第5章 §2 实际问题中的函数模型（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦实际问题中的函数模型应用，涵盖已知模型求解、自建模型及拟合模型步骤，通过“如何选择函数模型刻画现实问题”的导语，引导学生联系一次、二次、指数等已有模型，搭建知识衔接支架。 其亮点在于以丰富实例（如电信收费卡比较、鞋码脚长关系）贯穿教学，结合数学眼光观察现实、数学思维分析问题、数学语言表达模型，如沙漠治理问题培养建模逻辑，数据拟合训练提升分析能力。学生能发展应用意识，教师可高效开展情境化教学。

第五章　函数应用 <<< §2 实际问题中的函数模型 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能自建确定性函数模型解决实际问题. 3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性. 学习目标 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实验问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 导 语 一、实际问题的函数刻画 二、用函数模型解决实际问题 课时对点练 内容索引 实际问题的函数刻画 一 你能写出几种函数模型？ 问题1 提示　 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 应用函数模型解决问题的基本过程是什么？ 问题2 提示　(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模——求解数学模型，得出数学模型. (4)还原——将数学结论还原为实际问题. 实际问题的函数刻画 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型. 知识梳理 世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式. 注 意 点 <<< 9 (课本例1)某公司设计了一种新型的几何模板.经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的的合适售价是190元.另外，还投入了15万元用于研发.显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益.当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？(销售、仓储及维护等环节成本忽略不计) 例 1 10 (1)首先看这个问题涉及的几个因素： ①生产总成本(记作C元)与产量及单件产品的直接成本、研发费用有关系； ②销售总收入(记作R元)与销售量及销售单价有关系； ③总收益(记作L元)与生产总成本及销售总收入有关系. 其中，销售单价、单价产品的直接成本和研发费用都是定量；当产品畅销时，销售量等于产量，产量是变量，可以设为x件. (2)再来看上述各因素之间满足的关系： ①生产总成本C与产量x的关系为C＝150 000＋130x； ②销售总收入R与产量x的关系为R＝190x； 解 11 ③总收益L与产量x的关系为 L＝R－C＝60x－150 000(x≥0). L关于x的函数图象如图. 从图中清晰可见：产量2 500件是关键点， 若x<2 500，则要亏损； 若x＝2 500，则总收益为0； 若x>2 500，则可盈利. 解 12 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示. (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； 例 1 13 由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)， 把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x， 得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0). 解 14 (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜. 解 15 建立模拟函数解应用题的一般步骤 (1)作图：根据已知数据作出散点图. (2)选择函数模型：根据散点图，结合函数图象的形状，找出比较接近的函数模型. (3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式. (4)利用所求得的函数模型解决问题. 反 思 感 悟 16 (课本例2)网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表(如表)，第一行是脚长(新鞋码，单位：mm)，第二行是我们习惯称呼的“鞋号(旧鞋码，单位：号)”. 跟踪训练 1 脚长/mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 鞋号/号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 (1)求鞋号关于脚长的函数模型. 17 观察题表，设脚长(新鞋码)、鞋号(旧鞋码)分别为x，y，将每一对数x，y对应的数对(x，y)用平面直角坐标系的点来表示(如图). 可以看出，这些点在一条直线上， 不妨将这条直线表示为y＝kx＋b， 利用表中的任意两组数， 得k＝0.2，b＝－10.因此y＝0.2x－10. 这就是鞋号关于脚长的函数模型. 解 18 (2)如果看到一款“30号”的女童鞋，知道对应的脚长是多少吗？ 脚长/mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 鞋号/号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 当y＝30时，x＝200，即能穿30号鞋的女童的脚长不超过200 mm. 解 (3)一名脚长为262 mm的女篮球运动员，又该穿多大号的鞋呢？ 当x＝262时，y＝42.4，即脚长为262 mm的女篮球运动员应穿43号的鞋. 解 19 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 跟踪训练 1 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 所获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 所获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). 20 由表可知A种商品符合二次函数模型，B种商品符合一次函数模型. 设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)； 一次函数的解析式为y＝bx. 把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)， 得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.经检验，前六个月符合所求函数关系式. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示. 解 21 把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，经检验，前六个月符合所求函数关系式. 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示. 令下月投资A，B两种商品的金额分别为xA万元、xB万元，所获纯总利润为W万元，得 W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，其中xA＋xB＝12. 则W＝－0.15＋0.15×＋2.6(0≤xA≤12). 解 22 则当xA＝≈3.2时，W取得最大值， 0.15×＋2.6≈4.1(万元)， 此时xB≈12－3.2＝8.8(万元). 即投资A种商品3.2万元，投资B种商品8.8万元时，下月可获得最大纯利润为4.1万元. 解 23 二 用函数模型解决实际问题 用函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型. (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)求模：求解数学模型，得到数学结论. (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中. 可将这些步骤用框图表示如下： (1)注意实际问题中的限制条件. (2)注意解题步骤的规范性和完整性. 注 意 点 <<< 27 (课本例5)要建造一段5 000 m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2 000 m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3 000m的硬土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人·天和30人·天.问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 例 2 28 设在软土地带工作的人数为x人， 则在硬土地带工作的人数为(600－x)人. 根据题意，在软土地带筑路时间为f(x)＝， 在硬土地带筑路时间为g(x)＝， 其中x∈(0，600)，x∈N＋. 因为函数f(x)在区间(0，600)上是减函数，函数g(x)在区间(0，600)上是 增函数，所以全队筑路工期为t(x)＝ 由f(x0)＝g(x0)，即， 解 29 得x0＝. 从而t(x)＝且x∈N＋. 因为函数t(x)在区间(0，x0]上递减，在区间[x0，600)上递增，所以x0是 函数t(x)的最小值点.但≈315.8不是整数，于是计算t(315)和t(316)， 其中较小者即为所求. 经计算，t(315)≈317.46，t(316)≈316.90. 于是，当安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短. 解 30 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售 价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数).日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示： 例 2 x(天) 10 20 25 30 Q(x)(件) 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121百元. (1)求k的值； 31 依题意知第10天的日销售收入为 P(10)·Q(10)＝×110＝121， 解得k＝1. 解 32 (2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x) ＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式； x(天) 10 20 25 30 Q(x)(件) 110 120 125 120 33 由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b. 从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋). 解 34 (3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值. x(天) 10 20 25 30 Q(x)(件) 110 120 125 120 35 由(2)知Q(x)＝125－|x－25| ＝ 所以f(x)＝P(x)·Q(x)＝ 当1≤x<25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上单调递增， 所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121； 解 36 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数， 所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值， 且f(x)min＝121. 从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元. 解 37 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么” (1)求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. (2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. (3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. (4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人数是整数，时间是正数等. 反 思 感 悟 38 (课本例6)某公司每年需要某种计算机元件8 000个，每次购买元件需手续费500元，每个元件的库存费是每年2元.若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，8 000个元件的库存费也不少.若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加.现在需要确定：每年进货几次最经济(总费用最少)？ 跟踪训练 2 39 首先要做一些假设： (1)每天需同样多的元件；(2)其他费用可以作为常数看待. 将8 000个元件所需的总费用记为F元，一年总库存费记为E元，购买元件总手续费记为H元，其他费用记为C元(C为常数)，则F＝E＋H＋C. 若每年平均进货n次(n∈N＋)，则每次的进货量为q＝个. 假设用完q个元件的时间为 年，在[0，]内，t时刻的库存量为V(t)， 满足V(t)＝kt＋b(0≤t≤)，V(0)＝q，V()＝0. 解得V(t)＝－8 000t＋q(0≤t≤). 解 40 如图，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的总 和，相当于在年内每一时刻需支付库存费的库存量均为 (个). 在年内，每个元件的库存费为元， 则个元件的库存费为·(元)， 一年总库存费为E＝n·(元). 解 41 另外，H＝500n元，所以 F＝E＋H＋C＝＋500n＋C(n∈N＋). 由基本不等式， 得F≥2＋C＝4 000＋C. 当且仅当＝500n，即n＝4时，上面的不等式取等号， 此时总费用最少，故每年进货4次最经济. 解 42 某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1).当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间. (1)求x的值； 跟踪训练 2 由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0<x<1)， 则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝， 解得x＝1－. 解 43 (2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？ 设从今年开始，还需治理n年， 则n年后剩余面积为a(1－x)n， 令a(1－x)n≤a，即(1－x)n≤， ≤，≥，解得n≥15， 故至少还需治理15年. 解 44 1.知识清单： (1)实际问题的函数刻画. (2)用函数模型解决实际问题. (3)数据拟合与函数建模的优劣. 2.方法归纳：数学建模. 3.常见误区：实际问题中一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，最后要将数学问题还原为实际问题. 课堂小结 课时对点练 三 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B D D D B 题号 7 8 9 10 答案 ABD BD 7 2ln 2　1 024 11. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)设每年“平改坡”的百分比为x(0<x<1)， 则a(1－x)10＝a，即1－x＝， 解得x＝1－≈0.067 0＝6.70%. (2)设到今年为止，该工程已经进行了n年， 则a(1－x)n＝a，即，解得n＝5， 所以到今年为止，该工程已经进行了5年. 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)由图象可知，当0≤t≤20时，每件销售价格P与时间t的关系为一次函数.设P＝at＋b， 则解得 所以P＝t＋30，0≤t≤20. 当20<t≤30时，P＝50. 所以，每件销售价格P与时间t的函数解析式为 P＝t∈N＋. 12. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)日销售量Q与时间t的一个函数解析式为Q＝－t＋40，0≤t≤30，t∈N＋. (3)设日销售金额为y， 则y＝t∈N＋， 当0≤t≤20时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225， 当t＝5时，ymax＝1 225； 当20<t≤30时，500≤y<1 000. 综上可知，当t＝5时，ymax＝1 225， 即第五天日销售金额最大.　　 一、单项选择题 1.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意可知函数模型为指数型函数，故选D. 解析 √ 2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 时间 1 2 3 4 利润 (千元) 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的 A.y＝log2x B.y＝2x C.y＝x2 D.y＝2x √ 3.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)满足x∈[5，15]时，每天售出该鲜花支数p(x)＝，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为 A.9元 B.11元 C.13元 D.15元 √ 设每天的利润为y元，则y＝(x－5)×＝500×，5≤x≤15， 显然此函数在[5，15]上单调递增， 故当x＝15时，y取得最大值. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2021年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A.2022年 B.2023年 C.2024年 D.2025年 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 设第x年的研发奖金为200万元， 则由题意可得130×(1＋12%)x＝200， ∴1.12x＝， ∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213 ＝＝ ≈＝3.8. 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2025年超过200万元. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额： ①如果不超过200元，则不给予优惠； ②如果超过200元但不超过500元，则给予9折优惠； ③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠. 某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次去购买上述同样的商品，则应付款 A.413.7元 B.513.7元 C.548.7元 D.546.6元 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 购物超过200元，付款金额超过200×0.9＝180(元)，超过500元， 付款金额超过500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元， 则此人两次购物总金额为168＋＝168＋470＝638(元). 若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元). 解析 6.中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位.中国赣州钨矿资源最为丰富，素有“世界钨都”之称.某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x 的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分)，则y的最大值为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.3 B.4 C.5 D.6 x(单位：克) 0 1 2 9 … y 0 3 … √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当0≤x<6时， 设y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由表格数据可得 解得 所以当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x. 当x≥6时，y＝f(x)＝， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由表格数据可得，f(9)＝，解得t＝7， 所以当x≥6时，f(x)＝. 综上，f(x)＝ 当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4， 所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当x≥6时，f(x)＝单调递减， 所以f(x)max＝f(6)＝＝3. 综上，函数y＝f(x)的最大值为4. 解析 二、多项选择题 7.图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.图①中点A的实际意义表示该游乐场投入的成本费用为1万元 B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支 恰好平衡 C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ √ 对于A，图①中A的实际意义表示游乐场投入的成本为1万元，A正确； 对于B，图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，B正确； 对于C，图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，C错误； 对于D，图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M，则 A.震级为2级的地震释放的能量为106.8焦耳 B.释放能量为109.3焦耳的地震震级为3级 C.9级地震释放的能量是8级地震释放能量的10倍 D.释放能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当M＝2时，lg E＝4.8＋1.5×2＝7.8，解得E＝107.8，故A错误； 当E＝109.3时，9.3＝4.8＋1.5M，解得M＝3，故B正确； 令9级地震释放的能量为E1，8级地震释放的能量为E2， 则lg＝lg E1－lg E2＝(4.8＋1.5×9)－(4.8＋1.5×8)＝1.5， 于是＝101.5>10，故C错误； 令释放的能量为E0，对应的震级为M0，释放的能量为1 000E0，对应的震级为M'，则lg E0＝4.8＋1.5M0，且lg 1 000E0＝4.8＋1.5M'，两式相减得1.5(M'－M0)＝3，解得M'－M0＝2，故D正确. 解析 三、填空题 9.光线每通过一块玻璃，其强度都要衰减，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要这样的玻璃的块数为　 .(lg 2≈0.301 0，lg 3 ≈0.477 1)  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 设至少需要x块玻璃， 由题意知<，即<， 两边取对数lg<lg ， 即x·(lg 9－lg 10)<－lg 2， 即x·(1－2lg 3)>lg 2，x>≈6.57， ∴x＝7. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝　　　　，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2ln 2 1 024 由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝， ∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2＝22t. 当t＝5时，y＝210＝1 024. 即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 解析 四、解答题 11.“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为.改造后的房子不仅外观漂亮，还能解决顶层渗漏等问题，达到隔热的效果.近年来，某县持续关注民生，推进民房屋顶“平改坡”工程，对全县a m2的老房子进行“平改坡”(且每年“平改坡”面积的百分比相等).若改造到面积的一半，所用时间需10年，已知到今年 为止，“平改坡”剩余面积为原来的. (1)求每年“平改坡”的百分比； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设每年“平改坡”的百分比为x(0<x<1)， 则a(1－x)10＝a，即1－x＝， 解得x＝1－≈0.067 0＝6.70%. 解 (2)到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了多少年？ 参考数据：≈0.925 9，≈0.933 0，≈0.938 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设到今年为止，该工程已经进行了n年， 则a(1－x)n＝a，即，解得n＝5， 所以到今年为止，该工程已经进行了5年. 解 12.根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件销售价格P(元)与时间t(天)的关系满足如图所示的折线，日销售量Q(件)与时间t(天)之间的对应关系如表所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t/天 5 15 20 30 Q/件 35 25 20 10 (1)求出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由图象可知，当0≤t≤20时，每件销售价格P与时间t的关系为一次函数. 设P＝at＋b， 则解得 所以P＝t＋30，0≤t≤20. 当20<t≤30时，P＝50. 所以，每件销售价格P与时间t的函数解析式为 P＝t∈N＋. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)直接写出日销售量Q与时间t的一个函数解析式(函数关系只限于一次函数、二次函数、反比例函数)； 日销售量Q与时间t的一个函数解析式为 Q＝－t＋40，0≤t≤30，t∈N＋. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？ (注：日销售金额＝每件销售价格×日销售量) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设日销售金额为y， 则y＝t∈N＋， 当0≤t≤20时， y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225， 当t＝5时，ymax＝1 225； 当20<t≤30时，500≤y<1 000. 综上可知，当t＝5时，ymax＝1 225， 即第五天日销售金额最大.　　 解 第五章　函数应用 <<< $