第五章 函数应用（复习课件）数学北师大版必修第一册

本高中数学课件聚焦函数应用单元复习，系统梳理函数零点、零点存在性定理、二分法及函数模型应用等核心知识，通过单元知识图谱串联方程解的存在性判断、近似解求解与实际问题建模，构建“概念-方法-应用”的逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层复习策略，如通过函数零点与方程解的转化、二分法逼近思想应用等题型设计，渗透数形结合与逻辑推理，培养数学建模能力。分层练习满足不同学情，助力教师高效开展针对性复习，提升学生知识巩固与应用能力。

单元复习课件 第五章 函数应用 北师大版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通过复习函数零点概念、函数零点与方程根的关系及零点存在性定理，能判断零点存在性、求简单函数零点. 3.通过梳理知识脉络，深化数形结合、转化与化归、逐步逼近等思想，提升逻辑推理和数学建模能力.通过复习感受函数应用价值，增强用数学解决实际问题的信心，培养严谨的学科思维. 2.通过复习二分法原理、适用条件及操作步骤，能运用二分法求给定精确度的函数零点近似值. 单元学习目标 单元知识图谱 一、方程解的存在性及方程的近似解 （一）利用函数性质判断方程解的存在性 数x0 零点 考点串讲 一、方程解的存在性及方程的近似解 （一）利用函数性质判断方程解的存在性 连续 f(a)·f(b)<0 至少有一个 考点串讲 一、方程解的存在性及方程的近似解 （一）利用函数性质判断方程解的存在性 考点串讲 一、方程解的存在性及方程的近似解 （一）利用函数性质判断方程解的存在性 考点串讲 1.方程的近似解 设是方程的一个解，给定正数，若满足 ，就称是满足精确度的近似解. （二）利用二分法求方程的近似解 例如：假设方程的一个近似解为1，给定精确度=0.1， 由于区间内的任何一个数都满足， 所以区间内的任何一个数都是满足精确度的近似解. 一、方程解的存在性及方程的近似解 考点串讲 2.二分法 中点 （二）利用二分法求方程的近似解 一、方程解的存在性及方程的近似解 考点串讲 3.二分法注意事项 （二）利用二分法求方程的近似解 一、方程解的存在性及方程的近似解 考点串讲 二、实际问题中的函数模型 （一）实际问题的函数刻画 考点串讲 二、实际问题中的函数模型 （二）用函数模型解决实际问题 考点串讲 【题型一】函数的零点与方程的解 题型剖析 [例2] 求函数的零点个数. 【题型一】函数的零点与方程的解 题型剖析 方法归纳——函数零点的求法： (1)代数法求零点：令f(x)＝0，如果方程能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)几何法求零点：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【题型一】函数的零点与方程的解 题型剖析 【训练1】求函数 的零点个数. 【题型一】函数的零点与方程的解 针对训练 【训练2】已知函数 ，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个 零点，则实数m不可能是（    ） A．−1 B．0 C．1 D．2 D 【题型一】函数的零点与方程的解 针对训练 【训练3】已知函数 ，若函数 有4个零点， 则实数 的取值范围是（    ） A．(0,1） B．(0,1] C．[0,1] D．[1] A 【题型一】函数的零点与方程的解 针对训练 B 【题型二】零点存在性定理的综合应用 题型剖析 [例4] 求函数 的零点，并判断函数 在区间(0,1)内是否存在零点. 【题型二】零点存在性定理的综合应用 题型剖析 方法归纳——判断函数零点所在区间的三个步骤： 【题型二】零点存在性定理的综合应用 题型剖析 【训练4】求方程的解所在的区间. 【题型二】零点存在性定理的综合应用 针对训练 【题型二】零点存在性定理的综合应用 【训练5】（多选）函数 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 的可能取值是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 BC 针对训练 【题型二】零点存在性定理的综合应用 【训练6】若函数的一个零点在区间内，另一个 零点在区间内，求实数的取值范围. 针对训练 [例5]下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）. 【题型三】二分法求函数零点近似值 B 题型剖析 [例6]用二分法求方程在区间内的根，取区间 的中点为，那么下一个有根的区间是__________. 【题型三】二分法求函数零点近似值 （1,2） 题型剖析 [例7]用二分法求函数在区间内的一个 零点（精确度0.01）. 【题型三】二分法求函数零点近似值 题型剖析 方法归纳——二分法求函数零点步骤 【题型三】二分法求函数零点近似值 题型剖析 【训练7】已知连续函数在区间上有唯一的零点，在用 二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法正确的是（ ） D 【题型三】二分法求函数零点近似值 针对训练 【训练8】用二分法求函数 在区间[1,2]内的零点近似值（精确度为0.1）. 【题型三】二分法求函数零点近似值 针对训练 【训练9】用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得 ， ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．（0,0.5）， B．（0,0.5）， C．（0.5,1）， D．