第5章 周末练11 范围：第5章§1～§2（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数零点与模型应用，以概念理解-定理应用-实际建模为逻辑主线，系统整合零点判定、二分法及函数拟合方法，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |零点概念与求解|2题|方程法求零点，区分零点与交点|从二次函数零点概念（方程的解）切入，建立数与形的联系| |零点存在定理应用|4题|符号判定法，单调性辅助定位|结合函数单调性，通过端点函数值符号判定零点存在区间| |函数模型选择|2题|散点图直观法，代入验证法|从实验数据到函数模型，体现数学抽象与数据分析| |二分法及应用|2题|区间对分法，精确度控制|基于零点存在定理，通过迭代逼近零点近似值| |实际问题建模|1题|线性回归法，数据拟合|从实际数据抽象为函数模型，实现数学语言表达现实世界|

周末练11　范围：第五章§1~§2 (分值：90分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.二次函数y＝x2＋x－2的零点是(　　) A.1，－2 B.－1，2 C.(－1，0)，(2，0) D.(1，0)，(－2，0) 答案　A 解析　二次函数y＝x2＋x－2的零点是x2＋x－2＝0的解，解得x＝1或x＝－2. 2.若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则(　　) A.f(x)在上有零点 B.f(x)在上有零点 C.f(x)在上无零点 D.f(x)在上无零点 答案　B 解析　由f(a)f(b)<0，f(a)f>0可知ff(b)<0，根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点. 3.有一组实验数据如表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是(　　) A.u＝log2t B.u＝2t－2 C.u＝ D.u＝2t－2 答案　C 解析　可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示，由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B选项，故选C. 4.若函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，e2) B.(1，2) C.(1，e2＋1) D. 答案　C 解析　∵f(x)＝ln x＋x2－a， ∴f(x)在(1，e)上单调递增. 又函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0， 即解得1<a<e2＋1. 故实数a的取值范围为(1，e2＋1). 5.若关于x的方程x2－tx＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足0<x1<1<x2<2，则实数t的取值范围是(　　) A.(2，5) B. C.(－∞，2)∪(5，＋∞) D.(－∞，2)∪ 答案　B 解析　令f(x)＝x2－tx＋1，且f＝1，所以只需满足f<0且f>0即可， 即1－t＋1<0且4－2t＋1>0，解得2<t<. 6.[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　令f(x)＝ln x＋3x－15，当x＝4时， f(4)＝ln 4－3<0， 当x＝5时， f(5)＝ln 5>0，即f(4)f(5)<0，又f(x)单调递增，其图象是连续不断的，所以f(x)的零点所在区间为(4，5)，所以[x0]＝4. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　) A.f(x)＝2x－1 B.f(x)＝x2－2x＋1 C.f(x)＝lox D.f(x)＝2ex－3 答案　ACD 解析　B中，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0， 当x<1时，f(x)>0； 当x>1时，f(x)>0， 在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD. 8.已知函数f(x)＝下列说法中正确的有(　　) A.f(x)的零点为0，4 B.函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)∪(2，＋∞) C.若f(a)>3，则a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，3) D.若方程f(x)＝b有三个解，则b的取值范围是(0，4) 答案　ACD 解析　当x≥0时，令－x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4； 当x<0时，令－x＝0，得x＝0(舍)， 故f(x)的零点为0，4，故A正确； 画出函数图象如图，根据图象知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，故B错误； 当a<0时，f(a)＝－a>3，解得a<－3，当a≥0时，f(a)＝－a(a－4)>3，解得1<a<3，故a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，3)，故C正确； f(2)＝4，方程f(x)＝b有三个解，根据图象知，0<b<4，故D正确. 9.★★已知函数f(x)＝若存在x1<x2<x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝t，则下列结论正确的有(　　) A.x2＋x3＝4 B.x2x3的最大值为4 C.t的取值范围是(－1，3] D.x1＋x2＋x3的取值范围是 答案　AD 解析　作出f(x)的图象，如图所示， 可知x3>x2>0，且x2＋x3＝4，则x2x3≤＝4，因为x2≠x3，所以x2x3<4，A正确，B错误；由图可知t的取值范围是(－1，2)，C错误；因为＋2>－1，所以x1<－，又x2＋x3＝4，则x1＋x2＋x3的取值范围是，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为　　　　.  答案　4 解析　设等分的次数为n，由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4，即将区间(0，0.1)等分的次数至少为4. 11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为　　　　.  答案　3 解析　∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点， 当x>0时，令f(x)＝2x＋x－3＝0， 得到2x＝－x＋3， 分别画出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点， 又根据对称性知，当x<0时，函数f(x)也有一个零点. 综上所述，f(x)的零点个数为3. 12.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I，若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈　　　　(结果保留整数).  答案　32 解析　因为r＝0.6lg I，所以I＝1， 当r＝6.5时，I1＝1； 当r＝7.4时，I2＝1， 所以n＝＝1÷1＝1＝10×≈32. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；(6分) (2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度为0.3)；若没有零点，说明理由.(7分) (参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.322，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807) 解　(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数， 证明如下：设任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ ＝<0， 所以f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数. (2)易知g(x)＝＋log2x－2在(1，2)上单调递增， 又因为g(1)＝＋log21－2＝－1<0， g(2)＝＋log22－2＝－1>0， 所以函数g(x)在区间(1，2)上有且仅有一个零点，设该零点为x0， 因为g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0，所以x0∈(1.5，2)； 又因为g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13>0， 所以x0∈(1.5，1.75)，又1.75－1.5＝0.25<0.3， 所以g(x)零点的近似值可为1.6. 14.(14分)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示. 年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描点画出灌溉面积随最大积雪深度变化的图象；(4分) (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(5分) (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？(5分) 解　(1)描点、作图，如图(甲)所示. (2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)，取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝a＋bx，得解得a≈2.2，b≈1.8，这样，得到一个函数模型为y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约47.2公顷. 学科网（北京）股份有限公司 $