第6章 4.2 分层随机抽样的均值与方差 4.3 百分位数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦分层随机抽样的均值与方差、百分位数核心知识点，承接前期随机抽样与数据描述内容，通过问题情境引入公式推导，结合实例应用，为统计分析提供方法支架。 以居民用水标准、餐馆好评率等现实问题驱动，培养数学眼光，通过公式推导与例题计算发展数学思维，用数据表格强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后跟踪训练与对点练帮助学生巩固，查漏补缺。

4.2　分层随机抽样的均值与方差　4.3　百分位数 学习目标　1.理解分层随机抽样的平均数与方差公式的推导过程，会求分层随机抽样的平均数与方差.2.理解百分位数的统计含义，会求样本数据的p分位数. 导语 前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据前面100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？ 一、分层随机抽样的平均数 问题1　在甲省和乙省各取面积大小一样的A，B两块区域，分别调查人均可支配收入，获得数据显示，甲省的A区域的人均可支配收入为35 537元，乙省的B区域的人均可支配收入为24 542元.能否得到这两个区域的人均可支配收入为＝30 039.5(元)？这样计算平均数的方法是否合理？ 提示　不能.假设甲省A区域人口有10万，乙省B区域人口有2万，则人均可支配收入为＝33 704.5(元)，显然两区域的人均可支配收入还与A，B两区域各自的人口数有关，故不合理. 问题2　对于问题1中的问题，假设甲省A区域人口数为n1，乙省B区域人口数为n2，则两区域的人均可支配收入如何计算？各自的人口数有何影响？ 提示　×35 537＋×24 542，各自人口数的占比影响了两区域的人均可支配收入. 知识梳理　分层随机抽样的平均数 (1)一般地，将样本a1，a2，…，am和样本b1，b2，…，bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为··. 于是，当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为和时，可得这个新样本的平均数为.记w1＝，w2＝，则这个新样本的平均数为w1＋w2，其中w1，w2称为权重. (2)设样本中不同层的平均数和相应权重分别为，，…，和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w1＋w2＋…＋wn.为了简化表示，引进求和符号，记作w1＋w2＋…＋wnwi. 注意点： 求分层随机抽样的平均数的步骤为 (1)求样本中不同层的平均数. (2)应用分层随机抽样的平均数公式计算. 例1　(课本例5)甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭.他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？ 解　好评率是由好评人数除以总评价人数得到的.98%的好评率意味着如果有100人评价，那么其中98人给了好评. 设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1； 在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.由题目条件，＝98%，＝85%.综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为，化简得 ＝0.98·＋0.85·. 其中，和分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其权重乘积的和. 所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率. 由以上分析可知，当且仅当n1＝n2时，总好评率等于＝91.5%. 例1　在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用分层随机抽样的方法，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数为170.6，抽取了女生27人，其平均数为160.6.你能根据这些数据计算出总样本的平均数，并对高一年级全体学生的身高作出估计吗？ 解　把男生样本记为x1，x2，…，x23，其平均数记为；把女生样本记为y1，y2，…，y27，其平均数记为；把总样本数据的平均数记为. 因为＝170.6，＝160.6， 所以总样本的平均数 ＝＝165.2. 故总样本平均数为165.2，据此估计高一年级全体学生身高的平均数为165.2. 反思感悟　分层随机抽样的平均数的计算方法 (1)第i层的权重wi、第i层的个体数xi、样本容量n，三者满足wi＝，已知其中2个可求另外1个. (2)在利用公式＝w1＋w2＋…＋wn求分层随机抽样的平均数时，要清楚公式中各符号的含义，避免代入数据时出现失误，同时要仔细运算，按照要求保留有效小数. 跟踪训练1　某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民的熬夜时间，得到如下表格： 年龄区间 居民人数 (单位：百人) 所占比例 平均熬夜时长 (单位：h) [20，30) 3.6 30% 4 [30，40) 6 b 2 [40，50] a c 1 其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长. 解　由表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h). 二、分层随机抽样的方差 问题3　甲、乙两排参加了同一军事测试，其中甲排50人，乙排40人.甲排的平均成绩为80.5分，方差为500；乙排的平均成绩为85分，方差为360.如何计算甲、乙两排全部90名战士的方差？ 提示　先分别求出甲、乙两排的权重w甲与w乙，然后利用公式＝w甲＋w乙， s2＝w甲[＋()2]＋w乙[＋()2]计算. 知识梳理　分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为，，…，，方差分别为，，…，，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝wi[＋()2]，其中为这个样本的平均数. 注意点： 求分层随机抽样的方差的步骤 (1)求样本中不同层的平均数. (2)求样本中不同层的方差. (3)应用分层随机抽样的方差公式计算. 