第三章 指数运算与指数函数 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数运算与指数函数，体系构建涵盖指数概念、运算及对数函数图像性质，分层探究通过典例与对点练衔接基础与综合，搭建递进式学习支架。 其亮点是分层探究梯度设计与考教衔接真题溯源，以典例解析培养数学思维，真题与教材关联提升数学语言应用能力，助力学生深化理解，方便教师高效教学。

章末综合提升 　 第三章　指数运算与指数函数 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 单元检测卷 4 内容索引 体 系 构 建 返回 返回 分 层 探 究 返回 探究点一　指数幂的运算 (1)求＋－0.06的值. 解：原式＝＋－＝π－3＋3－－＝π－－. 典例 1 (2)已知－＝1，求的值. 解：因为－＝1， 所以(－)2＝a＋a－1－2＝1， 即a＋a－1＝3， 因为(－)(a＋a－1)＝＋－－＝3， 所以－＝3＋－＝4， 所以原式＝＝. 　　指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂再运算，其次若出现分式则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的. 规律方法 对点练1.化简、求值： (1)(－2)(3)(－4)； 解：原式＝·＝24y. (2)－＋0.00×. 解：原式＝－＋0.× ＝－＋0.2－2×＝－＋25×＝. 探究点二　指数函数的图象及其应用 (1)(多选题)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数y＝(a＞0，且a≠1)的图象的大致形状可能是 典例 2 √ √ 当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上单调递减，当x＜0时，y＝－ax在(－∞，0)上递增，y＜－1，当x＞0时，y＝ax在(0，＋∞)上递减，0＜y＜1，故A不满足，D符合题意；当a＞1时，函数y＝ax在R上单调递增，当x＜0时，y＝－ax在(－∞，0)上递减，－1＜y＜0，当x＞0时，y＝ax在(0，＋∞)上递增，y＞1，故C不满足，B符合题意.故选BD. (2)若函数f(x)＝＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是__________. [－1，0) 令f(x)＝＋m＝0，则－m＝，令g(x)＝ ，作出函数g(x)＝的图象，如图.依题意0＜－m≤1，即－1≤m＜0，故实数m的取值范围是[－1，0). 规律方法 　　指数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换. 对点练2.(1)在下图中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与指数函数y＝的图象只可能是 √ 因为y＝为指数函数，所以＞0，且≠1，所以－＜0，因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－，所以排除B、D，由指数函数的图象可知0＜＜1，所以－＜－＜0，所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误.故选A. (2)(多选题)若＝3b，则下列结论可能正确的是 A.a＜0＜b B.a＝b C.b＜0＜a D.a＞b＞0 √ √ √ 在同一平面直角坐标系内作出y＝3x和y＝的图象， 若＝3b＞1，则a＜0＜b，故A正确；若＝3b ＝1，则a＝b＝0，故B正确；若＝3b＜1，则b＜0＜a，故C正确.故选ABC. 典例 3 探究点三　指数函数单调性的应用 已知函数y＝(a－1)x是指数函数，该指数函数的图象经过点(2，4). (1)求函数的表达式； 解：因为指数函数的图象经过点(2，4)，所以解得a＝3，所以y＝2x. (2)解关于x的不等式＞. 解：因为y＝是单调递减函数，由＞得3＞，解得＜x＜， 所以不等式的解集为. 　　在解与指数函数有关的不等式时，主要是利用指数函数的性质，或利用换元法转化为一元二次不等式. 规律方法 对点练3.(1)(多选题)以下关于数的大小的结论正确的是 A.1.72.5＜1.73 B.0.8－0.1＜0.8－0.2 C.1.50.3＜0.93.1 D.(＜( √ √ √ 对于A，因为指数函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，所以1.72.5＜1.73，故A正确；对于B，因为指数函数y＝0.8x在R上单调递减，且－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2，故B正确；对于C，因为1.50.3＞1.50＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，所以1.50.3＞0.93.1，故C不正确；对于D，＝，且＝，所以＜，故D正确.故选ABD. (2)若命题“∀a，b∈R，a－2b＜b－2a”为真命题，则a，b的大小关系为 A.a＜b B.a＞b C.a≤b D.a≥b √ 由a－2b＜b－2a，得a＋2a＜b＋2b.令f(x)＝x＋2x，易知f(x)在上是增函数，因为“∀a，b∈R，a－2b＜b－2a”为真命题，即f(a)＜f(b)，所以a＜b.故选A. 探究点四　指数函数性质的综合应用 已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)当a＝1时，解不等式f(x)＞0； 解：当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1， 所以f(x)＞0，即2·(2x)2－2x－1＞0， 解得2x＞1，或2x＜－(舍去)， 所以x＞0， 即不等式f(x)＞0的解集为(0，＋∞). 典例 4 (2)当a＝，x∈[0，2]时，求f(x)的值域. 解：当a＝时，f(x)＝4x－2x－1， 设t＝2x，由x∈[0，2]得t∈[1，4]， 此时，y＝t2－t－1，t∈[1，4]， 因为y＝t2－t－1的图象是开口朝上，且以t＝为对称轴的抛物线， 所以y＝t2－t－1在区间[1，4]上为增函数， 所以当t＝1时，函数取最小值－1，当t＝4时，函数取最大值11， 故f(x)的值域为[－1，11]. 　　指数函数的图象和性质、方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题注意进行分类讨论.同时要注意变量本身的取值范围，以免出现增根. 规律方法 对点练4.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1). (1)若函数f(x)的图象过(0，2)和(2，10)两点，求f(x)在[0，1]上的值域； 解：由题意，f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，f(2)＝a2＋b＝10， 又a＞0，解得a＝3，b＝1，所以f(x)＝3x＋1. 因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以3x＋1∈[2，4]， 所以f(x)在[0，1]上的值域为[2，4]. (2)若0＜a＜1，且函数f(x)在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a 的值. 解：当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，3]上单调递减， 所以f(x)max＝f(2)＝a2＋b， f(x)min＝f(3)＝a3＋b， 因此－＝， 解得a＝或a＝0(舍去)， 所以a＝. 返回 考 教 衔 接 返回 (2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 真题 1 √ 根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件.故选C. 溯源：(教材P92B组T3)设y1＝a3x＋1，y2＝a－2x，其中a＞0，且a≠1.当x为何值时，有： (1)y1＝y2；(2)y1＞y2. 点评：该高考题主要考查已知幂函数与指数函数的单调性，与教材习题角度相似，难度相当. (2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为 A.f(x)＝－x B.f(x)＝ C.f(x)＝x2 D.f(x)＝ 真题 2 √ 法一(排除法)：取x1＝－1，x2＝0，对于A有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A不符合题意；对于B有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B不符合题意；对于C有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C不符合题意.故选D. 法二(图象法)： 如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函 数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意.故选D. 溯源：(教材P68思考交流T1和P88表3－6)你画过y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象吗？请将这5个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2－3. 表2－3 函数性质 y＝x y＝ y＝x2 y＝ y＝x3 定义域           值域           单调性           奇偶性           表3－6 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图 象     性 质 (1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 性 质 (4)当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 (4)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 (5)在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 (5)在R上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 点评：该高考试题直接考查幂函数与指数函数的单调性，难度不大，直接利用教材中的性质. (2022·北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有 A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝0 C.f(－x)＋f(x)＝1 D.f(－x)－f(x)＝ 真题 3 √ f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1，故A错误，C正确；f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝1－，不是常数，故B，D错误.故选C. 溯源：(教材P92B组T4)设f(x)＝3x，求证： (1)f(x)·f(y)＝f(x＋y)； (2)＝f(x－y). 点评：本高考题来源于教材，但高于教材，通过改变函数关系式实现对教材的引申与拓展；难度高于教材. (2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为 A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 真题 4 √ 由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.故选D. 溯源：(教材P91A组T4)比较下列各组数的大小： (1)31.2，32.2，； (2)，，. 点评：本高考题来源于教材，与教材习题相似，难度相当. (2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 真题 5 √ 因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0，又因为x不恒为 0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 溯源：(教材P95B组T2)已知函数f(x)＝是奇函数，求g(2) 的值. 点评：本高考题与教材习题相似，均考查利用函数的奇偶性求值，只是解析式复杂，难度略高于教材习题. (2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) 真题 6 √ 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞).故选D. 溯源：(教材P94A组T7)求下列函数的值域： (1)y＝6－41－x； (2)y＝(－1≤x≤2). 点评：本高考题与教材习题相似，均考查指数型函数的单调性的应用，只是解析式复杂，难度略高于教材习题. 返回 单 元 检 测 卷 返回 1.用分数指数幂的形式表示a3·(a＞0)的结果是 A. B. C.a4 D. 因为a＞0，所以a3·＝a3·＝＝.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知当x＞0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是 A. B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D. √ 根据指数函数性质知3a－2＞1，解得a＞1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点P，则定点P的坐标是 A.