6.4.2 分层随机抽样的均值与方差& 6.4.3百分位数课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦分层随机抽样的均值与方差、百分位数，通过甲班乙班成绩问题导入，引导学生从简单平均认知冲突过渡到加权平均理解，系统讲解公式及百分位数计算步骤，构建问题到概念的学习支架。 其亮点是结合身高调查、珍珠质量等实例落实数据分析与运算核心素养，通过通性通法总结分层方差计算步骤等结构化知识。学生能提升数据处理能力，教师可直接使用例题和检测题提高教学效率。

4.2　分层随机抽样的均值与方差 4.3　百分位数 新课程标准解读 核心素养 1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.掌握 分层随机抽样的均值与方差 数据分析 2.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位 数的统计含义 数据运算、数据 分析 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80 分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4. 【问题】　甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是 ＝81分 吗？方差是 ＝3吗？为什么？ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　分层随机抽样的均值与方差 1. 分层随机抽样的平均数 （1）一般地，将样本 a1， a2，…， am 和样本 b1， b2，…， bn 合并 成一个新样本，则这个新样本的平均数为 ＝ · ＋ · . 目录 数学·必修第一册（BSD） 于是，当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为 和 时，可得这个新样本的平均数为 ＋ . 记 w1＝ ， w2＝ ，则这个新样本的平均数为 　 w1 ，其中 w1， w2称为权重； w1 ＋ w2 　 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）设样本中不同层的平均数和相应权重分别为 ， ，…， 和 w1， w2，…， wn ，则这个样本的平均数为 　 w1 ＋ w2 .为了简化表示，引进求和符号，记作 ⁠ ＋ w2 ＋…＋ wn 　＝ wi . w1 ＋ w2 ＋…＋ wn 　 w1 ＋ w2 ＋…＋ wn 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为 ， ，…， ，方差分别为 ， ，…， ，相应的权重分别为 w1， w2，…， wn ，则这个样 本的方差为 s2＝ ，其中 为这个样本的平 均数. wi [ ＋（ － ）2] 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　百分位数 1. p 分位数 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数 p ∈（0，1），总 体的 p 分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数 ⁠ 它的可能性是 p . 小于或等 于　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 四分位数 ， ， 分位数是三个常用的百分位数.把总 体数据按照 排列后，这三个百分位数把总体数据分成 了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是 .因此这三个百分位 数也称为总体的四分位数. 25%　 50%　 75%　 从小到大　 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 计算 p 分位数的一般步骤 第1步，按照 排列原始数据； 第2步，计算 i ＝ ⁠； 第3步，若 i 不是整数，大于 i 的 整数为 j ，则 p 分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则 p 分位数为第 i 项与第（ i ＋1）项数据 的 ⁠. 【想一想】 1. 某班级人数为50，班主任老师说“90%的同学能够考取本科院 校”，这里的“90%”是百分位数吗？ 从小到大　 np 　 最小　 平均数　 提示：不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比. 2. “这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思？ 提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）50%分位数就是中位数. （　√　） （2）100个数据的80%分位数是85，那么这100个数据中一定有80 个数小于或等于85. （　×　） （3）按照定义可知， p 分位数可能不唯一，也正因为如此，各种 统计软件所得出的 p 分位数可能会有差异. （　√　） √ × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 下列关于 p 分位数的说法正确的是（　　） A. 数据1，2，2，3，5，6，6，7，8，8的40%分位数为4，75%分位 数为7 B. 50%分位数是总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C. p 分位数一定是这组数据中的一个数据 D. p 分位数适用于总体是离散型的数据 解析：　由百分位数的意义可知选项B、C、D错误. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2023年8月份调查 得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、 三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方 米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则 二线城市的房价的方差为 ⁠. 解析：设二线城市的房价的方差为 s2，由题意可知20＝ [ s2＋ （2.4－1.2）2]＋ [10＋（1.8－1.2）2]＋ [8＋（0.8－ 1.2）2]，解得 s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52. 118.52　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 分层随机抽样的均值与方差的计算 【例1】　（1）（多选）某分层随机抽样中，有关数据如下： 样本量 均值 方差 第1层 45 4 2 第2层 35 8 1 第3层 10 6 3 目录 数学·必修第一册（BSD） A. 第1，2层所有数据的均值为5.75 B. 第1，2层所有数据的方差为1.50 C. 第1，2，3层所有数据的均值约为7.68 D. 第1，2，3层所有数据的方差约为5.23 则下列叙述正确的是（结果保留两位小数）（　AD　） AD 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：第1，2层所有数据的均值为 ＝ ×4＋ ×8＝ 5.75，A正确；第1，2层所有数据的方差为 ＝ ×[2＋（4－ 5.75）2]＋ ×[1＋（8－5.75）2]＝5.5，B不正确；第1，2，3层 所有数据的均值约为 ＝ ×4＋ ×8＋ ×6≈5.78，C不正确；第 1，2，3层所有数据的方差约为 s2＝ ×[2＋（4－5.78）2]＋ ×[1 ＋（8－5.78）2]＋ ×[3＋（6－5.78）2]≈5.23，D正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万 元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入 为 万元. 解析： ＝ ×8＋ ×10＝9.2（万元）. 9.2　 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 分层随机抽样的平均数的计算方法 （1）第 i 层的权重 wi 、第 i 层的个体数 xi 、样本容量 n ，三者满足 wi ＝ ，已知其中2个可求另外1个； （2）利用公式 ＝ w1 ＋ w2 ＋…＋ wn 求分层随机抽样的平 均数. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 计算分层随机抽样的方差 s2的步骤 （1）确定 ， ，…， ， ， ，…， ， w1， w2，…， wn ； （2）确定 ； （3）应用公式 s2＝ wi [ ＋（ － ）2]计算 s2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 在对某中学高一年级学生身高（单位：cm）的调查中，采用分层随机 抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和 12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你 能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差 作出估计吗？ 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：把样本中男生的身高记为 x1， x2，…， x23，其平均数记为 ，方 差记为 ；把样本中女生的身高记为 y1， y2，…， y27，其平均数记为 ，方差记为 ，把样本的平均数记为 ，方差记为 s2. 则 ＝ ＝165.2， s2＝ ＝ ＝51.486 2， 即样本的方差为51.486 2. 因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 百分位数的计算 【例2】　从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它 们的质量（单位：g）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5， 8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. （1）分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数； 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝ 11.4， 则25%分位数是 ＝8.15， 75%分位数是 ＝8.75， 95%分位数是第12个数据9.9. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量； 解：因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15%分位数是 第2个数据7.9. 即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g，7.9 g. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）若用25%，50%，95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合 格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍 珠等级的划分标准. 