第7章 1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦随机现象、样本空间与随机事件，通过生活实例（如掷硬币、摸球）导入，引导学生从确定性与随机现象的对比中抽象样本点，借助列举法、列表法、树状图法构建知识支架，衔接初中概率基础，形成从具体到抽象的认知脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如转盘游戏分析事件类型），用数学思维推理（如样本点逻辑分类），借数学语言表达（集合符号描述事件）。通过例题变式、跟踪训练强化抽象能力与推理意识，课堂小结系统梳理方法，助力学生构建结构化知识，也为教师提供丰富教学资源与实施路径。

第七章　概率 <<< 1.1　随机现象　 1.2　样本空间　 1.3　随机事件 1.结合具体实例，理解样本点和样本空间的含义. 2.能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念. 3.理解随机事件与样本点的关系. 学习目标 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古典概型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解；通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力. 导 语 一、随机现象与样本空间 二、事件类型的判断 课时对点练 三、事件与样本空间 内容索引 随机现象与样本空间 一 观察下列现象. (1)日出东方，日落西山； (2)山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨雪，天地合，乃敢与君绝； (3)掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上； (4)买一张彩票，可能中奖也可能不中奖； (5)某足球运动员踢点球一次，可能踢中也可能踢不中； (6)从含有次品的一批产品中，任意抽取5件进行检验，其中可能有0，1，2，3，4，5件次品. 你能判断上面现象的发生与否，各有什么特点吗？ 问题1 提示　现象(1)必然会发生； (2)不可能发生； (3)，(4)，(5)，(6)是有多种可能发生的结果. 提示　正面向上的点数共有6种情况，分别是：1点，2点，3点，4点，5点，6点；可用集合表示为{1点，2点，3点，4点，5点，6点}. 掷一枚骰子，正面向上的点数有多少种情况？你能用集合的形式表示所有情况吗？ 问题2 1.随机现象   定义 特点 确定性现象 在一定条件下___________的现象，称为确定性现象 结果是必然的 随机现象 在一定条件下，进行试验或观察会出现_______的结果，而且每次试验之前都______预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象 (1)结果______有2种； (2)事先并________会出现哪一种结果 必然出现 不同 无法 至少 不知道 知识梳理 2.样本空间   定义 表示符号 样本空间 一般地，将试验E的_______________组成的集合称为试验E的样本空间 ____ 样本点 样本空间Ω的元素，即试验E的_________ _____，称为试验E的样本点 ____ 有限样本空间 如果样本空间Ω的样本点的个数是______的，那么称样本空间Ω为有限样本空间 所有可能结果 每种可能 结果 Ω ω 有限 对于同一试验E，样本空间是集合，样本点是样本空间里的元素. 注 意 点 <<< 11 (课本例1)写出下列试验的样本空间： (1)E5：连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数； 例 1 12 为了得到试验的相应样本空间，首先需要分析该试验所有可能出现的结果. 对于试验E5，用(i，j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则所有可能的结果如表. 解 第一次掷出的点数 第二次掷出的点数 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 13 注意：这里的(1，2)和(2，1)是不同的样本点，分别表示连续抛掷一枚骰子2次，“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为2”和“第一次掷出的点数为2，第二次掷出的点数为1”.于是，试验E5共有36个样本点.因此，该试验的样本空间为 Ω5＝. 解 14 (2)E6：袋中有白球3个(编号为1，2，3)、黑球2个(编号为1，2)，这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况； 15 对于试验E6，设摸到白球的结果分别记为w1，w2，w3，摸到黑球的结果分别记为b1，b2，则该试验的所有可能结果如图. 解 因此，该试验的样本的空间为 Ω6＝{w1w2，w1w3，w1b1，w1b2，w2w1，w2w3，w2b1，w2b2，w3w1，w3w2，w3b1，w3b2，b1w1，b1w2，b1w3，b1b2，b2w1，b2w2，b2w3，b2b1}. 16 (3)E7：连续射击一个目标直到命中为止，观察射击的总次数. 对于试验E7，如果用k表示“直到命中目标为止，射击了k次”这个结果，那么该试验的所有可能结果构成的集合可以用正整数集表示，即该试验的样本空间为Ω7＝{1，2，…，k，…}. 解 17 写出下列试验的样本空间： (1)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，记录两枚骰子出现的点数之和； 例 1 该试验的样本空间 Ω1＝{2，3，4，…，12}. 解 (2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果； 该试验所有可能的结果如图所示， 因此，该试验的样本空间 Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}. 解 18 (3)抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况； 方法一　掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示.于是，试验的样本空间Ω3＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}. 方法二　如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为 Ω3＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}. 如图所示，画树状图可以帮助我们理解解答过程. 解 19 (4)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况. 20 如图， 解 用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间Ω4＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}. 21 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏. (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏. (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举. 反 思 感 悟 22 袋中装有除颜色外其他方面都相同的四个小球，分别命名为红、白、黄、黑，从中任取一球的样本空间Ω1＝_________________，从中任取两球的样本空间Ω2＝_______________________________________ ___________________.  跟踪训练 1 {红，白，黄，黑} {(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)， (白，黑)，(黄，黑)} 从中任取一球有4种可能，分别为红，白，黄，黑，构成样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}；从中任取两球有6种可能，构成样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}. 解析 23 二 事件类型的判断 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10份(如图所示).转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字. 设事件A＝“转出的数字是5”，事件B＝“转出的数字是0”，事件C＝“转出的数字x满足1≤x≤10，x∈Z”，则事件A，B，C分别是什么事件？ 问题3 提示　“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.“转出的数字是0”，即B＝{0}，不是样本空间Ω＝{1，2，…，10}的子集，故事件B是不可能事件.C＝Ω＝{1，2，…，10}，故事件C是必然事件. 事件的分类   定义 随机事件 一般地，把试验E的样本空间Ω的_____称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示 必然事件 样本空间Ω包含_________样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都__________，因此称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，它在每次试验中都_________，故称∅为不可能事件 子集 所有的 必然发生 不会发生 知识梳理 理解事件的两个关键点 (1)条件：事件发生与否是相对条件而言的，随着条件的改变，结果可能也发生改变. (2)结果：有时样本空间较复杂，要准确理解事件结果包含的各种情况，列举该事件包含的样本点时，可借助集合知识进行求解. 注 意 点 <<< 28 (多选)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是 A.事件“都是红色卡片”是随机事件 B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 例 2 √ √ √ 29 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确. 解析 30 对事件类型判断的两个关键点 (1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生. (2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件；一定不发生的，则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件. 反 思 感 悟 31 (多选)下列事件不是随机事件的是 A.从分别标有1，2，3，4的4个乒乓球中任取一个，得到1号球 B.在标准大气压下，水加热到60℃时会沸腾 C.对顶角相等 D.同时掷两枚硬币，落地后都是反面向上 跟踪训练 2 √ √ AD是随机事件， B是不可能事件， C是必然事件. 解析 32 三 事件与样本空间 (1)(课本例2)试验E2：连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面出现的情况.设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少出现一次正面”，试用样本点表示事件A，B，C. 例 3 34 由前面的分析可知，试验E2的所有可能结果共有8种，下面用字母H表示出现正面，字母T表示出现反面，则试验E2的样本空间可以记为Ω2＝{(H，H，H)，(H，H，T)，(H，T，H)，(H，T，T)，(T，H，H)，(T，H，T)，(T，T，H)，(T，T，T)}. 因为事件A表示随机事件“第一次出现正面”，所以满足要求的样本点共有4个：(H，H，H)，(H，H，T)，(H，T，H)，(H，T，T).因此，事件A＝{(H，H，H)，(H，H，T)，(H，T，H)，(H，T，T)}. 解 35 事件B表示随机事件“3次出现同一面”，所以满足要求的样本点共有2个：(H，H，H)，(T，T，T).因此，事件B＝{(H，H，H)，(T，T，T)}. 事件C表示随机事件“至少出现一次正面”，所以满足要求的样本点共有7个：(H，H，H)，(H，H，T)，(H，T，H)，(H，T，T)，(T，H，H)，(T，H，T)，(T，T，H).因此，事件C＝{(H，H，H)，(H，H，T)，(H，T，H)，(H，T，T)，(T，H，H)，(T，H，T)，(T，T，H)}. 解 36 (2)(课本例3)在试验E5“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义： ①事件A＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)}； 37 由前面的分析可知试验E5的样本空间为 Ω5＝. 观察事件A中所含的样本点(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)可知，每个样本点中第二个数均为1.因此，若事件A中所含的样本点出现其中一个，则“第二次掷出的点数为1”发生.同时，由样本空间Ω可知，若“第二次掷出的点数为1”发生，则事件A中的样本点必出现其中一个.因此事件A的含义为：连续抛掷一枚骰子2次，第二次掷出的点数为1. 解 38 ②事件B＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)}； 观察事件B中所含的样本点(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)可知，每个样本点中第二个数均比第一个数大1.因此，若事件B中所含的样本点出现其中一个，则“第二次掷出的点数比第一次的大1”发生.同时，由样本空间Ω可知，若“第二次掷出的点数比第一次的大1”发生，则事件B中的样本点必出现其中一个.因此事件B的含义为：连续抛掷一枚骰子2次，第二次掷出的点数比第一次的大1. 解 39 ③事件C＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}. 观察事件C中所含的样本点(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)可知，每个样本点中两个数的和均为5.因此，若事件C中所含的样本点出现其中一个，则“2次掷出的点数之和为5”发生.同时，由样本空间Ω可知，若“2次掷出的点数之和为5”发生，则事件C中的样本点必出现其中一个.因此事件C的含义为：连续抛掷一枚骰子2次，2次掷出的点数之和为5. 解 40 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y). (1)写出这个试验的样本空间； 例 3 Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}. 解 41 (2)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？ “x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4). 解 42 (3)指出事件A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}的含义. 事件A表示同时转动两个转盘，两个转盘所得到的数相同. 解 43 事件与样本空间的两种题型与求解策略 (1)随机事件的表示，先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含哪些样本点，把这些样本点作为元素表示成集合即可. (2)说明随机事件的含义，要先理解事件中样本点的意义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义. 