第4章 2.2 换底公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 2.2　换底公式 (教师独具内容) 课程标准：掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简． 教学重点：对数的运算性质、换底公式． 教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式． 知识点　换底公式 (1)一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝．这个结论称为对数的换底公式． (2)转换成自然对数或常用对数logab＝＝． 三个较为常用的推论 若a>0，b>0，c>0，且a≠1，b≠1，c≠1，则有： (1)logab·logbc·logca＝1； (2)logab＝； (3)logambn＝logab. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由换底公式可得log23＝＝＝.(　　) (2)lg 3·log310＝1.(　　) (3)log34·log45·log56·log67·log78·log89＝2.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)计算：log34·log163＝________． (2)计算：·log3＝________． (3)已知lg 2≈0.3010，lg 7≈0.8451，则log228≈________(结果精确到0.0001)． 答案：(1)　(2)4　(3)4.8076 题型一　利用换底公式求值 　计算下列各式： (1)(log85＋log25)(log54＋log258)； (2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)． [解]　(1)解法一：原式＝＝＝×＝. 解法二：原式＝＝log25×＝log24＋log28＝＋2＝. (2)解法一：原式＝＝＝·＝. 解法二：原式＝＝＝log23·log32＝. 解法三：原式＝(log23＋log2332)(log322＋log3223＋log32)＝log23·log32＝. 【感悟提升】　换底公式的作用 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用． 注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e为底的常用对数或自然对数. 【跟踪训练】 1．(1)计算：(log43＋log83). 解：原式＝·＝·＋·＝＋＝. (2)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)． 解：解法一：原式＝·＝＝log25·3log52＝13log25·＝13. 解法二：原式＝＝＝·＝13. 解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)＝(log52＋log52＋log52)＝·log25·3log52＝3×＝13. 题型二　条件求值 　(1)已知3a＝4b＝36，则＋的值为________． [解析]　解法一：∵3a＝4b＝36，∴a＝log336，b＝log436.由换底公式，得＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. 解法二：∵3a＝4b＝36，同时取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636，即alog63＝2blog62＝2，∴＝log63，＝log62，∴＋＝log63＋log62＝log66＝1. 解法三：对3a＝4b＝36同时取常用对数，得alg 3＝blg 4＝lg 36，∴＝，＝，∴＋＝＋＝＝1. [答案]　1 (2)已知lg 2＝a，lg 7＝b，用a，b表示log89.8的值． [解]　log89.8＝＝＝＝. 【感悟提升】　与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化． 【跟踪训练】 2．(1)若15a＝5b＝3c＝25，则＋－＝________． 答案：1 解析：∵15a＝5b＝3c＝25，∴a＝log1525，b＝log525，c＝log325，∴＋－＝log2515＋log255－log253＝log25(15×5÷3)＝log2525＝1. (2)已知log89＝m，log35＝n，试用m，n表示log512. 解：∵m＝log89＝log23＝×， ∴lg 2＝lg 3， 又n＝log35＝，∴lg 5＝nlg 3. 则log512＝＝＝＝＝. 题型三　运用对数运算性质进行证明 　已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，abc＝1，求证：＋＋＝0. [证明]　设ax＝by＝cz＝m，则logam＝x，logbm＝y，logcm＝z. ∴＋＋＝＋＋＝logma＋logmb＋logmc＝logm(abc)． ∵abc＝1，∴logm(abc)＝0， ∴＋＋＝0. 【感悟提升】　解决指数、对数综合问题的关键 (1)对数式与指数式的互化或者说等式两边取对数是解决这类问题的重要手段． (2)对数运算中，要正确使用对数运算性质，合理选择底数运用换底公式，熟记一些常用结论． 【跟踪训练】 3．(1)已知5x＝2y＝()z，且x，y，z均不为0，求证：＋＝2. 证明：令5x＝2y＝()z＝k， 则x＝log5k，y＝log2k，z＝lg k，z＝2lg k， 所以＋＝＋＝2lg k(logk5＋logk2)＝2lg k·logk10＝2.所以＋＝2. (2)设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy. 