（0,0.5）， 【题型三】二分法求函数零点近似值 D 针对训练 【训练10】（多选）下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（     ） A． B． C． D． 【题型三】二分法求函数零点近似值 AB 针对训练 【训练11】2016年4月16日00时25分日本九州发生7.3级地震．地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？ 【题型三】二分法求函数零点近似值 针对训练 [例8] （多选）如图，某池塘里浮萍的面积 (单位： )与时间 (单位：月)的关系为 .关于下列说法正确的是（ ） A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积 就会超过30 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3 【题型四】函数模型的识别与应用 ABD 题型剖析 [例9] 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入 （千万元）与投入的资金 （千万元）的函数关系为 ，其图像如图所示. （1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入 （千万元）与投入资金 （千万元）的函数关系式； 【题型四】函数模型的识别与应用 题型剖析 [例9] 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入 （千万元）与投入的资金 （千万元）的函数关系为 ，其图像如图所示. （2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A，B两 种芯片，求可以获得的最大利润是多少? 【题型四】函数模型的识别与应用 题型剖析 方法归纳——自建模型的四个关键 【题型四】函数模型的识别与应用 题型剖析 【训练12】已知物体初始温度是 ,经过 分钟后物体温度是 ，且满足 ，（ 为室温， 是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的 的热水，在 室温下，温度降到 需要30分钟，那么降温到 时，需要___________分钟. 【题型四】函数模型的识别与应用 针对训练 解决“函数与方程的转化”问题，是后续应用的理论根基；解决“零点近似值求解”问题，是理论落地的关键工具；解决“实际问题建模”问题，是本章知识的最终落脚点. 1. 函数零点：“数”与“形”的结合 函数零点是使f(x)=0的实数x（不是点！），本质是对应方程f(x)=0的根，也是函数图像与x轴交点的横坐标； 零点存在性定理——闭区间[a,b]上连续函数，若f(a)·f(b)<0，则区间内至少有一个零点； 拓展：若函数在区间内单调，则零点（单调性+存在性=唯一性，高频考点）； ①整式函数因式分解（如三次函数x³-3x²+2x=x(x-1)(x-2)）； ②分式/分段函数注意定义域（如f(x)=(x²-4)/(x-2)零点为-2，舍去x=2）. 课堂总结 2. 二分法：“逼近思想”的具体应用 连续函数、区间端点异号、无法直接求解的零点（如高次方程、超越方程）； 定区间→验异号→二分求中点→判中点值符号→缩小区间→重复至满足精度；精度是“区间端点差的绝对值<精度”，不是中点值的大小（如精度0.1时，区间[1.3125,1.375]差0.0625<0.1，即可取近似值1.3）. 易错警示：规避三大高频错误 将“函数零点”误认为“点的坐标”，实际是实数根；混淆“零点存在性”与“唯一零点”，忽略单调性条件； ①忽略实际定义域（如产量为正整数、售价高于进价）；②数量关系错误（如利润=总收入-总成本，而非售价-成本）； 二分法中点计算错误、指数幂运算失误、二次函数顶点横坐标计算出错. 课堂总结 3. 函数模型：“实际问题→数学化”的数学建模思想 课堂总结 感谢倾听! 1．函数的零点 (1)定义：使得的______称为方程的解，也称为函数的____，的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标． (2)函数的零点、函数的图象、方程的解的关系如图所示． 2．零点存在定理 条件 若函数在闭区间上的图象是一条____的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即______________________. 结论 则在开区间内，函数__________零点，即在区间内相应的方程=0至少有一个解. 3．注意事项： (1)“零点”不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标，也是方程f(x)＝0的解． (2)求函数的零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 3．注意事项： (4)理解函数零点存在定理应注意以下几点： ①定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0. ②闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)满足f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． ③该定理只能用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的____，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． (1)“二分”即通过取区间中点将区间一分为二，二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)并非所有函数的零点都可以用二分法求解．