第6章 4.1 样本的数字特征（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦样本的数字特征，系统讲解众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的计算及应用，通过甲、乙、丙厂家产品使用寿命问题导入，衔接初中知识，引导学生发现不同数字特征的作用，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，如运动员得分分析、供货商交货稳定性比较等，培养学生用数学眼光观察数据，用数学思维分析离散程度与集中趋势，用数学语言表达统计结论。通过例题与跟踪训练结合，帮助学生掌握计算方法与实际应用，提升数据分析能力，教师可利用资料系统教学，提高课堂效率。

第六章　统计 <<< 4.1 样本的数字特征 1.会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差，并理解它们的意义和作用. 2.能用样本的数字特征估计总体的数字特征，作出合理解释和决策. 学习目标 在统计问题中，当我们抽取了样本(数据)后，根据初中已经学过的知识，可以计算这组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差等，它们从不同角度反映了数据的数字特征.然后，我们就可以用样本的数字特征来估计总体的数字特征.本节我们就一起来进一步学习样本的数字特征. 导 语 一、样本数字特征的计算 二、众数、中位数、平均数的应用 课时对点练 三、方差、标准差的应用 内容索引 一 样本数字特征的计算 提示　三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品，其中甲：众数为8年；乙：平均数为8年；丙：中位数为8年. 现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行跟踪调查，其结果如下： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10. 乙：4，6，6，6，8，9，12，13. 丙：4，5，6，8，8，9，10，11. 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？ 问题1 提示　不能，众数只能传递数据中的很少一部分信息，对极端值也不敏感.平均数、中位数、众数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同的角度刻画了一组数据的集中趋势. 众数能传递数据中的很多信息吗？对极端值是否敏感？初中学过的平均数、中位数、众数是刻画什么的？ 问题2 样本的数字特征   概念或计算公式 特征或作用 平均数 样本数据的_______ 反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值敏感 中位数 将样本数据按__________的顺序排列后，“中间”的那个数据 使样本数据被分成的两部分的_______________，不受少数几个极端数据的影响 平均值 从小到大 数据量是一样的 知识梳理   概念或计算公式 特征或作用 众数 样本数据中出现次数最___的数据 体现了样本数据的最大集中点 极差 样本数据中最大值和最小值的差 能粗略地刻画样本数据的离散程度 方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 较好地刻画样本数据偏离平均数的离散程度，标准差、方差越___，数据的离散程度越小 标准差 s＝ 多 小 (1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的.众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数. (2)众数一定是原始数据中的数，平均数和中位数都不一定是原始数据中的数. (3)标准差的单位与原始数据的单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方，在解决实际问题时，一般采用标准差. (4)标准差(方差)的范围为[0，＋∞)，若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，标准差为0；反之，标准差为0，数据都相等.极差的范围为[0，＋∞)，标准差的大小不会超过极差. 注 意 点 <<< 10 (课本例1)某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分(单位：分)情况如表. 例 1 比赛场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得分 12 24 31 15 36 25 50 35 31 44 39 41 36 求在该赛季比赛中，这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极差、方差和标准差. 11 平均数＝≈32.23(分)； 中位数：35分； 众数：31分，36分； 极差：50－12＝38(分)； 方差s2＝ ＝ ≈110.95； 标准差s≈10.53分. 解 12 (1)已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为 A.5 B.6 C.4 D.5.5 例 1 √ 由题意得(4＋x)＝5，解得x＝6.则这组数据的众数为6. 解析 13 (2)一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均数约为 A.4.55 B.5 C.12.5 D.1.64 √ 由条件得样本平均数为×(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55. 解析 14 (3)从总体中随机抽取的样本为－1，3，－1，1，1，3，2，2，0，0，则该总体标准差的估计值是 A.2 B. C. D. √ 由已知样本得10个数据的总和为10，故样本平均数为1，样本方差是s2＝×[(－1－1)2＋(3－1)2＋(－1－1)2＋(1－1)2＋(1－1)2＋(3－1)2＋(2－1)2＋(2－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2]＝2，所以样本标准差s＝，该总体标准差的估计值是. 解析 15 计算样本数据的数字特征时要注意的问题 (1)计算中位数时一定要按从小到大的顺序排列数据. (2)极差、方差、标准差的概念不要混淆，计算公式要掌握牢固，标准差的大小不会超过极差. 反 思 感 悟 16 (1)已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，而x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为 A. B. C. D. 跟踪训练 1 √ 因为前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b， 所以样本平均数为. 解析 17 (2)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是　　.  0.1 这组数据的平均数×(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，故s2＝×[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1. 