证明：当x＝y＝z＝1时，满足z＝xy； 当x≠1，y≠1，z≠1时，令xa＝yb＝zc＝t(t>0，且t≠1)， 则a＝logxt，b＝logyt，c＝logzt. 因为＋＝，所以logtx＋logty＝logtz. 所以logt(xy)＝logtz.所以z＝xy. 1．当a>0且a≠1，x>0，y>0，n∈N＋时，下列各式不恒等的是(　　) A．loganx＝logax B．logax＝nloga C．xlogax＝x D．logaxn＋logayn＝n(logax＋logay) 答案：C 解析：由换底公式及对数的运算性质知A，B，D均正确，而C中应为alogax＝x，故选C. 2．计算log916·log881的值为(　　) A．18 B. C. D. 答案：C 解析：log916·log881＝·＝·＝，故选C. 3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：log36＝＝＝，故选B. 4．已知2m＝5n＝10，则＋＝________． 答案：1 解析：因为m＝log210，n＝log510，所以＋＝log102＋log105＝lg 10＝1. 5．(1)已知log535＝m，求log71.4； (2)求·log6432的值． 解：(1)∵log535＝log5(5×7)＝1＋log57＝m， ∴log57＝m－1， ∴log71.4＝＝＝. (2)解法一：原式＝··＝··＝. 解法二：原式＝··＝×＝. 课后课时精练 一、选择题 1．计算log225·log32·log59的结果为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：D 解析：原式＝··＝··＝6. 2．已知lg 2＝a，lg 7＝b，则log1498＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：log1498＝＝＝＝. 3．已知ln (3×2x－2)＝log23＋log9，则x的值为(　　) A．2 B．－2 C．0 D．－1 答案：C 解析：因为ln (3×2x－2)＝log23＋log3＝log23－log23＝0.所以3×2x－2＝e0＝1.3×2x＝3，2x＝1，x＝0. 4．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则log(abc)x＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：因为logx(abc)＝logxa＋logxb＋logxc＝＋＋＝＋＋＝1，所以log(abc)x＝1. 5．(多选)若ab>1，则下列等式中正确的是(　　) A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ＝lg a－lg b C.lg ＝lg D．lg (ab)＝ 答案：CD 解析：当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD. 二、填空题 6．计算log9的值为________． 答案： 解析：log9＝＝＝＝. 7．若log23·log36m·log96＝，则实数m的值为________． 答案：4 解析：∵log23·log36m·log96＝··＝＝log2m＝，∴log2m＝2，∴m＝4. 8．若log312＝x，log412＝y，则＋＝________． 答案：1 解析：因为log312＝x，log412＝y，所以x＝＝，y＝＝，所以＝log123，＝log124，因此＋＝log123＋log124＝log12(3×4)＝1. 三、解答题 9．计算：(1)； (2)log3＋lg 25＋lg 4－7log73＋log38·log4； (3)(log43＋log83)(log32＋log92)＋log3－2log25； (4)2log2＋＋lg 20－lg 2－log32·log23＋(－1)lg 1. 解：(1)原式＝＝－＝－. (2)原式＝＋lg (25×4)－3＋· ＝＋2－3＋＝1. (3)原式＝＋log33－5＝log23×log32＋－5＝×＋－5＝－3. (4)原式＝＋＋lg－·＋1 ＝＋＋lg 10－1＋1＝2. 10．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py. (1)求p； (2)求证：－＝. 解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·. ∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝，∴－＝. 11．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值． 解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0， 设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0， 所以t1＋t2＝2，t1·t2＝. 又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根， 所以t1＝lg a，t2＝lg b， 即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝. 所以lg (ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12. 即lg (ab)·(logab＋logba)＝12. 12．计算：若xlog23＝2，求3x＋3－x的值． 解：因为xlog23＝2，所以x＝＝＝log34，故3x＋3－x＝3log34＋3－log34＝4＋3log34－1＝4＋＝，即3x＋3－x的值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $