4.2.2 换底公式（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦对数换底公式的推导与应用，以“货币兑换”生活实例导入，类比对数中不同底数的转换问题，衔接对数运算性质，通过计算器功能局限的问题驱动推导，构建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于以生活情境激活数学眼光，用“货币兑换”类比让学生感知换底公式的现实意义，推导过程注重数学思维，从设元到推理证明培养逻辑推理能力，题型涵盖计算、证明、实际应用等，用数学语言解决问题。学生能提升运算与推理能力，教师可高效备课，落实核心素养。

4.2.2 换底公式 第四章 对数运算与对数函数 北师大版2019必修第一册·高一 前情回顾 当，且，,则对数具有如下运算性质 性质1： 性质2： 性质3： 对数的运算性质 学 习 目 标 1 2 3 通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算.(重点、难点) 能够应用换底公式进行一些简单的化简与证明.(难点) 运用对数运算性质解决有关问题． 读教材 阅读课本P104-P105，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“换底公式”吧！ 1.对数的换底公式是什么？ 2.如何把一般对数转化成自然对数或常用对数？ 3.如何应用对数的运算性质及换底公式解决有关问题？ 新课引入 “货币兑换”奇遇记 小明去国外旅游，手里有人民币，想换欧元，但机场兑换点只提供“人民币换美元”和“欧元换美元”的汇率：1人民币≈0.14美元，1欧元≈1.09美元。怎么算1欧元能换多少人民币？ 可以用美元当中间货币，1欧元=1.09÷0.14≈7.79人民币。 “对数里也有类似的‘兑换难题’！我们熟悉以10为底的‘常用对数’（像美元），知道、，但现在要算以2为底的（像人民币换欧元），没有直接‘汇率’怎么办？” “这时候就需要‘对数界的兑换公式’——换底公式！它能让我们用熟悉的‘常用对数’当中间量，轻松算出任意底数的对数结果。” 学习过程 01 03 02 目录 1 换底公式的推导证明 3 课堂小结 2 题型训练 问题提出 在许多的计算器上只有常用对数键“LOG”（即“lg”）和自然对数键“LN”（即“ln”)。 对一般的底数a＞0，且a≠1和b＞0，要计算logab，必须将它转换为常用对数或自然对数。 如何转换呢？ 常用对数 自然对数 分析理解 思考1：如何利用计算器求的值 用计算器中的常用对数键“LOG”算出的值: 设，则5，等式两边取常用对数，得 ，所以． 同理可得 ．这就同样可以用计算器中的自然对数键“LN”算出 的值． 新知探究 思考2：通过操作计算器的过程，你能总结出什么规律？ 思考3：能否推广到所有的对数呢？ 可以推广到所有对数，当 抽象概括 换底公式 注意：(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义； (2) 换底公式用于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明； 新知探究 思考4：能否用其他方法证明对数的换底公式吗？ 证明：令 ， 则 ，， 计算得，故 ，等式两边同时取以为底的对数： ， 所以 新知探究 换底公式的推导公式 (且，且 且，，． 且， 你能试着证明以上结论吗？ 牛刀小试 辨析：判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. × × √ 学习过程 01 03 02 目录 1 换底公式的推导证明 3 课堂小结 2 典例剖析 例题剖析 例3.计算： （1）； （2） （3）（0，0，且，） 解：根据对数的换底公式，得 (1)； (2)； (3). 例题剖析 例4. 计算：(1) 解：根据对数的换底公式，得； 例题剖析 例4. 计算：(2) 解：根据对数的换底公式，得； （2） 归纳小结 思路一 思路二 用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数 一次性统一换位常用对数（或自然对数）→化简、同分、求值 方法总结 (1)换底公式的本质是化异底为同底，也可以将一般对数化为常用对数或自然对数，解决一般对数的求值问题．(2)利用换底公式计算、化简、求值的一般思路： 学习过程 01 03 02 目录 1 换底公式的推导证明 3 题型训练 2 典例剖析 题型训练 题型一 用换底公式化简计算 练习1：计算 ； . 解: . . 题型训练 题型二 对数的综合运算 题型训练 题型三 与对数有关的条件等式求值 D 题型训练 题型三 与对数有关的条件等式求值 练习4：设求的值. 解： 题型训练 题型四 与对数有关的最值 练习5：设,且,满足,用表示,并求当取何值时,取得最小值. 解：由换底公式得： 整理得： 则有： 所以，当,即 时，取得最小值 题型训练 题型五 对数的实际应用 练习6：一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字). 解: 设最初的质量是1,经过年,剩留量是.则 经过1年,剩留量是; 经过2年,剩留量是; ...... 经过年,剩留量是 . ∴ ∴ ∴ 约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半 课堂小结 （1）换底公式 （2）换底公式的推导公式 (且，且 且，，． 且， 感谢聆听! (1)因为,所以lg 2可以写成ln 2.( ) (2)log32不可以表示成log32=.( ) (3)ln N=是对ln N通过以10为底的换底公式得到的.( ) $