(1，2) B.(1，1) C.(0，1) D. √ 由函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)，令x－1＝0，即x＝1，可得f(1)＝a0＋1＝2，所以函数f(x)的图象恒过定点P(1，2).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知－＝，则a2－a－2＝ A.3 B.±3 C.21 D.±21 由－＝得(－)2＝a－2＋a－1＝5，即a＋a－1＝7，故＋＝＝＝＝3，故a－a－1＝(＋)(－)＝3，故a2－a－2＝(a＋a－1)(a－a－1)＝21.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.函数f(x)＝－1的图象大致为 由f(x)＝－1可知，当x≥0时，f(x)＝－1单调递减，且f(x)≤f(0)＝0.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是：M＝ M0·a－0.008t(其中M0为3H的初始质量).已知经过125年3H的质量衰减为最初的，则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为 A.325年 B.375年 C.600年 D.1 000年 √ 由题意得M0＝M0·a－0.008×125，解得a＝2，令M＝M0，则M0＝ M0·2－0.008t，解得t＝375.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.若＜＜＜1，则 A.aa＜ab＜ba B.aa＜ba＜ab C.ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa 若＜＜＜1，且∈(0，1)，函数f(x)＝在R上为减函数，f(1)＜f(b)＜f(a)＜f(0)，则0＜a＜b＜1，函数y＝ax在R上为减函数，有ab＜aa，函数y＝xa在(0，＋∞)上为增函数，有aa＜ba，可得ab＜aa＜ba.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.(新定义)若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)图象上， (2)点A，B关于原点对称，则称点对是函数f(x)的一个“孪生点对”；已知函数f(x)＝则f(x)的“孪生点对”有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 作出f(x)的图象，再作出函数y＝，x≥0关于原点 对称的图象如图所示.函数y＝，x≥0关于原点对 称的图象与y＝－，x＜0的图象有三个交点， 故f(x)图象上“孪生点对”有3对.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 A.－＝(－x B.＝ C.＝ D.＝ 对于A，－＝－(x≥0)，而(－x＝(x≤0)，故A错误；对于B，＝(y＞0)，故B正确；对于C，＝＝(x＞0)，故C正确；对于D，＝＝(x＞0)，故D正确.故选BCD. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知函数f(x)＝则下列结论中错误的是 A.f(x)的值域为(0，＋∞) B.f(x)是单调函数 C.f(x)的图象与直线y＝2有两个交点 D.f(x)是偶函数 √ √ √ 当x≤0时，f(x)＝－1单调递减，且f(x)∈[0，＋∞)，当x＞0时，f(x)＝单调递增，且f(x)∈(0，＋∞)，所以f(x)的值域为[0，＋∞)，故A错误；f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；又函数f(x)的图象与直线y＝2在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别有一个交点，共有两个交点，故C正确；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x≠－1，即f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)不是偶函数，故D错误.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知函数g(x)＝(无理数e＝2.718 281…)，则下面几个结论正确的有 A.函数y＝g(x)为偶函数 B.函数y＝g(x)为奇函数 C.函数y＝g(x)在其定义域内单调递减 D.函数y＝g(x)的值域为(－1，1) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 函数g(x)＝，定义域为R，g(－x)＝＝＝－g(x)，所以函数g(x)＝为奇函数，故A错误，B正确；g(x)＝＝－1，显然y＝在R上单调递减，则f(x)＝＝－1在R上单调递减，故C正确；函数g(x)＝＝－1，因为1＋ex＞1，所以0＜＜1，则0＜＜2，所以－1＜－1＜1，即g(x)的值域为(－1，1)，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知10a＝3，10b＝4，则10a＋b的值是______. 由题意得10a＋b＝10a·10b＝3×4＝12. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.若函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数y＝(1－4m)x在R内是增函数，则a＝_____. 若函数g(x)＝x在R内是增函数，则1－4m＞0，m＜，若a＞1，因为函数y＝f(x)＝ax上单调递增，最大值是4，最小值为m，所以a2＝4，m＝a－1＝，解得a＝2，m＝，不满足m＜；若0＜a＜1，因为函数y＝f(x)＝ax上单调递减，最大值是4，最小值为m，所以a－1＝＝4，m＝a2，解得a＝，m＝，满足m＜，所以a＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.若函数f(x)＝在R上满足＞0，则实数a 的取值范围为__________. 因为函数f(x)＝是R上的增函数，所以解得4≤a＜8，所以实数a的取值范围是[4，8). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)求下列各式的值： (1)＋×÷－； 解：原式＝［()3＋××－1 ＝(＋××－1 ＝()－2＋()－2×－1＝＋1＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)＋××. 