例2　(课本例6)甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？ 解　设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为 ＝80.5(分)，w甲＝， ＝ ＝500. 设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为 ＝85(分)，w乙＝， ＝ ＝360. 如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为 ＝w甲＋w乙×80.5＋×85 ＝82.5(分). 而全部90名学生的方差可以用式子 s2＝w甲[＋()2]＋w乙[＋()2] ① 进行计算.因此， s2＝w甲[＋()2]＋w乙[＋()2] ＝×[500＋(80.5－82.5)2]＋×[360＋(85－82.5)2] ＝ ≈442.78. 例2　甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 解　由题意可知＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为w甲＝， ＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为w乙＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝w甲＋w乙×60＋×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝w甲[＋()2]＋w乙[＋()2] ＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296. 反思感悟　利用样本中不同层的平均数与方差，可以计算这个样本的平均数与方差，所得结果与直接计算所得的平均数与方差相同. 跟踪训练2　某工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本.抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差.(结果保留两位小数) 解　由题意知样本甲的平均数＝5， 方差＝1，样本乙的平均数＝6， 方差＝2， 则合在一起后的样本容量为22， w甲＝，w乙＝， 样本平均数为 ＝w甲＋w乙×5＋×6≈5.55， 样本方差为 s2＝w甲[＋()2]＋w乙[＋()2] ≈×[1＋(5－5.55)2]＋×[2＋(6－5.55)2] ≈1.79. 三、百分位数 问题4　我们在根据某种统计结果下结论时，经常要用到某个百分数，例如我们经常说，这次数学考试有90%的同学在85分以上，再例如去年冬天我们市的雾霾天气已经减少到5%以下，那么这里的90%和5%在统计学中是什么意思呢？ 提示　“这次数学考试有90%的同学在85分以上”的意思是高于85分的同学占整个班级人数的90%，“去年冬天我们市的雾霾天气已经减少到5%以下”的意思是去年冬天雾霾天气占整个冬天天数的比例不到5%. 知识梳理　百分位数 (1)总体的p分位数的概念： 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. (2)四分位数： 25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数.把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是.因此这三个百分位数也称为总体的四分位数. (3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下： 第一步，按照从小到大排列原始数据； 第二步，计算i＝np； 第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 注意点： (1)中位数相当于是50%分位数.除了中位数外，常用的百分位数还有25%分位数，75%分位数. (2)百分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息. (3)百分位数不一定是数据中的数. 例3　某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下： 男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，49，56，75，35，58，94，52； 女：77，55，69，58，76，70，77，89，55，52，63，63，69，83，83，65，100，74. (1)分别计算男、女生得分的平均数和标准差； (2)分别计算男、女生得分的四分位数. 解　(1)男生得分的平均数是×(54＋70＋57＋…＋52)＝61(分). 男生得分的方差是×[(54－61)2＋(70－61)2＋…＋(52－61)2]＝249. ∴s1≈15.8. 女生得分的平均数是×(77＋55＋69＋…＋74)＝71(分). 女生得分的方差是×[(77－71)2＋(55－71)2＋…＋(74－71)2]≈154.11， ∴s2≈12.4. (2)男生得分的数据从小到大排序为： 35，38，46，46，49，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94. 20×25%＝5，故25%分位数为＝50.5， 20×50%＝10，故50%分位数为＝57.5， 20×75%＝15，故75%分位数为＝71.5. 女生得分的数据从小到大排序为： 52，55，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100. 18×25%＝4.5，故25%分位数为63， 18×50%＝9，故50%分位数为＝69.5， 18×75%＝13.5，故75%分位数为77. 综上，男、女生得分的四分位数分别为： 25%分位数 50%分位数 75%分位数 男生 50.5 57.5 71.5 女生 63 69.5 77 反思感悟　求百分位数时的注意点 (1)一定要将数据按照从小到大的顺序排列； (2)一定要确定i＝np的结果是否为整数. 跟踪训练3　已知甲、乙两组数据(按从小到大的顺序排列)如下： 甲组：27，28，39，40，m，50； 乙组：24，n，34，43，48，52. 若这两组数据的30%分位数、80%分位数分别相等，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为30%×6＝1.8，80%×6＝4.8，所以这两组数据的30%分位数为n＝28，80%分位数为m＝48，所以. 1.知识清单： (1)分层随机抽样的平均数与方差. (2)百分位数. 2.方法归纳：数据分析. 3.常见误区：求百分位数时，未排序导致错误. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.有两种糖块，A种糖块18元/千克，B种糖块24元/千克，超市计划把A，B两种糖块按照1∶2的比例混合出售，则合理的价格应为(　　) A.18元/千克 B.24元/千克 C.21元/千克 D.22元/千克 答案　D 解析　×18＋×24＝22(元/千克). 2.已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的25%分位数和80%分位数分别是(　　) A.125，128 B.124，128 C.125，129 D.125，128.5 答案　D 解析　把这15个数据按从小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知数据的25%分位数为第4项数据，为125，80%分位数为第12项与第13项数据的平均数，即×(128＋129)＝128.5. 3.现有甲、乙两组数据.甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为(　　) A.4.76 B.4.52 C.4.2 D.3.8 答案　A 解析　设甲、乙两组平均数分别为，，方差分别为，，两组数据混合成一组的平均数为，方差为s2，则＝3，＝5，＝5，＝3， 则＝0.4×3＋0.6×5＝4.2， s2＝]＋]＝0.4×(5＋1.44)＋0.6×(3＋0.64)＝4.76. 4.从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)， 152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的90%分位数是173，则x的值为(　　) A.171 B.172 C.173 D.174 答案　B 解析　因为20×90%＝18，所以90%分位数是第18项和第19项数据的平均数，即(x＋174)＝173， 所以x＝172. 5.(多选)某学校高一年级在校人数为600，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取80名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，方差为2.1；抽取70名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，方差为3.则(　　) A.该校高一学生的平均身高约为166.4 cm B.该校高一学生的平均身高约为168.2 cm C.该校高一学生身高的方差约为2.5 D.该校高一学生身高的方差约为19.3 答案　AD 解析　设样本中男、女生身高的平均数分别为，， 由题意可知，＝170.2 cm，＝162.0 cm，且m＝80，n＝70， 所以样本平均数×170.2＋×162.0≈166.4(cm)， 样本方差s2＝×[2.1＋(170.2－166.4)2]＋×[3＋(162.0－166.4)2]≈19.3， 故该校高一学生的平均身高约为166.4 cm，方差约为19.3. 6.一班学生有54人，二班学生人数未知，现用分层随机抽样的方法从一班和二班抽出16人参加数学竞赛，赛后统计得知这16名学生成绩的平均数为87，一班学生成绩的平均数是80，二班学生成绩的平均数是96，则二班学生的人数为(　　) A.54 B.42 C.48 D.56 答案　B 解析　由题意，设这16名学生中一班学生的占比为w1，则80w1＋96(1－w1)＝87， 解得w1＝， 则这16名学生中二班学生的占比为1－， 故二班学生的人数为54×＝42. 7.(5分)已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是　　　　.  答案　8.6 解析　由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6. 8.(5分)利用分层随机抽样抽得A，B两组数据，其平均数分别是＝2.3，＝2.8，这两组数据合在一起后的平均数＝2.4，则A组数据在两组数据中的权重wA＝　　　　.  答案　 解析　由＝wA＋wB和wA＋wB＝1，可得2.4＝wA×2.3＋(1－wA)×2.8，解得wA＝. 9.(10分)某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如表所示： 组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组 80 6 求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差. 解　根据题意，全班平均成绩 ＝90×＋80×＝85， 第一组的平均数＝90，方差为＝16. 第二组的平均数＝80，方差为＝36. 则该班学生的方差为 s2＝×[＋()2]＋×[＋()2] ＝×[16＋(90－85)2]＋×[36＋(80－85)2] ＝51. 所以s＝. 综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和. 10.(12分)省教育厅为了了解和掌握2023年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表： 分组 频数 频率 [80，85) 1 0.01 [85，90) 2 0.02 [90，95) 4 0.04 [95，100) 14 0.14 [100，105) 24 0.24 [105，110) 15 0.15 [110，115) 12 0.12 [115，120) 9 0.09 [120，125) 11 0.11 [125，130) 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1 (1)求样本数据的60%，80%分位数；(6分) (2)估计2023年高考考生的数学成绩的90%分位数.