第4章 2.1 对数的运算性质（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦对数的运算性质，通过生活中“每天进步1%与退步1%的指数增长对比”情境导入，建立指数运算与对数运算的联系，搭建从指数到对数的学习支架，帮助学生理解知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动性质推导，引导学生从指数式转化自主推理出积、商、幂的对数运算性质，体现“数学思维”的推理能力。通过多选辨析、分层训练及生活情境应用，培养“数学语言”的应用意识，助力学生提升逻辑推理和问题解决能力，为教师提供系统教学资源与分层练习，提高教学效率。

2.1 第四章　对数运算与对数函数 <<< 对数的运算性质 1.理解并会推导对数的运算性质 2.能利用对数的运算性质进行化简、求值. 学习目标 “学如逆水行舟，不进则退”，我们可以把(1＋1%)365看作每天进步一点点，一年后是1.01365≈37.783 434 33，你将进步很大；而把(1－1%)365看作每天退步一点点，一年后是0.99365≈0.025 517 964，远远被人抛在后面，将会是“1”事无成，而一年后的“进步”的大约是“退步”的 ≈1 480.7倍.那么除了利用指数幂外，还可以怎样来计算1.01365 和0.99365呢？ 导 语 一、对数的运算性质的理解 二、利用对数的运算性质化简、求值 课时对点练 三、带有附加条件的对数式求值 内容索引 对数的运算性质的理解 一 提示　α＝logaM，β＝logaN. 由M·N＝aα＋β得α＋β＝loga(M·N). 从而得出loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 设a>0且a≠1，若aα＝M，aβ＝N，则M·N＝aα·aβ＝aα＋β，将这三个指数式化成对数式后，它们之间有什么联系呢？ 问题1 提示　将指数式＝aα－β化为对数式，得 loga＝α－β＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 结合问题1，若＝aα－β，又能得到什么结论？ 问题2 提示　由Mb＝abα， 得logaMb＝bα＝blogaM(a>0，且a≠1，M>0，b∈R). 结合问题1，若Mb＝(aα)b＝abα(b∈R)，又能有何结果？ 问题3 对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，则 (1)loga(M·N)＝_____________. (2)loga＝_____________. (3)logaMb＝blogaM. logaM＋logaN logaM－logaN 知识梳理 (1)简记为：“积对和，商对差，遇到指数就搬家”. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是M·N>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N＋. (4)运算性质的逆运算仍然成立. 注 意 点 <<< 10 (多选)若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列四个式子中，正确的有 A.loga(x±y)＝logax±logay B.loga(xy)＝logax·logay C.logax＝－loga D.＝loga √ 例 1 根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知，C与D正确. 解析 √ 11 对数运算性质的适用条件：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，且a≠1，M>0，N>0. 反 思 感 悟 12 (多选)若a>0且a≠1，则下列四个式子中，不正确的是 A.logax·logay＝loga(x＋y) B.＝loga C.logax2＝2loga|x| D.loga＝logax÷logay 跟踪训练 1 √ √ √ 13 二 利用对数的运算性质化简、求值 (课本例1)计算： (1)log2(64×512)； 例 2 log2(64×512)＝log264＋log2512＝6＋9＝15. 解 (2)lg 0.000 1； lg 0.000 1＝lg 10－4＝－4lg 10＝－4. 解 (3)log3. log3＝log3log33＝. 解 15 计算下列各式的值： (1)log5；　 例 2 原式＝log5625＝log554＝. 解 (2)log2(32×42)； 原式＝log232＋log242＝5＋4＝9. 解 16 (3)log535－2log5 ＋log57－log5. 原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55) ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2. 解 17 利用对数运算性质化简求值的常用方法 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用. (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用. (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简. 反 思 感 悟 18 计算下列各式的值： (1)lg ；　 跟踪训练 2 原式＝lg 10lg 100＝×2＝. 解 (2)log345－log35； 原式＝log3＝log39＝log332＝2. 解 19 (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 解 (4). 原式＝＝. 解 20 三 带有附加条件的对数式求值 (课本例2)已知log23＝a，log25＝b，用a，b表示下列各数的值： (1)log230； 例 3 log230＝log2(2×3×5) ＝log22＋log23＋log25＝1＋a＋b. 解 (2)log2； log2＝log25－log29＝log25－log232 ＝log25－2log23＝b－2a. 