解析 18 二 众数、中位数、平均数的应用 下面是某个体快餐店所有工作人员10月份的工资表： (1)你认为快餐店所有工作人员的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？哪个数字特征更能反映打工人员这个月收入的一般水平？ 例 2 老板 30 000元 大厨 6 800元 二厨 5 000元 采购员 4 000元 杂工 3 000元 服务生 3 000元 会计 4 200元 20 所有员工10月份的平均工资是×(30 000＋6 800＋5 000＋4 000＋ 3 000＋3 000＋4 200)＝8 000(元). 所有员工的平均工资不能反映打工人员当月收入的一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于平均工资，因为这7个值中有一个极端值——老板的工资，他的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，平均工资不能反映打工人员这个月收入的一般水平.中位数更能反映打工人员当月收入的一般水平. 解 21 (2)去掉老板的工资后员工的平均工资能代表打工人员当月的收入水平吗？ 老板 30 000元 大厨 6 800元 二厨 5 000元 采购员 4 000元 杂工 3 000元 服务生 3 000元 会计 4 200元 去掉老板的工资后的平均工资×(6 800＋ 5 000＋4 000＋3 000＋3 000＋4 200)≈4 333(元)，该平均工资能代表打工人员当月收入的一般水平. 解 22 (3)根据以上计算，以统计的观点，谈谈你有什么看法？ 老板 30 000元 大厨 6 800元 二厨 5 000元 采购员 4 000元 杂工 3 000元 服务生 3 000元 会计 4 200元 从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据.当样本数据中存在极端值时，中位数比平均数更能反映样本特征. 解 23 众数、中位数、平均数的意义 (1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大. (2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势. 反 思 感 悟 24 16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则从其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是 A.平均数 B.极差 C.中位数 D.众数 跟踪训练 2 √ 25 判断小刘能否进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数. 解析 26 三 方差、标准差的应用 假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货时间(单位：天)： 甲：10　9　10　10　11　11　9　11　10　10 乙：8　10　14　7　10　11　10　8　15　12 估计两个供货商的交货情况，并判断哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间比较具有一致性和可靠性. 例 3 28 ×(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1， ×[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2＋ (11－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49； ×(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)＝10.5， ×[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2＋ (11－10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05. 从交货时间的平均数来看，甲供货商的交货时间短一些；从交货时间的方差来看，甲供货商的交货时间较稳定，因此甲供货商的交货时间比较具有一致性和可靠性. 解 29 (1)在实际应用中，常常把平均数与方差或标准差结合起来进行决策. 在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定. (2)对实际问题的分析评价，不仅要依据单个样本数字特征，还要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯. 反 思 感 悟 30 某餐厅推出了以下线上促销活动. A套餐(在下列食品中6选2) 西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司. 中式面点：豆包、桂花糕. B套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合. 某一周两种套餐的日销售量(单位：份)如表所示. 跟踪训练 3   星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 A套餐 11 12 14 18 22 19 23 B套餐 6 13 15 15 37 20 41 根据上面一周的销量，分别计算A套餐和B套餐销量的平均数和方差，并根据所得数据评价两种套餐的销售情况. 31 A套餐销量的平均数 ×(11＋12＋14＋18＋22＋19＋23)＝17， 方差×(62＋52＋32＋12＋52＋22＋62)＝. B套餐销量的平均数 ×(6＋13＋15＋15＋37＋20＋41)＝21， 方差×(152＋82＋62＋62＋162＋12＋202)＝. 因为<，<， 所以该周销量中A套餐比B套餐平均销量低，但A套餐的销量比B套餐相对稳定. 解 32 1.知识清单： (1)众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差的意义与计算. (2)样本数据数字特征的应用. 2.方法归纳：数据分析、统计. 3.常见误区： (1)未对数据排序导致求中位数错误. (2)方差与标准差计算错误. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D BCD C B AD C 题号 7 8 答案 29 对学习有困难的同学多给一些帮助　采取措施提高优秀率(答案不唯一) 题号 11 12 13 14 15 答案 AB AC D C D 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)甲群市民年龄的平均数为＝25(岁)， 中位数为25岁，众数为25岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的平均数为＝47.4(岁)， 中位数为54.5岁，众数为56岁. 