第4章 章末复习课 对数运算与对数函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学讲义通过知识网络框架图系统构建了对数单元的知识体系，梳理了对数运算、比较大小、图象及性质应用四大核心内容，按“基础运算-性质应用-综合拓展”递进呈现，清晰展示各知识点内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“例题解析+反思感悟+跟踪训练”的分层设计，如例1结合换底公式化简对数式，例2利用函数单调性比较大小，培养数学运算与逻辑推理素养。方法指导具体可操作，基础生能掌握运算规则，优秀生可深化解题技巧，助力教师实施精准复习教学。

一、对数运算 1.对数的运算主要考查对数与指数的互化、对数的运算性质、对数恒等式以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明等. 2.掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养. 例1　(1)已知log152＝a，b＝log35，则log12518＝　　　　.  答案　 解析　a＝log152＝， 所以log32＝a(b＋1)＝ab＋a， log12518＝ ＝. (2)化简求值：2log32－log3＋log38－2. 解　原式＝log34－log3＋log38－ ＝log3＝log39－9＝2－9＝－7. 反思感悟　对数的运算应遵循的原则 (1)统一底数：借助换底公式，化异底为同底. (2)运用性质：熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式进行对数计算、化简、证明. (3)检验等价性：对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价. 跟踪训练1　计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为　　　　.  答案　111 解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23 ＝×＝1， ∴原式＝×＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 二、比较大小 1.比较大小是对数函数性质应用的一个重要体现，会根据数据信息构造函数并能借助相应函数的图象及性质比较数的大小. 2.掌握数的大小比较的方法，提升数学建模和逻辑推理素养. 例2　(1)设函数f(x)＝lox，若a＝f(log32)，b＝f(log52)，c＝f(20.2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c 答案　C 解析　 根据题意，函数f(x)＝lox在(0，＋∞)上为减函数，又由0<log52<log32<1<20.2，则f(20.2)<f(log32)<f(log52)，即c<a<b. (2)设m，n，t为正数，且3m＝4n＝5t，则(　　) A.m<n<t B.n<m<t C.n<t<m D.t<n<m 答案　D 解析　方法一　令3m＝4n＝5t＝k，则k>1， m＝log3k，n＝log4k， t＝log5k， 在同一平面直角坐标系中画出y＝log3x，y＝log4x， y＝log5x的图象及直线x＝k， 结合图象知t<n<m. 方法二　令3m＝4n＝5t＝k，则k>1，易得m＝log3k＝，n＝log4k＝，t＝log5k＝， 又当k>1时，函数f(x)＝logkx在(0，＋∞)上单调递增， 且1<3<4<5， ∴0<logk3<logk4<logk5， ∴>>， 即t<n<m. 反思感悟　数的大小比较常用方法 常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法. (1)对数式的比较，可将其看成某个对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较. (2)幂、指、对函数值的大小比较：先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小. 跟踪训练2　已知a＝log0.92 024，b＝2 0240.9，c＝0.92 024，则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 答案　A 解析　a＝log0.92 024<0，b＝2 0240.9>1，c＝0.92 024∈(0，1)，则a<c<b. 三、对数函数的图象及其应用 1.对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题. 2.掌握对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养. 例3　(1)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是(　　) 答案　C 解析　函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝，此函数在R上为减函数，其图象过点(0，2)，所以选项C中的图象符合要求. (2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) A.{x|－1<x≤0} B.{x|－1≤x≤1} C.{x|－1<x≤1} D.{x|－1<x≤2} 答案　C 解析　作出函数y＝log2(x＋1)的图象如图. 由 解得 所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}. 反思感悟　对数函数图象识别及应用 (1)识别：注意函数图象上的特殊点及函数自身的性质(定义域、单调性、对称性、最值等)，同时运用图象平移、对称、翻折等知识加以筛选. (2)应用：借助对数函数的图象可以求图象的交点个数、函数的最值、解不等式等. 跟踪训练3　函数y＝与y＝log2x的图象的交点个数为(　　) A. 0 B.1 C. 2 D.无数 答案　B 解析　在同一坐标系中画出函数y＝与y＝log2x的图象，如图所示. 由图知它们的图象有1个交点. 四、对数函数的性质及其应用 1.以对数函数的性质为依托，结合运算考查对数函数的图象性质，以及利用性质解不等式等.在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围. 2.掌握对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 例4　已知函数f(x)＝loga(10＋x)－loga(10－x)(a>0，且a≠1). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若f(x)>0，求x的取值范围. 解　 (1)要使函数有意义，则 解得－10<x<10， 所以函数的定义域为(－10，10). (2)函数的定义域关于原点对称， 且f(－x)＝loga(10－x)－loga(10＋x) ＝－[loga(10＋x)－loga(10－x)]＝－f(x)， 即函数f(x)是奇函数. (3)若f(x)>0， 则f(x)＝loga(10＋x)－loga(10－x)>0， 即loga(10＋x)>loga(10－x)， 若a>1，则 解得0<x<10， 若0<a<1，则 解得－10<x<0， 综上，当a>1时，x的取值范围为(0，10)， 当0<a<1时，x的取值范围为(－10，0). 反思感悟　求解与对数函数有关的复合函数的问题时，需要弄清楚三个方面的问题 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论； (2)底数与1的大小关系； (3)复合函数的构成，如y＝logaf(x)是由y＝logau与u＝f(x)构成的. 跟踪训练4　已知x满足－lox－6≤0，求f(x)＝(1＋log2x)log2的最大值与最小值及相应x的值. 解　由－lox－6≤0， 得－2≤lox≤3， 解得≤x≤4. f(x)＝(1＋log2x)＝(1＋log2x)(log2x－2)，x∈， 令t＝log2x∈[－3，2]， 则y＝(t＋1)(t－2)＝t2－t－2＝， 所以当 t＝，即log2x＝，x＝时， f(x)min＝－； 当t＝－3，即log2x＝－3，x＝时， f(x)max＝10. 学科网（北京）股份有限公司 $