只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点． 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓的建立数学模型． 世界上很多事物间的联系都可以用“数学模型”刻画，首先先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式． 注意：(1)注意实际问题中的限制条件； (2)注意解题步骤的规范性和完整性，合理利用数学问题的解去解释实际问题． 操作步骤： 1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型； 2．建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3．求模：运用函数性质求解数学模型，得到数学结论； 4．回归：利用数学知识和方法将得出的结论回归到实际问题中． －2 3 [例1] (1)设函数f(x)＝21-x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________． (2)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝________． 解：(1)令f(x)＝21-x－4＝0，解得x＝－1，即f(x)的零点为－1. 令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，即g(x)的零点为－1. 所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2. (2)由题意，得f(3)＝32－3m＝0，解得m＝3. 解：由f(x)＝ln x－eq \f(1,x－1)＝0得ln x＝eq \f(1,x－1)， 在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝eq \f(1,x－1)的图象， 如图所示， 函数y＝ln x与y＝eq \f(1,x－1)的图象有两个交点， 所以函数f(x)＝ln x－eq \f(1,x－1)的零点个数为2. 解：函数零点个数=对应方程解的个数=函数图象与x轴交点个数. 由 ，令 有 ， 即 ，令 ， ， 作出两个基本初等函数图象如图，显然两函数图象只有一个交点，因此函数 的零点个数是1. 解：因为 ，画出函数图象如图所示， 函数 有两个零点，即方程 有两个实数根，即 ，即函数 与函数 有两个交点，由函数图象可得 或 ，故m不可能是2，选D. 解：令 ，得 ， 在同一坐标系中作出 ， 的图象，如图所示： 由图象知：若函数 有4个零点， 则实数 的取值范围是 ，故选：A. 解：令f(x)＝ln x－. ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，又f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，∴在区间(1，2)内f(x)无零点，即方程f(x)＝0在区间(1，2)内无解．故排除选项A. 又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0. ∴f(x)在区间(2，3)内有零点，即方程f(x)＝0在区间(2，3)内有解． [例3] 方程ln x－＝0的解所在的大致区间是 (　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(1，)和(3，4) D．(e，＋∞) （2）判断 在 内是否存在零点： 判断连续性： 是指数函数， 是一次函数，故 在R上连续，即在 上连续； 计算端点值： ； ； 因为 ，由零点存在性定理，函数在 内存在零点. 解：（1）求 的零点: 确定定义域：分母 ，即 ， 定义域为 ； 解对应方程 ：分子 ， 因式分解得 ，解得 ； 结合定义域取舍： 不在定义域内，舍去； 故零点为 ；函数 的零点为 . (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点；若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 解：∵f(x)＝log3x－8＋2x， ∴f(1)＝log31－8＋2＝－6<0， f(2)＝log32－8＋4<0，f(3)＝log33－8＋6＝－1<0， f(4)＝log34>0，f(5)＝log35＋2>0， f(6)＝log36＋4>0，∴f(3)·f(4)<0， 又函数f(x)＝log3x－8＋2x的图象是连续的． ∴函数f(x)的零点所在区间是(3,4)． 解：因为函数 、 在定义域 上单调递增， 所以函数 在 上单调递增， 由函数 的一个零点在区间 内， 由零点存在性定理得 ， 解得 ,故选：BC 解：根据二次函数及其零点所在区间 可画出大致图象，如图． 由图可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f－2>0，,f0<0，,f1<0，,f3>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(12＋10＋a>0，,a<0，,3－5＋a<0，,27－15＋a>0，)) 解得－12<a<0. 解：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点． 