点个数或零点所在区间,通常要对已 知条件进行变形,变形的方向:(1)化已知函数为常见的基本初等函数;(2)尽量使参数与变量分 离,不能分离时,也要使含参数的部分尽可能简单. 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数为　　　    ; (2)已知函数f(x)= 若函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1有6个不同的零点,则实数m的取值 范围是　　　    . 思路点拨    (1)应用零点存在定理及函数单调性求解或将问题转化为求两函数图象的交点个 数问题,通过数形结合进行求解. (2)由图象法解决函数y=f(x)-t零点的个数问题,再由函数性质确定实数m的取值范围. 1 (-∞,-1) 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2>0,且f(x)在(0,1)上的图象是连续的,∴f(x) 在(0,1)上必定存在零点, 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上单调递增,∴函数f(x)有且只有1个零点. 解法二:令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1).在同一平面直角坐标系中作出h(x)和g(x)的图象,如图所示.   由图可知,g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有1个交点, 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 故f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有1个零点. (2)令t=f(x),则y=2t2+3mt+1. 作出函数y=f(x)的图象,如图所示.   由图可知: 当t<0时,函数y=f(x)-t有1个零点; 当t=0时,函数y=f(x)-t有3个零点; 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 当0<t<1时,函数y=f(x)-t有4个零点; 当t=1时,函数y=f(x)-t有3个零点; 当t>1时,函数y=f(x)-t有2个零点. 要使函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1有6个不同的零点, 则函数y=2t2+3mt+1有两个零点t1,t2,且0<t1<1,t2>1,或t1=0,t2=1. 令g(t)=2t2+3mt+1, 则g(0)=1≠0,所以t1=0,t2=1不满足题意, 若0<t1<1,t2>1,则g(1)=3m+3<0, 解得m<-1. 故实数m的取值范围是(-∞,-1). 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 　　若函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,判别式Δ= b2-4ac,k,k1,k2(k1<k2)是常数,则x1,x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如表所示. 讲解分析 疑难 2 一元二次函数零点的分布问题 根的分布 图象 等价条件 x1<x2<k     k<x1<x2     第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 x1<k<x2   f(k)<0 x1,x2 ∈(k1,k2)     第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求实数m的取值 范围; (2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围. 思路点拨    根据一元二次方程根的分布情况,借助函数的图象,从判别式、对称轴、端点函 数值等方面列出关于参数的不等式(组),求解得出参数的取值范围. 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 解析　令f(x)=x2+2mx+2m+1. (1)依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1, 2)内,画出函数f(x)的大致图象,如图①所示. 由图象得 解得- <m<- . ∴实数m的取值范围为 . (2)依题意得,函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的两个交点的横坐标均在区间(0,1)内,画出 函数f(x)的大致图象,如图②所示. 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念   图① 图② 由图象得  解得- <m<1- . ∴实数m的取值范围是 . 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 给定精确度,利用二分法求方程近似解的步骤如图所示. 讲解分析 疑难 3 用二分法求方程的近似解 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 求方程lg x= -1的一个近似解(精确度为0.1). 解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg x和y= -1的图象,如图所示.   由图可知,方程lg x= -1有唯一实数解,且该解在区间(0,1)内. 设f(x)=lg x- +1,则f(1)= >0,用计算器计算,如表所示. 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 取值区间 中点值 中点函数 近似值 区间长度 (0,1) 0.5 -0.008 1 1 (0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5 (0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25 (0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125 (0.5,0.562 5) 0.531 25 0.033 3 0.062 5 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 因为区间(0.5,0.562 5)的区间长度为0.062 5<0.1, 所以函数f(x)的一个零点近似值为0.562 5, 即方程lg x= -1的一个近似解为0.562 5. 第五章　函数应用 第1讲　描述运动的基本概念 $$