解：由（1）可知珍珠质量的25%分位数是8.15 g，50%分位数 为8.5 g，95%分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍 珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格 品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大 于9.9 g的珍珠为特优品. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　计算百分位数时，可先将这组数据按从小到大的顺序排列，再根 据定义计算. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　某校年级组长为了解本校高三学生一模考试的数学成绩（单位： 分），随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示： 110 144 125 63 89 121 145 123 74 96 97 142 115 68 83 116 139 124 85 98 132 147 128 133 99 117 107 113 96 141 估计该校高三学生一模数学成绩的25%分位数为 分，50%分位数 为 分. 96　 115.5　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：把这30名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列，得63，68， 74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113，115， 116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142， 144，145，147.因为30×25%＝7.5，30×50%＝15，所以这30名学生 一模数学成绩的25%分位数为96分，50%分位数为 ＝115.5 （分）.据此可以估计本校高三学生一模数学成绩的25%分位数为96 分，50%分位数为115.5分. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 百分位数的应用 【例3】　某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该 市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部 分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按 0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. （1）求某户居民用电费用 y （单位：元）关于月用电量 x （单位：千 瓦时）的函数解析式； 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：当0≤ x ≤200时， y ＝0.5 x ； 当200＜ x ≤400时， y ＝0.5×200＋0.8×（ x －200）＝0.8 x －60； 当 x ＞400时， y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×（ x －400）＝ x －140. 所以 y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝ 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居 民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图. 若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%， 求 a ， b 的值； 解：由（1）可知，当 y ＝260时， x ＝400，即用电量不超过400 千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得 a ＝0.001 5， b ＝0.002 0. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）根据（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：设75%分位数为 m ， 因为用电量低于300千瓦时的所占比例为（0.001＋0.002＋ 0.003）×100＝60%， 用电量不超过400千瓦时的占80%， 所以75%分位数 m 在[300，400）内，所以0.6＋（ m －300） ×0.002＝0.75， 解得 m ＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 （变设问）根据本例（2）中求得的数据计算用电量的15%分位数. 解：设15%分位数为 x ， 因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100＝10%， 用电量不超过200千瓦时的占30%， 所以15%分位数 x 在[100，200）内，所以0.1＋（ x －100）×0.002＝ 0.15， 解得 x ＝125千瓦时，即用电量的15%分位数为125千瓦时. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率 分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再 应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄 和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90 分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了 x 人，按年龄分成5组 （第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35）， 第四组：[35，40），第五组：[40，45]），得到如图所示的频率分 布直方图，已知第一组有5人. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求 x ； 解：第一组频率为0.01×5＝0.05，所以 x ＝ ＝100. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）求抽取的 x 人的年龄的50%分位数（结果保留整数）； 解：由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35 岁的所占比例为70%，所以抽取的 x 人的年龄的50%分位数在 [30，35）内，由30＋5× ＝ ≈32（岁），所以抽取的 x 人的年龄的50%分位数为32岁. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98， 88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个 数据为依据，评价参赛人员对“中国梦”的伟大构想的认知程 度，并谈谈你的感想. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列： 88，90，92，92，95，96，96，97，98，99， 计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为 ＝91 （分）， 这10人成绩的平均数为 （88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97 ＋98＋99）＝94.3（分）. 评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高. 感想：略（结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 下列一组数据的25%分位数是（　　） 2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6 A. 3.2 B. 3.0 C. 4.4 D. 2.5 解析：　把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2， 3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由 i ＝10×25%＝2.5，不 是整数，则第3个数据3.2是该组数据的25%分位数. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 30 2 乙 20 3 其中 ＝ ，则甲、乙两个班数学成绩的方差为（　　） A. 2.2 B. 2.6 C. 2.5 D. 2.4 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由题意知，甲、乙两个班数学成绩的平均数为 ＝ ＝ ，则两个班数学成绩的方差为 s2＝ [2＋（ － ）2]＋ [3＋（ － ）2]＝ ＋ ＝2.4.故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. （多选）已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是 （　　） A. 这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平 均数 D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平 均数 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　易知选项A正确；当这100个数据均为9.3时，把这100 个数据从小到大排列后，9.3不一定是第75个数据，选项B判断错 误；把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的 平均数，则选项C判断正确，选项D判断错误.故选A、C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所 示.现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件 进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为 ；测试结果 为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小 时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿 命为 小时. 50　 1 015　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50 （件）.由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的 平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015（小 时）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $