第6章 §1 §2 第2课时 分层随机抽样（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦分层随机抽样，涵盖概念理解、适用情形、实施步骤及计算应用。导语通过简单随机抽样可能出现“极端”样本的问题导入，衔接前序知识，搭建从抽样局限性到改进方法的学习支架。 其亮点在于以问题情境驱动，结合社区驾驶员调查、工厂生产线抽样等实例，培养学生用数学眼光发现差异、用数学思维推理抽样逻辑、用数学语言表达数据关系的核心素养。课堂小结系统梳理知识清单与方法，助力学生掌握抽样本质，教师可高效开展分层教学。

第2课时 第六章　§1　获取数据的途径　§2　抽样的基本方法 <<< 分层随机抽样 1.理解分层随机抽样的基本思想和适用情形. 2.掌握分层随机抽样的必要性和实施步骤. 3.了解两种抽样方法的区别和联系. 学习目标 抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.例如，在对某中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 导 语 一、分层随机抽样概念的理解 二、分层随机抽样的计算 课时对点练 三、分层随机抽样的设计 内容索引 一 分层随机抽样概念的理解 提示　不可以直接使用简单随机抽样.因为男生身高和女生身高有较大差异.可以将男生和女生看作两个群体，分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本，即采用分层随机抽样的方法. n男＝×50≈23，n女＝×50≈27. 某中学高一年级共有712名学生，男生有326名，女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本，用简单随机抽样可以吗？为什么？如何去抽取比较合理？ 问题1 1.分层随机抽样的定义：将总体按其属性特征分成___________的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照___________随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样. 2.适用范围：如果总体是由___________的几类个体构成，并且知道每一类个体在总体中_____________，那么往往采用分层随机抽样. 互不交叉 所占比例 差异明显 所占的百分比 知识梳理 (1)分层随机抽样中的总体是由差异明显、互不重叠的几类个体构成. (2)在分层随机抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的. (3)每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到. (4)各层抽样可以按简单随机抽样进行. (5)分层随机抽样是不放回抽样. 注 意 点 <<< 8 (多选)下列问题中，适合用分层随机抽样抽取样本的是 A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某社区有500户家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户， 低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一 个容量为100的样本 C.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱 好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查 D.青岛啤酒厂质检员从生产流水线上抽取样本检查产品质量 √ 例 1 √ 9 A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样； D中总体所含个体无差异，不适合用分层随机抽样； BC中总体所含个体差异明显，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比，适合用分层随机抽样. 解析 10 是否利用分层随机抽样要紧扣两个条件 (1)必备条件：构成总体的几类个体差异明显，每类个体之间差异不大. (2)辅助条件：知道每一类个体在总体中所占的百分比. 反 思 感 悟 11 某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是 A.简单随机抽样 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.其他抽样方法 跟踪训练 1 √ 因为男、女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段选用分层随机抽样. 解析 12 二 分层随机抽样的计算 提示　分层随机抽样的步骤： 你能总结一下分层随机抽样的步骤吗？ 问题2 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 A.101 B.808 C.1 212 D.2 012 √ 例 2 因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12， 所以抽取驾驶员的抽样比为， 所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808. 解析 15 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 (1). (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. 反 思 感 悟 16 国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池.质检人员采用分层随机抽样的方法抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则低能量密度锂电池的总产量为 A.325个 B.300个 C.225个 D.175个 跟踪训练 2 √ 根据分层随机抽样可知，低能量密度锂电池的产量 为400×＝225(个). 解析 17 三 分层随机抽样的设计 (课本例5)某公司有1 000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者.要对该公司员工的具体收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样抽样比较合理？ 例 3 19 可以采用分层随机抽样的方法.按照该公司员工的收入水平分成三层：高收入者、中等收入者、低收入者.高收入者为50名，占所有员工的比 例为＝5%，为保证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收 入者所占的比例也应为5%，即100×5%＝5，所以应抽取5名高收入者比较合理.同理，抽取15名中等收入者、80名低收入者，再对他们的具体收入状况分别进行调查. 解 20 某政府机关在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人. 若上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取20人了解情况，应用何种方法抽取，请具体实施操作. 例 3 21 由于机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层随机抽样的方法为妥. 抽取过程如下： ①将在编人员按副处级以上干部、一般干部、工人分成三层； ②因为＝5，＝2，＝14，＝4，所以从副处级以上干部中抽取 2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人； ③由于副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1~10编号与1~20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00，01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人； ④将这20人合在一起，构成样本. 解 22 分层随机抽样设计方案的步骤 (1)观察特征，确定抽样方法. (2)分层求比例，确定各层样本数. (3)从各层抽取样本，按比例抽取，当抽样比例不是整数时，可在该层随机剔除部分个体. 反 思 感 悟 23 一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5 ∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程. 跟踪训练 3 24 因为疾病与地理位置和水土均有关系， 所以不同乡镇的发病情况差异明显， 因而采用分层随机抽样的方法.具体过程如下： ①将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层； ②按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，40，60； ③按照各层抽取的人数用简单随机抽样抽取各乡镇应抽取的样本； ④将300人合到一起，即得到一个样本. 解 25 1.知识清单： (1)分层随机抽样的概念及适用情形. (2)分层随机抽样中抽样比及各层所抽个体数量的计算. (3)分层随机抽样的设计与应用. 2.方法归纳：数学分析. 3.常见误区：计算错误导致各层抽样数量错误. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C BC D D A B 题号 7 8 9 11 12 13 答案 AC 6 10 B C 200，20 题号 14 答案 120 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)分层随机抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的， 所以有，解得x＝18，，解得y＝2.故x＝18，y＝2. (2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下： 第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36； 第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签； 第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号； 第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本. 基础巩固 1.分层随机抽样即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行 A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 为了保证每个个体被等可能抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取. 