第4章 §1 对数的概念（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数的概念、对数式与指数式互化及对数性质，通过纳皮尔发明对数的历史背景和指数方程求解问题导入，衔接指数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，用数学眼光发现指数与对数的互逆关系，通过转化化归培养数学思维，例题解析规范符号表达（数学语言）。课堂小结梳理知识清单，课时对点练巩固应用，助力学生理解概念，教师教学更高效。

§1 第四章　对数运算与对数函数 <<< 对数的概念 1.了解对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化. 3.会求简单的对数值. 学习目标 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数可以用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！ 导 语 一、对数的概念 二、对数式与指数式的互化 课时对点练 三、利用对数的性质及对数恒等式求值 内容索引 对数的概念 一 提示　用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是利用指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解. 我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝128， 则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？ 问题1 名称 定义 记法 常用对数 以____为底数的对数 _____ 自然对数 以____________________为底数的对数 _____ 1.对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即_______，那么数b称为以___为底___的对数，记作__________.其中a叫作对数的___数，N叫作___数. 2.两种特殊对数 ab＝N a N logaN＝b 底 真 10 lg N 无理数e＝2.718 281… ln N 知识梳理 (1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换.特别注意N>0. (2)logaN不是loga与N的乘积，而是对数符号. 注 意 点 <<< 8 若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是 A.[2，＋∞) B.(2，3)∪(3，＋∞) C.(－∞，2) D.(2，＋∞) √ 例 1 由题意得解得t>2，且t≠3. 所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞). 解析 9 将例1的对数式改为“log(t－2)(t－3)”，求实数t的取值范围. 延伸探究 由题意可得 解得t>3.所以实数t的取值范围是(3，＋∞). 解 10 求关于对数式的范围 利用式子logaN⇒从而求出未知数的范围. 反 思 感 悟 11 二 对数式与指数式的互化 提示　x＝log23；x＝log1.112；x＝lg 5. 根据对数的定义，你能解2x＝3，1.11x＝2，10x＝5吗？ 问题2 对数与指数的关系 若a>0，且a≠1，则ab＝N⇔logaN＝___. b 知识梳理 (1)特别注意ab>0，故N>0. (2)不是每一个指数式都可以化为对数式.如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2. 注 意 点 <<< 15 (课本例1)将下列指数式改写为对数式： (1)53＝125； (2)＝4； (3)＝8； (4)6－2＝. 例 2 由对数的定义，得 (1)log5125＝3. (2)log84＝. (3)lo8＝－3. (4)log6＝－2. 解 16 (课本例2)将下列对数式改写为指数式： (1)log264＝6； (2)log3＝－4； (3)lg 0.001＝－3； (4)lo4＝－2. 例 3 由对数的定义，得 (1)26＝64. (2)3－4＝. (3)10－3＝0.001. (4)＝4. 解 17 (课本例3)求下列各式中x的值： (1)log3x＝4； 例 4 由对数的定义，得 x＝34＝81. 解 (2)log5＝x； 5x＝＝5－2，所以x＝－2. 解 18 (3)3x＝5； x＝log35. 解 (4)ln x＝－1； x＝e－1＝. 解 19 (5)logx64＝2； x2＝64，又x>0，所以x＝8. 解 (6)＝x. ＝3，所以x＝3. 解 20 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝； 例 2 log2＝－2. 解 (2)＝8； log48＝. 解 21 (3)ea＝16； loge16＝a，即ln 16＝a. 解 (4)log39＝2； 32＝9. 解 (5)lg 0.01＝－2. 10－2＝0.01. 解 22 求下列各式中x的值： (1)log64x＝－； 例 3 x＝6＝(43＝4－2＝. 解 (2)logx8＝6； 因为x6＝8，且x>0， 所以x＝(x6＝(23. 解 23 (3)lg 1 000＝x； 因为10x＝1 000＝103，所以x＝3. 解 (4)log5＝x. 因为5x＝＝5－2，所以x＝－2. 解 24 指数式与对数式互化的思路 反 思 感 悟 25 (1)(多选)下列指数式与对数式互化正确的有 A.e0＝1与ln 1＝0 B.与log8＝－ C.log416＝2与1＝4 D.log77＝1与71＝7 跟踪训练 1 √ √ √ C选项中，由log416＝2，得42＝16，故C错误，ABD均正确. 解析 26 (2)求下列各式的值. ①log981＝　　.  2 设log981＝x，所以9x＝81＝92， 故x＝2，即log981＝2. 解析 ②log0.41＝　　.  0 设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40， 故x＝0，即log0.41＝0. 解析 27 ③ln e2＝　　　.  设ln e2＝x，所以ex＝e2， 故x＝2，即ln e2＝2. 解析 2 28 利用对数的性质及对数恒等式求值 三 1.对数恒等式：＝___. 2.对数的性质 (1)loga1＝___ ； (2)logaa＝___ ； (3)零和负数没有对数. N 0 1 求下列各式中x的值： (1)ln (log5x)＝0； 例 4 ∵ln (log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝51＝5. 解 (2)log3(lg x)＝1； ∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3，∴x＝103＝1 000. 解 (3)x＝. x＝＝7÷＝7÷5＝. 解 31 利用对数的性质及对数恒等式求值 (1)对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质：loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解. (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式：＝N的应用. 反 思 感 悟 32 (1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为 A.9 B.8 C.7 D.6 跟踪训练 2 √ ∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1， ∴x＝3，同理可得y＝4，z＝2，∴x＋y＋z＝9. 解析 (2)＝　　.  4 ＝(32＝4. 解析 33 1.知识清单： (1)对数的概念. (2)两种特殊对数：自然对数、常用对数. (3)对数式与指数式的互化. (4)对数恒等式及对数的性质. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B B AC AB 题号 7 8 11 12 13 14 答案 －4 8　 B B B 2 题号 15 答案 1 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)lo1＝0. (2)令ln ＝x， ∴ex＝，∴x＝. (3)令lo27＝x，∴＝27＝，∴x＝－3. (4)令log432＝x， ∴4x＝32，∴22x＝25，∴2x＝5，∴x＝. (5)÷32＝. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lox＝m， ∴＝x，x2＝. ∵loy＝m＋2，∴＝y，y＝. ∴＝16. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log2＝0，得lo(log2x)＝1， 所以log2x＝，所以x＝＝(215， 由log3＝0，得lo(log3y)＝1， 所以log3y＝，所以y＝＝(310. 由log5＝0，得lo(log5z)＝1， 所以log5z＝，所以z＝＝(56. 因为310>215>56，所以y>x>z. 基础巩固 1.若7x＝8，则x等于 A. B.log87 C.log78 D.log7x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知ln x＝2，则x等于 A.±2 B.e2 C.2e D.2e √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由ln x＝2得，e2＝x，所以x＝e2. 解析 3.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为 A.a>，且a≠1 B.0<a< C.a>0，且a≠1 D.a< √ 由题意知解得0<a<. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设＝25，则x的值是 A.10 B.13 C.100 D.±100 √ 由＝25得2x－1＝25， 所以x＝13. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 A.100＝1与lg 1＝0 B.2与log27＝－3 C.log55＝1与51＝5 D.ln N＝与N＝ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，由ax＝N⇒x＝logaN可得， 对于A，100＝1⇒lg 1＝0，故A正确； 对于B，2⇒log27＝－，故B错误； 对于C，log55＝1⇒51＝5，故C正确； 对于D，ln N＝⇒＝N，故D错误. 解析 6.(多选)下列等式正确的有 A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0 C.若lg x＝10，则x＝10 D.若ln x＝e，则x＝e2 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确； B项，lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确； C项，若lg x＝10，则x＝1010，故C错误； D项，若ln x＝e，则x＝ee，故D错误. 解析 7.若log3＝x，则x＝　　　.  由log3＝x得3x＝＝3－4， 所以x＝－4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －4 8.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N⇔b＝logaN.现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝　　　，a＋b＝　　(用最简结果作答).  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 ∵a＝log48， 则4a＝8，即22a＝23， ∴2a＝3，∴a＝. ∵b＝log24， ∴2b＝4，即2b＝22， ∴b＝2，∴a＋b＝＋2＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求值： (1)lo1； lo1＝0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)ln ； 令ln ＝x， ∴ex＝，∴x＝. 解 (3)lo27； 令lo27＝x，∴＝27＝，∴x＝－3. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)log432； 令log432＝x，∴4x＝32，∴22x＝25，∴2x＝5，∴x＝. 解 (5). ÷32＝. 解 10.若lox＝m，loy＝m＋2，求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lox＝m， ∴＝x，x2＝. ∵loy＝m＋2，∴＝y，y＝. ∴＝16. 解 11.已知a>0且a≠1，则下列说法正确的是 A.若M＝N，则logaM＝logaN B.若logaM＝logaN，则M＝N C.若logaM2＝logaN2，则M＝N D.若M＝N，则logaM2＝logaN2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，当M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立； B正确； C中，M与N也可能互为相反数； D中，当M＝N＝0时无意义. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logxyx的值是 A.1 B.0 C.x D.y √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x2＋y2－4x－2y＋5＝0， 得(x－2)2＋(y－1)2＝0， 所以x＝2，y＝1， 所以logxyx＝log212＝0. 解析 13.方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为 A.－3 B.3 C.－1或3 D.1或－3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由解得x>1. 又lg(x2－1)＝lg(2x＋2)， 得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0， 解得x＝－1或x＝3. ∴x＝3. 解析 14.已知lo(3x2－3x＋1)＝1，则x＝　　　.  由题意可知 解得 所以x＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 15.已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值是3，则a的值为　 　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 因为二次函数f(x)有最大值，所以lg a<0. 又f(x)max＝＝3， 所以4(lg a)2－3lg a－1＝0. 解得lg a＝1或lg a＝－. 因为lg a<0，所以lg a＝－，所以a＝1. 解析 16.若log2＝log3＝log5＝0，试比较x，y，z的大小关系. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由log2＝0，得lo(log2x)＝1， 所以log2x＝，所以x＝＝(215， 由log3＝0，得lo(log3y)＝1， 所以log3y＝，所以y＝＝(310. 由log5＝0，得lo(log5z)＝1， 所以log5z＝，所以z＝＝(56. 因为310>215>56，所以y>x>z. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章　对数运算与对数函数 <<< $