答案：B 解：设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法， ∴f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0， ∴f(x)零点所在的区间为(1,2)， ∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)． 答案：(1,2) 解：经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0. 取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0， 因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)，如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 区间长度 (1,1.5) 1.25 －0.30 0.5 (1.25,1.5) 1.375 0.22 0.25 (1.25,1.375) 1.312 5 －0.05 0.125 (1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08 0.0625 ∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，∴函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.1的一个近似零点可取为1.32（区间(1.312 5,1.375)内任取）. 给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤 A．函数f(x)在区间 内一定有零点 B．函数f(x)在区间 或 内有零点 C．函数f(x)在 内无零点 D．函数f(x)在区间 或 内有零点，或零点是 解：根据二分法原理，依次“二等分”区间后，零点将存在于更小的区间，因此，零点应在 或 中或 .答案：D. 解：经计算 ， ，根据零点存在性定理， ，所以函数在区间 内存在零点x0. 取(1,2)的中点x1＝1.5，经计算 ， 因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x0∈(1.5,2)，如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 区间长度 (1.5,2) 1.75 －0.012 0.5 (1.75,2) 1.875 0.095 0.25 (1.75,1.875) 1.812 5 0.043 0.125 (1.75,1.8125) 1.78125 0.016 0.0625 ∵|1.8125－1.75|＝0.062 5＜0.1，∴函数 精确度为0.1的一个近似零点可取为1.76（区间(1.75,1.8125)内任取）. 解：因为f(0)·f(0.5)＜0，由零点存在性知：零点x0∈(0,0.5)， 根据二分法，第二次应计算 ，即f(0.25)，故选：D. 解：对于选项A，当 时， ，当 时， ，所以能用二分法求零点的近似值． 对于选项B，当 时， ，当 时， ，能用二分法求零点的近似值． 对于选项C， ，故不能用二分法求零点的近似值． 对于选项D， ，故不能用二分法求零点的近似值．故选：AB． 解：可以参照二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间． 如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段； 再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段； 再到BD段中点E检查， 如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短半，经过7次查找，即可将故障范围缩小50～100 m之间，即可迅速找到故障所在． 解：图象过(1，2)点，∴2= ，即a=2，∴y=2t.∵ ，∴每月的增长率为1，A正确.当t=5时，y= =32>30，∴B正确. ∵第二个月比第一个月增加 - = - =2( )，第三个月比第二个月增加 - = - =4( )≠ - ，∴C不正确. ∵2= ，3= ，6= ，∴ = ， = ， = ，∴ + = + = = ，D正确.故选：ABD. 解：(1)因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设 ，因为当 时， ，所以 ，所以 ，即生产A芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式为 ，对于生产B芯片的，因为函数 图像过点 ，所以 ，解得 ，所以 ，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为 . 解：(2)设投入x千万元生产B芯片，则投入(40-x)千万元生产A芯片，则公司所获利润为 ， 所以当 ，即 千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元. 学科网（北京）股份有限公司 四个关键分别为求什么，设什么，列什么，限制什么． (1)求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务． (2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量． 解：由于“从发电厂出来的 的热水，在 室温下，温度降到 需要30分钟”，所以 ，解得 .则降温到 时，需要 ，解得 分钟.故答案为：90 $