第3章 §3 第1课时 指数函数的概念和图象（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念和图象，通过A4纸对折游戏导入，引导学生发现折叠次数与层数、面积的关系，搭建从实际问题到数学概念的学习支架，帮助学生理解指数函数的定义及图象特征。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过定义辨析、列表描点画图象等活动培养数学思维，结合例题与跟踪训练强化理解。课堂小结梳理知识清单与方法，帮助学生形成系统认知，教师可借助资料提升教学效率，促进学生抽象能力与几何直观的发展。

第1课时 指数函数的概念和图象 第三章　§3　指数函数 <<< 1.理解指数函数的概念. 2.会画指数函数的图象并能简单应用. 学习目标 同学们，让我们来做个小游戏吧！将一张A4纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(假设原面积为1)与折叠的次数有什么关系？今天就让我们一起来探究一下这个问题吧！ 导 语 一、指数函数的概念 二、指数函数的图象 课时对点练 三、指数函数图象的简单应用 内容索引 指数函数的概念 一 指数函数的概念 (1)定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有 的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数. (2)基本性质 ①定义域是 ，函数值 ； ②图象过定点 . 唯一确定 R 大于0 (0，1) (1)常数a在底数位置且a>0，且a≠1. (2)自变量x在指数位置. (3)指数幂的系数为1. 注 意 点 <<< 7 　(1)(多选)下列函数中不是指数函数的是 A.y＝ B.y＝(－3)x C.y＝－3x D.y＝(π－3)x √ 例 1 由于y＝的自变量出现在底数位置，因而不是指数函数；y＝(－3)x的底数是－3，不符合定义，因而不是指数函数；y＝－3x中，3x前面的系数不是1，因而不是指数函数，只有D是指数函数. 解析 √ √ 8 (2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝　　　.  2 由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数， 可得解得a＝2. 解析 9 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求(大于0且不等于1). (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求. 反 思 感 悟 10 　(1)下列各函数中，是指数函数的为 A.y＝x5 B.y＝ax C.y＝5x＋1 D.y＝25x 跟踪训练 1 √ A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数； B中，自变量出现在指数上，但当a＝1时，不满足指数函数的定义，故不一定是指数函数； C中，指数是x＋1，故不是指数函数； D中，y＝25x符合指数函数的定义，故是指数函数. 解析 11 (2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是 A.(0，1)∪(1，＋∞) B.[0，1)∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. √ 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1， 解得a>，且a≠1. 解析 12 二 指数函数的图象 提示　y＝2x和y＝的图象如图所示. 用列表、描点、连线的画图步骤， (1)完成下列表格， (2)画出指数函数y＝2x与y＝的图象. 问题 x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝2x               y＝               1 2 4 8 8 4 2 1   a>1 0<a<1 图象     指数函数的图象 知识梳理 (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0，1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 注 意 点 <<< 16 　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c √ 例 2 作直线x＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. 解析 17 (2)函数f(x)＝ax＋1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　 　　　.  在f(x)＝ax＋1－2中， 令x＋1＝0，解得x＝－1， f(－1)＝a0－2＝－1， 所以函数的图象恒过定点(－1，－1). 解析 (－1，－1) 18 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时，图象的大致形状. (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 反 思 感 悟 19 　已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为 跟踪训练 2 由于0<m<n<1，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交(图略)，交点在下面的是函数y＝mx的图象，在上面的是函数y＝nx的图象. 解析 √ 20 指数函数图象的简单应用 三 　(1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是 例 3 f(x)＝ax－，则f(0)＝1－， 当a>1时，f(x)为增函数，且f(0)＝1－∈(0，1)，排除A，B； 当0<a<1时，f(x)为减函数，且f(0)＝1－<0，排除C，故选D. 解析 √ 22 (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围为　　　　.  23 ①若a>1，如图①所示， 由题意可知，0<2a<1， 所以0<a<，与a>1矛盾， 舍去. ②若0<a<1，如图②所示， 由题意可知，0<2a<1，所以0<a<，满足题意. 故实数a的取值范围为. 解析 ① ② 24 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性. 反 思 感 悟 25 (1)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于 A.8 B.16 C.32 D.64 跟踪训练 3 √ 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， 由指数函数y＝f(x)的图象经过点， 可得a－2＝，解得a＝2， 函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64. 解析 26 (2)若函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b为实数)的图象在第一、三、四象限，则有 A.0<a<1，b>1 B.0<a<1，b<1 C.a>1，b<1 D.a>1，b>1 √ 由题意，画出函数的草图， 结合图象可得a>1，1－b<0， ∴a>1，b>1. 解析 27 1.知识清单： (1)指数函数的概念. (2)指数函数的图象. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：易忽视底数a的限制条件；易忽视对于a是否大于1进行讨论. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D ACD C A A －8 －8 题号 11 12 13 14 15 答案 D B CD (0，1) A 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知 所以 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图.   (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的. (2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以 又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. (2)由题图②知f(x)单调递减， 所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1. 故a的取值范围为(0，1)， b的取值范围为(－∞，－1). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)由(1)知f(x)＝()x－3，则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根， 则m＝0或m≥3.   故m的取值范围为{0}∪[3，＋∞). 基础巩固 1.下列函数中，是指数函数的是 A.y＝ B.y＝ax(a>0，且a≠1) C.y＝1x D.y＝－1 √ 由指数函数的定义可判定，只有B正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于 A.8 B. C.4 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数， ∴解得a＝2， ∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2. 解析 3.(多选)已知指数函数f(x)满足f ，则下列结论中正确的是 A.f(x)＝5x B.f(x)＝5－x C.f(－1)＝ D.5f(1)＝f(2) √ 设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，于是，因此a＝5，函数f(x)＝5x，A正确，B错误； f(－1)＝5－1＝，5f(1)＝5×5＝25＝52＝f(2)，C，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 4.函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于 A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y＝－x对称 √ 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点.因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象一定不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数y＝ax＋b恒过点(0，1＋b)， 因为b<－1，所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上. 又0<a<1，故图象一定不经过第一象限. 解析 7.已知函数f(x)＝3ax－2＋5(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，点P又在幂函数g(x)的图象上，则g(－2)的值为　　　　.  ∵f(x)＝3ax－2＋5， 令x－2＝0，得x＝2，∴f(2)＝3a0＋5＝8， 即f(x)的图象恒过点P(2，8). 设g(x)＝xα，把P(2，8)代入得2α＝8， 解得α＝3，即g(x)＝x3， 故g(－2)＝(－2)3＝－8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －8 8.已知函数f(x)＝则f(f(2))＝　　　.  ∵f(2)＝－＝－<0， ∴f(f(2))＝f ＝－8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －8 9.已知函数f(x)＝3x＋3ax＋b，且f(1)＝12，f(2)＝36.求a，b的值. 由题意知 所以 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y＝2x的图象经过怎样的变换得到的. (1)y＝2x＋1； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图. y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的. 解 (2)y＝2x－1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的. 解 11.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1； 又当x＝0时，f(x)<1，即a－b<1＝a0，∴－b>0，即b<0. 解析 12.函数y＝a|x|(a>1)的图象是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 函数y＝a|x|是偶函数，当x≥0时，y＝ax，且图象过点(0，1). 又由a>1可知选项B正确. 解析 13.(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的是 A.f(x＋y)＝f(x)f(y) B.f(x－y)＝ C.f(nx)＝nf(x)(n∈Q) D.[f(xy)]n＝[f(x)]n·[f(y)]n(n∈N＋) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确； f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝，B正确； f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确； [f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n·[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确. 解析 14.若关于x的方程＝k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (0，1) 由题意知，y＝与y＝k的图象有两个不同的交点， 又y＝ 如图所示，所以0<k<1. 解析 15.在下列图象中，二次函数y＝ax2＋bx及指数函数y＝的图象只可能是 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据指数函数的定义，可知a，b同号且不相等， ∴－<0，可排除B，D； 由选项C中二次函数的图象，可知a－b>0，a<0，∴>1， ∴由指数函数的图象可知，C不正确，排除C. 解析 16.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图①知f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以 又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. 解 (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图②知f(x)单调递减， 所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1. 故a的取值范围为(0，1)， b的取值范围为(－∞，－1). 解 (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知f(x)＝()x－3，则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根， 则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为{0}∪[3，＋∞). 解 第三章　§3　指数函数 <<< $