反 思 感 悟 44 试验E：甲、乙、丙三人坐在一排三个位置上.从左到右记这三个位置为1，2，3，甲、乙两人的座位用(a，b)表示，其中a表示甲坐的位置号，b表示乙坐的位置号. (1)写出这个试验的样本空间； 跟踪训练 3 这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)， (3，2)}. 解 45 (2)指出下列随机事件的含义： ①事件A＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)}； 观察事件A中所含的样本点可知，每个样本点中两个数是连续的，即座位是相邻的，因此事件A的含义为甲、乙相邻. 解 ②事件B＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}. 观察事件B中所含的样本点可知，每个样本点中第2个数字比第1个大，即乙的座位在甲的右边，但不一定相邻，因此事件B的含义为甲在乙的左边，但不一定相邻. 解 46 1.知识清单： (1)样本空间和样本点的定义、表示及求法. (2)随机事件、必然事件、不可能事件的概念. (3)随机事件的样本空间的表示. 2.方法归纳：列举法、列表法、树状图法. 3.常见误区：因未按照一定的顺序列举样本点，导致样本点重复或遗漏. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D AC C A ABD D 题号 7 8 11 12 答案 随机 5　两次掷出的点数相同 D ACD 题号 13 14 15 答案 8 {0，2，4，6，8} A 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设正品为H，次品为T， 则样本空间Ω1＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}. (2)如图， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间Ω2＝{(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，2，3)，(1，4，3，2)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(2，4，3，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，1，3，2)，(4，2，1，3)，(4，2，3，1)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)}. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)用(x，y)表示取出的两个数，x，y＝1，2，3，4，且x≠y，所以样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}. (2)(含义不唯一)①观察事件A中所含的样本点可知，1和2，2和4，两个数成2倍关系，即取出的两个数，其中一个数是另一个数的2倍，因此事件A的含义为取出的两个数，其中一个数是另一个数的2倍. ②观察事件B中所含的样本点可知，两个数的差是1或－1，因此事件B的含义为取出的两个数差的绝对值为1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)方法一　分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示.进一步地，用1表示元件“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}. 方法二　如图，还可以借助树状图帮助我们 列出试验的所有可能结果. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1. 所以M＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}. “电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝1，且x2，x3中至少有一个是1，所以N＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}. 同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝0，或x1＝1，x2＝x3＝0. 所以T＝{(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}. 基础巩固 1.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是 A.样本点是构成样本空间的元素 B.样本点是构成随机事件的元素 C.随机事件是样本空间的子集 D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由定义知A，B，C均正确； 因为随机事件是样本空间的子集， 所以由子集的定义可知D错误. 解析 2.(多选)下列事件，是随机事件的有 A.明天是阴天 B.方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根 C.明年长江武汉段的最高水位是29.8 m D.一个三角形的大边对小角，小边对大角 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.一个家庭有两个小孩，则随机事件的样本空间Ω是 A.{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B.{(男，女)，(女，男)} C.{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D.{(男，男)，(女，女)} √ 两个小孩有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点，故选C. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.先后抛掷均匀的5角、1元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是 A.“至少一枚硬币正面向上” B.“只有一枚硬币正面向上” C.“两枚硬币都是正面向上” D.“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” √ “至少一枚硬币正面向上”包括“5角硬币向上，1元硬币向下”、“5角硬币向下，1元硬币向上”、“5角、1元硬币都向上”3个样本点. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)从10个同类产品中(其中8个正品，2个次品)任意抽取3个.下列事件是必然事件的是 A.至少有一个是正品 B.至多有两个次品 C.恰有一个是正品 D.至多有三个正品 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从10个同类产品中任取3个共有3种情况，分别为3个正品，2个正品1个次品，1个正品2个次品，所以从10个同类产品中任意抽取3个，那么至少有一个正品，至多有两个次品，至多有三个正品. 解析 √ √ 6.在试验E“抛掷两枚均匀的骰子各一次，观察骰子掷出的点数”中，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差记为X，则事件A＝{X|X≥5}的含义是 A.第一枚6点，第二枚2点 B.第一枚5点，第二枚1点 C.第一枚1点，第二枚6点 D.第一枚6点，第二枚1点 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抛掷两枚均匀的骰子各一次，分别用x1，x2表示第一枚骰子和第二枚骰子出现的点数， 则x1，x2＝1，2，3，4，5，6. 由题意知X≥5等价于x1－x2＝5， 所以x1＝6，x2＝1， 即事件A的含义是第一枚6点，第二枚1点. 解析 7.质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是　　　　事件.  质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 随机 8.在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有　　个，若事件A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，则事件A的含义是　　 　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 事件“点数之和为8”包含的样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个； 事件A的每个样本点中两数字相同，说明两次掷出的点数相同. 解析 5 两次掷出的点数相同 9.写出下列试验的样本空间： (1)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况； 设正品为H，次品为T， 则样本空间Ω1＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图， 解 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间Ω2＝{(1，2，3，4)，(1，2，4，3)，(1，3，2，4)，(1，3，4，2)，(1，4，2，3)，(1，4，3，2)，(2，1，3，4)，(2，1，4，3)，(2，3，1，4)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(2，4，3，1)，(3，1，2，4)，(3，1，4，2)，(3，2，1，4)，(3，2，4，1)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，1，3，2)，(4，2，1，3)，(4，2，3，1)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)}. 10.试验E：从1，2，3，4这4个数字中，不放回地取两次，每次取一个，观察取出的数字，用(x，y)表示取出的两个数. (1)写出试验的样本空间； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 用(x，y)表示取出的两个数，x，y＝1，2，3，4，且x≠y，所以样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}. 解 (2)指出下列随机事件的含义： ①事件A＝{(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)}； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (含义不唯一)观察事件A中所含的样本点可知，1和2，2和4，两个数成2倍关系，即取出的两个数，其中一个数是另一个数的2倍，因此事件A的含义为取出的两个数，其中一个数是另一个数的2倍. 解 ②事件B＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)}. 观察事件B中所含的样本点可知，两个数的差是1或－1，因此事件B的含义为取出的两个数差的绝对值为1. 解 11.下列事件中，为必然事件的是 A.10人中至少有2人生日在同一个月 B.11人中至少有2人生日在同一个月 C.12人中至少有2人生日在同一个月 D.13人中至少有2人生日在同一个月 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一年有12个月，因此无论10，11，12个人都有不在同一个月出生的可能，只有13个人中至少有2人在同一个月出生. 解析 12.(多选)已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，则下列命题为真命题的是 A.若x∈A，则x∈B是必然事件 B.若x∉A，则x∈B是不可能事件 C.若x∈B，则x∈A是随机事件 D.若x∉B，则x∉A是必然事件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对A，符合真子集的定义，故正确； 对B，若x∉A，则x∈B可能成立，故错误； 对C，若x∈B，则x∈A或x∉A，故正确； 对D，若x∉B，则x∉A，用Venn图可知成立，故正确. 解析 13.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的 数字为y.用(x，y)表示一个样本点.则满足条件“为整数”这一事件包含 样本点的个数为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点. 用A表示满足条件“为整数”的事件，则A＝{(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}，共8个样本点. 解析 14.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝　　 　　.  最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {0，2，4，6，8} 15.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区C， 则他不经过市中心O的样本点的个数为 A.2 B.3 C.4 D.6 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此人从小区A前往C的所有最短路径为A→E→D→H→C，A→E→O→H→C，A→E→O→F→C，A→G→O→H→C，A→G→O→F→C，A→G→B→F→C，共6条，记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的样本点为A→E→D→H→C，A→G→B→F→C，共2条. 解析 16.如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现 象，观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示.进一步地，用1表示元件“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}. 方法二　如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果. 解 (2)用集合表示下列事件： M＝“恰好两个元件正常”； N＝“电路是通路”； T＝“电路是断路”. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 “恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1. 所以M＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}. “电路是通路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝1，且x2，x3中至少有一个是1，所以N＝{(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}. 同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3)∈Ω，x1＝0，或x1＝1，x2＝x3＝0. 所以T＝{(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}. 解 第七章　概率 <<< $