由于乙群市民大多数是老年人，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数看，甲组成绩较好. (2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩较好. (3)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80 －80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－ 80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256. 因为<，所以甲组成绩比乙组成绩稳定，从这一角度看，甲组成绩较好. (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩分布在高分段的人数较多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一角度看，乙组成绩较好. 基础巩固 1.下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的是 A.中位数可以准确地反映出总体的情况 B.平均数可以准确地反映出总体的情况 C.众数可以准确地反映出总体的情况 D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(多选)下列说法中，正确的是 A.数据2，4，6，8的中位数是4，6 B.数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4 C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据 D.8个数据的平均数是5，另外3个数据的平均数是7，则这11个数据的平 均数是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数据2，4，6，8的中位数为＝5，显然A是错误的，B，C，D都是正 确的. 解析 √ √ 3.奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为 A.减少计算量 B.避免故障 C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛 √ 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.一组数据1，10，5，2，x，2，且2<x<5，若该组数据的众数是中位数 的倍，则该组数据的平均数为 A.3 B.4 C.4.5 D.5 √ 因为2<x<5，所以由小到大排列为1，2，2，x，5，10，则众数是2，中 位数是(2＋x)，所以2＝×(2＋x)，解得x＝4，则平均数是×(1＋2＋ 2＋4＋5＋10)＝4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(多选)划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下，甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，下列说法正确的是 A.他们最大速度的平均数相等 B.他们最大速度的中位数相等 C.同样情况下，甲运动员的发挥比乙更稳定 D.同样情况下，乙运动员的发挥比甲更稳定 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲的平均数为＝33， 乙的平均数为＝33， 甲的中位数为＝33， 乙的中位数为＝33.5， 则他们最大速度的平均数相等，中位数不相等； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋ (31－33)2]≈15.7， ×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋ (36－33)2]≈12.7， ∵>，∴乙运动员的发挥比甲更稳定. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(2024·新课标全国Ⅱ)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是 A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A， 根据频数分布表可知， 6＋12＋18＝36<50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg， 故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34， 所以低于1 100 kg的稻田占比为×100%＝66%，故B错误； 对于C，因为1 200－900＝300，1 150－950＝200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得， 平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋ 10×1 175)＝1 067，故D错误. 解析 7.某班级准备利用暑假进行研学旅行.为了便于识别，该班级准备定做一批容量一致的双肩包.为此，班级负责人征求班内同学的意向，得到如下数据，为了照顾到绝大多数人的需求，则应该定做双肩包的容量为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 容量 23 25 27 29 31 33 频数 3 4 5 26 3 2 29 由题知，容量为29的双肩包的频数为26，大于其他容量的频数， 所以为了照顾到绝大多数人的需求，应该定做双肩包的容量为29. 解析 8.某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如表： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 班级 平均分 众数 中位数 标准差 甲班 79 70 87 19.8 乙班 79 70 79 5.2 根据上述表格，对比甲、乙两班的成绩，对甲班提出的教学建议是_____ ___________________________，对乙班提出的教学建议是____________ _______________________.  对学 习有困难的同学多给一些帮助 采取措施 提高优秀率(答案不唯一) 甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助； 乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下： 甲群：23，23，24，25，25，25，25，26，27，27； 乙群：18，53，54，54，55，55，56，56，56，17. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲群市民年龄的平均数为 ＝25(岁)， 中位数为25岁，众数为25岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. 解 (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 乙群市民年龄的平均数为＝47.4(岁)， 中位数为54.5岁，众数为56岁. 由于乙群市民大多数是老年人，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差. 解 10.