(6分) 解　从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60， 前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72， 前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81， 前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92. (1)由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60%分位数为110，样本数据的80%分位数一定在第八组[115，120)内，由115＋5×≈119.4，估计样本数据的80%分位数为119.4. (2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90%分位数一定在第九组[120，125)内，由120＋5×≈124.1，估计2023年高考考生的数学成绩的90%分位数为124.1. 11.(多选)为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的答题成绩(满分100分)，按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据： 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法正确的是(　　) A.男生样本数据的25%分位数是86 B.男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数 C.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 答案　ABC 解析　对于A，10×25%＝2.5，所以男生样本数据的25%分位数是86，故A正确； 对于B，男生样本数据的中位数为＝89，男生样本数据的众数为90，故B正确； 对于C，女生样本数据的平均数为×(82＋84＋85＋87×3＋88×2＋90＋92)＝87， 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为×(84＋85＋87×3＋88×2＋90)＝87，故C正确； 对于D，女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，但是极差变小，所以方差变小，故D错误. 12.(多选)为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)，分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的80%分位数与60%分位数的差为3，则x的值可能为(　　) A.58 B.59 C.62 D.64 答案　AD 解析　将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79，7×80%＝5.6，7×60%＝4.2， 若x≤57，则这组数据的80%分位数与60%分位数分别为61和57，它们的差为4，不符合条件； 若x≥79，则这组数据的80%分位数与60%分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件； 若57<x<79，则这组数据的80%分位数与60%分位数分别为x和61(或61和x)， 则|x－61|＝3，解得x＝58或x＝64. 13.(5分)某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学的成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的25%分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是　　　　(写出一个满足条件的值即可).  答案　7(填7，8，9，10中任意一个均可) 解析　7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，剩余数据从小到大排列为6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25＝1.75，故25%分位数为第二个数，即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m的25%分位数为7，而8×0.25＝2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10. 14.(5分)某地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组的人数之比为3∶2∶1，在一次统一考试中，所有学生成绩的平均分为117，方差为21.5.已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生成绩的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校学生成绩的方差是　　　　.  答案　12 解析　由题意可得，甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组的学生在所有学生中所占权重分别为，，. 记甲学校的数学强基小组学生成绩的平均分为＝118，方差为＝15； 记乙学校的数学强基小组学生成绩的平均分为＝114，方差为＝21； 设丙学校的数学强基小组学生成绩的平均分为，方差为； 记所有学生成绩的平均分为＝117，方差为s2＝21.5. 根据分层随机抽样的平均数公式， 可得， 即117＝×118＋×114＋，解得＝120， 因此s2＝＋()2]＋＋()2]＋＋()2]， 即21.5＝×[15＋(118－117)2]＋×[21＋(114－117)2]＋×[＋(120－117)2]，解得＝12. 15.(5分)某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图： (1)估计这批小龙虾的重量的10%分位数与90%分位数分别是　　　　.  (2)若该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表： 等级 三等品 二等品 一等品 重量(克) [5，25) [25，45) [45，55] 则这批小龙虾划分为　　　　等品比较合理.  答案　(1)10，45　(2)二 解析　(1)因为40×10%＝4，所以10%分位数为第4项与第5项的平均数， 在[5，15)范围内，约为＝10， 因为40×90%＝36， 所以90%分位数为第36项与第37项的平均数， 在[35，55]范围内，约为＝45， 所以估计这批小龙虾的重量的10%分位数为10，90%分位数为45. (2)这批小龙虾的重量在[25，45)范围内的最多，且平均重量为28.5克， 所以划分为二等品比较合理. 学科网（北京）股份有限公司 $