解：原式＝＋×××1＝＋×××× ＝＋×××××＝＋××＝＋1＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知函数y＝f(x)是指数函数，且它的图象过点(2，4). (1)求函数f(x)的解析式； 解：设函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 把点(2，4)代入f(x)＝ax可得a2＝4，求得a＝2， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)画出指数函数y＝f(x)的图象，并根据图象解不等式f(2x)＞f(－x＋3). 解：画出指数函数y＝f(x)的图象如图所示： 所以函数f(x)＝2x在R上单调递增；由不等式f(2x)＞f(－x＋3)，可得2x＞－x＋3，解得x＞1， 故不等式的解集为(1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数(a＞0，b＞0). (1)求f(x)的解析式； 解：由函数f(x)＝是R上的奇函数，则有f(0)＝＝0，解得a＝3， 即f(x)＝， ∀x∈R，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)， 即∀x∈R，b·3x＋1＝3x＋b，解得b＝1，经验证得a＝3，b＝1时，f(x)是奇函数， 所以f(x)＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求当x∈[0，1]时，函数g(x)＝f(x)·(3x＋1)＋9x－1的值域. 解：由(1)知，g(x)＝f(x)·(3x＋1)＋9x－1＝3－3x＋1＋9x－1＝(3x)2－3×3x＋2＝(3x－)2－， 当x∈[0，1]时，1≤3x≤3，因此当3x＝时，g(x)min＝－，当x＝1时，g(x)max＝2， 所以所求值域为［－，2］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)定义在D上的函数f(x)，若对任意x∈D，存在常数M＞0，都有≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)＝. (1)若f(x)是奇函数，判断函数f(x)(x∈R)是否为有界函数，并说明理由； 解：法一：若f(x)是奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0， 则＋＝＋＝0， 所以＝0恒成立， 所以f(x)是奇函数时，m＝1， 此时f(x)＝＝＝－1， 由2x＞0，知1＋2x＞1，于是0＜＜2，则－1＜－1＜1， 故x∈R时，－1＜f(x)＜1，即｜f(x)｜＜1， 所以函数f(x)(x∈R)为有界函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 法二：因为f(x)(x∈R)为奇函数，可得f(0)＝0，则有1－m＝0，解得m＝1. 经检验，m＝1时，f(x)为奇函数. 此时f(x)＝＝＝－1， 由2x＞0，知1＋2x＞1，于是0＜＜2，则－1＜－1＜1， 故x∈R时，－1＜f(x)＜1，即｜f(x)｜＜1， 所以函数f(x)(x∈R)为有界函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若f(x)在上是以为上界的函数，求实数m的取值范围. 解：若函数f(x)在为上界的函数，则有≤上恒成立， 故－≤f(x)≤恒成立， 即－≤≤恒成立， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即 由题可知，不等式组上恒成立. 因为y＝－上单调递减，其最大值为； 又y＝＋上单调递减，其最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以≤m≤， 故实数m的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R).请在下面三个函数： ①g1(x)＝5x；②g2(x)＝5x2；③g3(x)＝125x中，选择一个函数作为g(x)，使得f(x)具有奇偶性. (1)请写出g(x)的表达式，并求a的值； 解：若选①：g(x)＝5x，则f(x)＝，定义域为R， 若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝≠0，故函数不能是奇函数， 若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝＝＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由f(－x)＝f(x)，可得＝， 化简可得a＝(x≠0)， 则a不为常数，即函数f(x)＝不可能为偶函数，不符合题意. 若选②，g(x)＝5x2，则f(x)＝. 若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝≠0，不符合题意； 若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝＝＝， 由f(－x)＝f(x)，可得＝， 整理可得a＝－＝－＝－(x≠0)， 则a不为常数，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若选③，g(x)＝125x， 则f(x)＝＝5x＋·5－x， f(－x)＝5－x＋·5x， 当f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)， 即f(x)＋f(－x)＝(5x＋5－x)＝0， 可得a＝－1； 当f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)， 则f(x)－f(－x)＝(5x－5－x)＝0，可得a＝1. 故g(x)＝125x，a＝±1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当f(x)为奇函数时，若对任意的x∈，都有f(2x)≥mf(x)成立，求实数m的取值范围. 解：由(1)知，当f(x)为奇函数时，a＝－1，f(x)＝5x－5－x， 因为x∈，所以5x∈， 由于函数y1＝5x在上为增函数，函数y2＝5－x在上为减函数， 所以函数f(x)＝5x－5－x在上为增函数，则f(x)∈， 若对于任意的x∈，都有f(2x)≥mf(x)成立， 所以m≤＝＝，设t＝5x∈，φ(t)＝t＋， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 任取t1，t2∈，且t1＜t2， 即≤t1＜t2≤25， 则φ(t1)－φ(t2)＝－ ＝(t1－t2)＋ ＝(t1－t2)＋＝， 因为≤t1＜t2≤25，则t1－t2＜0，t1t2＞5， 可得φ(t1)－φ(t2)＜0，即φ(t1)＜φ(t2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以函数φ(t)在上为增函数， 所以φ(t)min＝φ()＝＋， 即m≤＋＝. 所以实数m的取值范围是. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 章末综合提升 返回 $