第4章 2.2 换底公式（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦换底公式，通过计算器对数键功能局限的现实问题导入，衔接已学对数运算性质，构建从具体问题到公式证明、应用的学习支架，帮助学生理解公式本质及转化不同底数对数的意义。 其亮点在于以问题链引导公式推导，培养数学思维的推理能力，结合多样化例题与跟踪训练，强化运算能力和数学语言表达，课堂小结与课时对点练系统巩固知识。学生能提升逻辑推理与应用意识，教师可依托清晰结构和实例高效教学。

2.2 第四章　对数运算与对数函数 <<< 换底公式 1.会用换底公式进行对数运算. 2.能利用对数的运算性质、换底公式进行对数的综合应用. 学习目标 计算器上，只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)，要计算logab必须将它转换成常用对数或自然对数.你知道如何转换吗？ 导 语 一、换底公式的证明和理解 二、利用换底公式化简、求值 课时对点练 三、换底公式的综合应用 内容索引 换底公式的证明和理解 一 提示　把3x＝5化为对数式为log35＝x，又因为x＝，所以得出log35＝的结论. 假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝ 5，把其化为对数式可得到什么结论？ 问题1 提示　结论为＝logab. 证明　令＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒＝ logab. 由问题1你能猜测出与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？ 问题2 换底公式 一般地，若a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1，则logab＝. 知识梳理 (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明. (3)常见的有：logab＝或logab＝. (4)常用结论： ①logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1). ②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). ③lobn＝logab(a>0且a≠1，b>0，m≠0). 注 意 点 <<< 9 (课本例3)计算： (1)log2781； (2)log1625·log58； (3)logab·logba(a>0，b>0，且a≠1，b≠1). 例 1 根据对数的换底公式，得 (1)log2781＝. (2)log1625·log58＝··. (3)logab·logba＝·＝1. 解 10 (1)证明：对数换底公式：logab＝. 例 1 设logab＝x，则ax＝b， 根据等式性质，两边同时取以c为底的对数仍相等，得logcax＝logcb. ∴xlogca＝logcb，∴x＝， 即logab＝. 证明 11 (2)计算： ①log35×log53＝　　　；  log35×log53＝1. 解析 ②log82＝　　　　.  log82＝. 解析 1 12 (1)已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式可表 示为　　　　.  跟踪训练 1 log32＝. 解析 (2)计算：log279＝　　　.  log279＝. 解析 13 二 利用换底公式化简、求值 (课本例4)计算： (1)log4＋log23－log0.5； 例 2 根据对数的换底公式，得 log4＋log23－log0.5 ＝＋log23－ ＝log2＋log23－log25 ＝log2＝log21＝0. 解 15 (2)(log32＋log23)2－. (log32＋log23)2－ ＝·· ＝＋2－ ＝2. 解 16 求下列各式的值： (1)log1627·log8132； 例 2 log1627·log8132＝× ＝××. 解 17 (2)(log32＋log92)(log43＋log83). (log32＋log92)(log43＋log83) ＝ ＝ ＝log32×log23＝××. 解 18 利用换底公式化简与求值的思路 反 思 感 悟 19 计算： (1)log29·log34； 跟踪训练 2 原式＝··＝4. 解 20 (2). 原式＝× ＝lo×lo9＝× ＝×＝－. 解 21 三 换底公式的综合应用 (1)已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645. 例 3 由18b＝5，得log185＝b. 又log189＝a， 则log3645＝ ＝ ＝. 解 23 (2)设3a＝4b＝36，求的值. 方法一　由3a＝4b＝36， 得a＝log336，b＝log436， 则＝log363，＝log364， 所以＝2log363＋log364＝log3636＝1. 方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得 alog63＝blog64＝log636＝2， 所以＝log63，log64＝log62， 所以＝log63＋log62＝log66＝1. 解 24 (1)用已知对数表示其他对数的思路 ①统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决此类问题的关键. ②分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值. (2)指数式的连等式求值方法 第一步：可令连等式等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示； 第二步：由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数； 第三步：运用对数的运算性质化简求值. 反 思 感 悟 25 (1)已知log142＝a，试用a表示lo7. 跟踪训练 3 方法一　因为log142＝a， 所以log214＝. 所以1＋log27＝. 所以log27＝－1. 所以lo7＝2log27＝2. 方法二　因为log142＝＝a. 所以2＝a(lo7＋2)，即lo7＝－2＝. 解 26 (2)已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值. 令3x＝4y＝6z＝a(a>0)， 所以x＝log3a，y＝log4a，z＝log6a， 所以××. 解 27 1.知识清单： (1)换底公式. (2)换底公式的应用. 2.方法归纳：转化法、换元法. 3.常见误区：注意换底公式成立的条件. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C D B A B 题号 7 8 11 12 13 14 答案 1　 B AD C D 题号 15 答案 12 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式＝ ＝··. (2)原式＝·＝3＋＝3＋2＝5. (3)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43·2log34＝log338＋log22＋2 ＝8＋1＋2＝11. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设xa＝yb＝zc＝k，k>0， 则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk. 因为，所以， 即logkx＋logky＝logkz. 所以logk(xy)＝logkz， 即z＝xy. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题可得logax＋＝3(a>1)， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3. 当x＝at时，logax＝logaat＝t， 所以logay＝t2－3t＋3.所以y＝(t≠0). (2)y＝，因为0<t≤2，a>1， 所以当t＝时，ymin＝＝8. 所以a＝16，此时x＝1＝64. 基础巩固 1.化简log832的值为 A. B.2 C.4 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 log832＝. 解析 2.等于 A.lg 3 B.－lg 3 C. D.－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝lo＋lo ＝lo＋lo ＝lo＝log310＝. 解析 3.下列各式中错误的是 A.logab·logba＝1 B.logcd＝ C.logcd·logdf＝logcf D.logab＝ √ 由换底公式可知logab＝，故D选项错误，ABC项均正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知lg 2＝m，lg 3＝n，则log83用m，n来表示的式子是 A. B. C. D. √ ∵lg 2＝m，lg 3＝n， ∴log83＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若a≠b，且logab＝logba，则ab的值为 A.1 B.2 C. D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵logab＝logba， ∴， ∴(lg b)2＝(lg a)2. ∵a≠b，∴lg a＝－lg b，∴lg a＝lg ， ∴ab＝1. 解析 6.的值为 A.－ B. C.－2 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . 解析 7.若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为　　　.  由已知可得··＝2， 即＝2， ∴lg 3＝2lg a， ∴a2＝3， 则a＝(舍负). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若2a＝3，b＝log32，则ab＝　　，3b＋3－b＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵2a＝3，∴a＝log23， ∴ab＝log23·log32＝log23·＝1， 3b＋3－b＝＝2＋. 解析 1 9.计算下列各式的值： (1)(log43＋log83)； 原式＝ ＝··. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)log23·log38＋； 原式＝·＝3＋＝3＋2＝5. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316. 原式＝log3(32×36)＋log2＋log43·2log34＝log338＋log22＋2 ＝8＋1＋2＝11. 解 10.设xa＝yb＝zc(x，y，z>0且x，y，z≠1)，且，求证：z＝xy. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设xa＝yb＝zc＝k，k>0， 则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk. 因为，所以， 即logkx＋logky＝logkz. 所以logk(xy)＝logkz， 即z＝xy. 证明 11.标准的围棋棋盘共19行19列，361个交叉点，每个交叉点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数 据最接近的是(lg 3≈0.477) A.10－37 B.10－36 C.10－35 D.10－34 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，对取常用对数得lg＝lg 3361－lg 10 00052＝361 ×lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，选项B中的10－36与其最接近. 解析 12.(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么 A.ab＋bc＝2ac B.ab＋bc＝ac C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意知，设4a＝6b＝9c＝M， ∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M， ∴＝logM4，＝logM6，＝logM9， ∴＝logM4＋logM9＝2logM6＝，去分母得ab＋bc＝2ac， 故选A，D. 解析 13.在某款计算器上计算logab时，需依次按下“log”“(”“a”“，” “b”“)”6个键.某同学使用该计算器计算logab(a>1，b>1)时，误将“log”“(”“b”“，”“a”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正 确结果的倍，则 A.2a＝b B.a2b＝1 C.a3＝b D.a3＝b2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，logba＝logab， 由换底公式得logba＝logab， ∴(logab)2＝9. 又a>1，b>1，∴logab>0， ∴logab＝3，b＝a3. 解析 14.设a＝log36，b＝log520，则log215等于 A. B. C. D. ∵a＝log36＝1＋log32，b＝log520＝1＋2log52， ∴log23＝，log25＝， ∴log215＝log23＋log25 ＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 15.若lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则lg(ab)·(logab＋logba)＝　　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝. 所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)·＝＝12， 故lg(ab)·(logab＋logba)＝12. 解析 12 16.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，x＝at. (1)试用a，t表示y； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可得logax＋＝3(a>1)， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3. 当x＝at时，logax＝logaat＝t， 所以logay＝t2－3t＋3.所以y＝(t≠0). 解 (2)当0<t≤2时，y有最小值8，求a和x的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝，因为0<t≤2，a>1， 所以当t＝时，ymin＝＝8. 所以a＝16，此时x＝1＝64. 解 第四章　对数运算与对数函数 <<< $