解 22 (3)log2. log2＝log21－log22 ＝log215－log220 ＝(log23＋log25)－(log24＋log25) ＝(a＋b)－(2＋b) ＝－1. 解 23 已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1. (1)求lg 15的值； 例 3 lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5 ＝lg 3＋(1－lg 2)＝1＋lg 3－lg 2 ≈1＋0.477 1－0.301 0＝1.176 1. 解 24 (2)求lg 的值. lg lg 45＝lg(5×9)＝(lg 9＋lg 5) ＝(2lg 3－lg 2＋1) ≈×(2×0.477 1－0.301 0＋1)＝0.826 6. 解 25 转化法解决附加条件的对数式求值问题 将未知对数转化为用已知对数表示的形式，是解决此类问题的方法.同时活用等式lg 2＋lg 5＝1及其变形式lg 2＝1－lg 5或lg 5＝1－lg 2. 反 思 感 悟 26 (1)设lg 3＝a，lg 5＝b，则lg 等于 A. B. C.3a－2b D.3a＋2b－2 跟踪训练 3 √ 由题意知lg 3＝a，lg 5＝b， 则lg ＝lg 27－lg 4＝3lg 3－2lg 2＝3lg 3－2lg ＝3lg 3－2＋2lg 5＝3a＋2b－2. 解析 27 (2)若lg x－lg y＝a，则lg－lg等于 A.3a B.a C.a D. √ lg－lg＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a. 解析 28 1.知识清单： 对数的运算性质(M >0，N>0，a>0且a≠1，b∈R) (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMb＝blogaM. 2.方法归纳：转化归纳.活用“1”的代换，如lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2. 3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A D D A B 题号 7 8 11 12 13 答案 19 2 D BD A 题号 14 15 答案 p＝－5，q＝5(答案不唯一，需满足p＋q＝0，q>0，p2－4q≥0) C 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式＝log34－log3＋log38－3＝ log3－3＝log332－3＝2－3＝－1. (2)原式＝ ＝. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)lg(xy3z2)＝lg x＋lg y3＋lg z2 ＝lg x＋3lg y＋2lg z. (2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z. (3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z. (4)lg＝lg－lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原方程为(log2x)2＋blog2x＋c＝0， ∵甲写错了b，得到根为，，∴c＝log2×log2＝－2×(－3)＝6. 又∵乙写错了c，得到根为，64， ∴b＝－＝－5， ∴原方程为(log2x)2－5log2x＋6＝0， 即(log2x－2)(log2x－3)＝0，∴log2x＝2或log2x＝3， 解得x＝4或x＝8. 基础巩固 1.10lg 2＋lg 5＋lg 2等于 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝2＋lg 10＝2＋1＝3. 解析 2.如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么 A.x＝ B.x＝ C.x＝a＋3b－5c D.x＝a＋b3－c3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵lg x＝lg a＋3lg b－5lg c ＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg， ∴x＝. 解析 3.若lg a－2lg 2＝1，则a等于 A.4 B.10 C.20 D.40 √ ∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg ＝1， ∴＝10， ∴a＝40. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列各式中正确的是 A.loga6＝loga2＋loga4(a>0，且a≠1) B.loga9＝(loga3)2(a>0，且a≠1) C.loga6＝loga2·loga3(a>0，且a≠1) D.loga(－2)2＝2loga2(a>0，且a≠1) √ 对于D项，loga(－2)2＝loga22＝2loga2，正确，其余均错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是 A.a－2 B.3a－(1＋a)2 C.5a－2 D.－a2＋3a－1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a＝log32， ∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1) ＝3a－2(a＋1)＝a－2. 解析 6.已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为 A.1 B.4 C.1或4 D.或4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可得lg(x－2y)2＝lg(xy)，所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0， 所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y， 所以＝1或＝4. 