在一次科技知识竞赛中，甲、乙两组学生的成绩如表： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是80分.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数看，甲组成绩较好. (2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩较好. (3)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－ 80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172. ×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2 ＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为<，所以甲组成绩比乙组成绩稳定，从这一角度看，甲组成绩较好. (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩分布在高分段的人数较多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6，从这一角度看，乙组成绩较好. 解 分数 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 1     3 4 30 11.(多选)某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.众数 B.中位数 C.方差 D.平均数 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 这组数据中成绩为46，47的人数和为50－(1＋2＋1＋3＋4＋30)＝9，则这组数据中出现次数最多的数是50，即众数是50， 第25，26个数据都是50，则中位数为50， 即这组数据中中位数，众数不变，平均数，方差均与具体数据有关， 故中位数，众数与被遮盖的数据无关. 解析 12.(多选)若数据x1，x2，…，x10的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是 A.数据4x1＋1，4x2＋1，…，4x10＋1的平均数为13 B. xi＝20 C.数据3x1，3x2，…，3x10的方差为36 D.＝230 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依题意，xi＝3，＝4， (4xi＋1)＝(4xi＋10)＝4×3＋1＝13，故A正确； 由xi＝3，可得xi＝3×10＝30，故B错误； 依题意，3xi＝(3xi)＝3×3＝9， 所以数据3x1，3x2，…，3x10的方差为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9＝9×4＝36， 故C正确； 由－6xi＋9)＝－6xi＋90) ＝－9＝4， 解得＝130，故D错误. 解析 13.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取了30名学生参加环保知识测试，得分情况(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m1，众数为m2，平均数为，则 A.m1＝m2＝ B.m1＝m2< C.m1<m2< D.m2<m1< 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题图可知，得分的中位数为将30名学生的得分按从小到大的顺序排列后的第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，故m1＝5.5； 由于5出现的次数最多，故m2＝5； ×(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97， 所以m2<m1< . 解析 14.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩x∈[0，15]，且x∈N*，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为 A.15 B.13 C.11 D.10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 设该5名同学在此次比赛中所得的成绩分别为x1，x2，x3，x4，x5， 由题得(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝8，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝40， 且s2＝[(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＋(x5－8)2]＝4， 则(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＋(x5－8)2＝20. 不妨设x5最大， 对于A选项，若x5＝15，则(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＝－29不成立，故A错误； 对于B选项，若x5＝13，则(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＝－5不成立，故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于C选项，若x5＝11，则(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＝11， 则满足题意，例如5位同学的成绩可为5，7，8，9，11，故C正确； 对于D选项，若x5＝10，则x1＋x2＋x3＋x4＝30且(x1－8)2＋(x2－8)2＋(x3－8)2＋(x4－8)2＝16， 则－16(x1＋x2＋x3＋x4)＋4×82＝16⇒＝16(x1＋x2＋x3＋x4)－4×82＋16＝16×30－4×82＋16＝240， 则可得该方程组无正整数解，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.若某同学连续三次考试的名次(第一名为1，第二名为2，以此类推且可以有名次并列的情况)均不超过3，则称该同学为班级尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是 A.甲同学：平均数为2，中位数为2 B.乙同学：平均数为2，方差小于1 C.丙同学：中位数为2，众数为2 D.丁同学：众数为2，方差大于1 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又中位数为2，得出三次考试名次均不超过3，断定甲是尖子生；乙同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又方差小于1，得出三次考试名次均不超过3，断定乙是尖子生；丙同学名次数据的中位数为2，众数为2，说明三次考试中至少有两次名次为2，故丙可能是尖子生；丁同学名次数据的众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x＝1，2，3时，方差均小于1，故x>3，断定丁一定不是尖子生. 解析 第六章　统计 <<< $