解析 2.(多选)下列问题中，适合用分层随机抽样方法抽样的是 A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40.有一次报告会 坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B.某校有在校高中生共1 600人，其中高一年级学生520人，高二年级学 生500人，高三年级学生580人.已知不同年级学生的消费情况有明显差 别，要抽查其中的80人来调查学生的消费情况 C.某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩， 现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量 D.某工厂从甲车间生产的50个零件中抽取5个做质量检验 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A中所含个体无明显差异，不宜采用分层随机抽样的方法； B中总体容量较大，且各层差异明显，宜采用分层随机抽样； C中总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层随机抽样； D中总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便. 解析 3.从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选 取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是， 则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是 A. B. C. D. √ 因为当采取简单随机抽样方法抽取样本时每个个体被抽到的可能性是， 所以选取分层随机抽样的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的 可能性仍为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于 A.9 B.10 C.12 D.13 由分层随机抽样可得， 解得n＝13. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 5.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数 是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300，现在按的抽 样比用分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为 A.8 B.11 C.16 D.10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋300＝3 500，解得x＝1 600，故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8. 解析 6.某高中在有120名成员的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数进行分层随机抽样，则高一年级应抽取6人，若按性别进行分层随机抽样，则女生应抽取15人，则下列结论错误的是 A.样本容量是24 B.120名社团成员中男生有50人 C.高二与高三年级的社团成员共有90人 D.高一年级的社团成员中女生最多有30人 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由样本容量的定义知样本容量为24，A正确； 女生共有×120＝75(人)，男生有120－75＝45(人)，B错误； 高一年级的社团成员有×120＝30(人)，高二与高三年级的社团成员 共有120－30＝90(人)，C正确； 由C项知高一年级的社团成员共有30人，则高一年级的社团成员中女生最多有30人，D正确. 解析 7.(多选)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个. 方法2：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法正确的是 A.不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是 B.采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C.在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征 D.在上述两种抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体特征 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能 性都相等，都是，故A正确，B错误. 由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，C正确，D错误. 解析 8.某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4，抽取的样本中高一学生为120人，则k的值为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 由题意可得，，解得k＝6. 解析 9.古代科举制度始于隋而成于唐，完善于宋、元.明代则处于其发展的鼎盛阶段.其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷，按比例录取，其录取比例为11∶7∶2.若明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意知，明宣德五年会试录取人数为100， 则中卷录取人数为100×＝10. 解析 10 10.为了对某课题进行讨论研究，用分层随机抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见右表(单位：人). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高校 相关人数 抽取人数 A x 1 B 36 y C 54 3 (1)求x，y； 分层随机抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有，解得x＝18，，解得y＝2.故x＝18，y＝2. 解 (2)若从高校B相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样法？请写出合理的抽样过程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高校 相关人数 抽取人数 A x 1 B 36 y C 54 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下： 第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36； 第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签； 第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号； 第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.分层随机抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是 A.甲应付51钱 B.乙应付32钱 C.丙应付16钱 D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意，由分层随机抽样知识可知，100÷(560＋350＋180)＝， 则甲应付×560＝51(钱)； 乙应付×350＝32(钱)； 丙应付×180＝16(钱). 解析 12.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1 000名患者的相关信息，得到如下表格： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 潜伏期 (单位：天) [0，2] (2，4] (4，6] (6，8] (8，10] (10，12] (12，14] 人数 85 205 310 250 130 15 5 已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层随机抽样，若从上述1 000名患者中抽取200人，得到如下表格. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14   潜伏期≤6天 潜伏期>6天 合计 50岁以上 (含50岁) ① ② 100 50岁以下 55 ③ 100 则表格中的位置分别应填入的数字是 A.①35；②65；③45 B.①45；②45；③45 C.①65；②35；③45 D.①70；②30；③45 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由分层随机抽样可知，从上述1 000名患者中抽取200人， 其中潜伏期≤6天抽取的人数为200×＝120， 所以①处应填的数字为120－55＝65， ②处应填的数字为100－65＝35， ③处应填的数字为100－55＝45. 解析 13.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20. 解析 样本容量和抽取的高中生近视人数分别为　　　　　.  200，20 14.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从9~10岁，11~12岁，13~14岁，15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份， x份.因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层随机抽取容量为300的样本，其中在11~12岁学生问卷中抽取60份，则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 120 从11~12岁学生中回收的问卷为180份，其中在11~12岁学生问卷中抽取 60份，则抽样比为. 因为从回收的问卷中按年龄段分层随机抽取容量为300的样本， 所以从9~10岁，11~12岁，13~14岁，15~16岁四个年龄段回收的问卷总 数为＝900(份)， 则从15~16岁学生中回收的问卷份数x＝900－120－180－240＝360.所以 在15~16岁学生中抽取的问卷份数为360×＝120. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第六章　§1　获取数据的途径　§2　抽样的基本方法 <<< $