又所以>2，所以＝4. 解析 7.计算log2(47×25)＝　　　　.  log2(47×25)＝log2219＝19log22＝19. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 8.方程lg x＋lg (x－1)＝1－lg 5的根是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 方程变形为lg [x(x－1)]＝lg 2， 所以x(x－1)＝2，解得x＝2或x＝－1. 又因为x>1，所以x＝－1不符合题意，舍去， 所以原方程的根为x＝2. 解析 9.求下列各式的值： (1)2log32－log3＋log38－3log55； 原式＝log34－log3＋log38－3＝ log3－3＝log332－3 ＝2－3＝－1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2). 原式＝ ＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xy3z2)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 lg(xy3z2)＝lg x＋lg y3＋lg z2 ＝lg x＋3lg y＋2lg z. 解 (2)lg； lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z. 解 (3)lg； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z. 解 (4)lg. lg＝lg－lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z. 解 11.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于 A. B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得x＝a2＝b＝c4， 所以(abc)4＝x7，所以abc＝，即logx(abc)＝. 解析 12.(多选)已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是 A.(2a)2＝2b B.a·eln a＝b C.b＝2a D.b＝a2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2log3＋log3b＝0，得a>0，b>0，且log3a－2＋log3b＝0， 即log3(a－2b)＝0，∴a－2b＝1，b＝a2， 而b＝2a不总是成立，则C错误，D正确； 由于(2a)2＝2b，即22a＝2b， ∴b＝2a，结合以上分析可知A错误； 由于a·eln a＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确. 解析 13.观察下表： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知表中的对数值有且只有一个是错误的，则其中对数值错误的是 A.lg 1.5 B.lg 5 C.lg 6 D.lg 8 √ x 1.5 3 5 6 8 9 lg x 3a－b＋c 2a－b a＋c 1＋a－b－c 3[1－(a＋c)] 2(2a－b) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 观察表格发现，lg 3＝2a－b，lg 9＝2(2a－b)，满足lg 9＝2lg 3，由于表中的对数值有且只有一个是错误的，因此lg 3与lg 9都正确. 同理，lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)，所以lg 8与lg 5都正确. lg 6＝lg 2＋lg 3＝(1－lg 5)＋lg 3＝1－(a＋c)＋(2a－b)＝1＋a－b－c，所以lg 6也正确.因此，只能是lg 1.5错误. 解析 14.已知a，b是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，若a，b满足lg(a＋b)＝lg a＋lg b，则一组符合题意的p，q的值分别为_______________________ ____________________________________. 由题意得 又lg(a＋b)＝lg a＋lg b＝lg(ab)，即a＋b＝ab，即－p＝q>0， 令p＝－5，则q＝5， ∴一组符合题意的值为p＝－5，q＝5.答案不唯一. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p＝－5，q＝5(答案不唯 一，需满足p＋q＝0，q>0，p2－4q≥0) 15.设m＝265＋1，n＝245，则约等于(参考数据：lg 2≈0.3) A.1020 B.103 C.106 D.109 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵m＝265＋1，n＝245，且lg 2≈0.3， ∴lg ＝lg m－lg n＝lg(265＋1)－lg 245 ≈lg 265－lg 245＝65lg 2－45lg 2＝20lg 2≈6， ∴≈106. 解析 √ 16.甲、乙两人解关于x的方程：(log2x)2＋blog2x＋c＝0.甲写错了系数b， 得到根为，，乙写错了常数c，得到根为，64.求方程真正的根. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原方程为(log2x)2＋blog2x＋c＝0， ∵甲写错了b，得到根为，， ∴c＝log2×log2＝－2×(－3)＝6. 又∵乙写错了c，得到根为，64，∴b＝－＝－5， ∴原方程为(log2x)2－5log2x＋6＝0， 即(log2x－2)(log2x－3)＝0， ∴log2x＝2或log2x＝3， 解得x＝4或x＝8. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章　对数运算与对数函数 <<< $