第3章 章末复习课 指数运算与指数函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理了指数函数单元的知识体系，将指数幂的运算、指数函数的图象及应用、指数函数的性质及应用按照“运算基础-图象直观-性质应用”的逻辑递进组织，突出数学运算、直观想象等素养的培养重点。 讲义的特色在于“例题-反思-跟踪”的分层练习设计，如例1通过指数幂混合运算培养数学运算素养，例2结合幂函数与指数函数图象辨析提升直观想象能力，跟踪训练3的多选综合题强化逻辑推理。每个专题配有方法总结和易错提醒，基础学生可掌握运算规则，优秀学生能深化性质应用，助力教师实施精准复习教学。

一、指数幂的运算 1.掌握指数幂的运算性质，会利用指数幂的运算性质化简、求值. 2.掌握基本的运算性质，重点提升数学运算素养. 例1　计算下列各式的值(式中字母都是正数)： (1)×＋80.25×＋(×)6； (2)2÷(4)·3. 解　(1)原式＝×1＋(23×＋()6×()6＝2＋＋22×33＝112. (2)原式＝2÷·3 ＝··3. 反思感悟　指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂再运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的. 跟踪训练1　化简：(a>0，b>0). 解　原式＝ ＝＝ab－1. 二、指数函数的图象及应用 1.指数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断函数图象的交点个数问题. 2.掌握指数函数图象的作法及简单的图象平移、翻折变换，提升直观想象、逻辑推理等数学素养. 例2　(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa与g(x)＝a－x(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)上的图象可能是(　　) 答案　A 解析　f(x)＝xa为幂函数，g(x)＝a－x＝为指数函数. 对于A，g(x)＝a－x＝过定点(0，1)，且图象单调递减，可知0<<1， ∴a>1，f(x)＝xa的图象符合，故可能； 对于B，由A的分析可知f(x)＝xa的图象不符合，故不可能； 对于C，g(x)＝a－x＝过定点(0，1)，且图象单调递增，可知>1， ∴0<a<1，f(x)＝xa的图象不符合，故不可能； 对于D，由A的分析可知0<<1， ∴a>1，则f(x)＝xa过(0，0)且单调递增，故不可能. (2)若函数f(x)＝＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是　　　　.  答案　[－1，0) 解析　令f(x)＝＋m＝0，则－m＝， 令g(x)＝， 作出函数g(x)＝的图象，如图. 依题意0<－m≤1， 即－1≤m<0，故m的取值范围是[－1，0). 反思感悟　指数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换. 跟踪训练2　定义运算a􀱇b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　) 答案　A 解析　∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1， ∴f(x)＝1⊕2x＝ 三、指数函数的性质及应用 1.以函数的性质为依托，利用指数函数的性质进行大小比较、解方程和不等式等. 2.掌握指数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 例3　(1)若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是　　　　.  答案　b<a<c 解析　因为－1<x<0，所以由指数函数的图象和性质可得2x<1，2－x>1，0.2x>1， 又因为2－x＝0.5x<0.2x，所以b<a<c. (2)函数y＝的值域是　　　　.  答案　 解析　设t＝－x2＋2x＝－(x2－2x) ＝－(x－1)2＋1， ∴t≤1， ∵≥， ∴函数的值域为. 反思感悟　要熟练掌握指数函数的图象和性质、方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论.同时要注意变量本身的取值范围，以免出现增根，比较大小可直接利用单调性或找中间值. 跟踪训练3　(多选)已知函数f(x)＝a－，且f(1)＝，则(　　) A.a＝1 B.f(x)为非奇非偶函数 C.函数f(x)的值域为(－1，1) D.不等式f(3x2－1)＋f(x－3)<0的解集为 答案　ACD 解析　由f(1)＝a－，得a＝1，A正确； 当a＝1时，f(x)＝1－， ∵f(－x)＝＝－f(x)，x∈R， ∴f(x)为奇函数，B不正确； ∵2x>0， ∴2x＋1>1， ∴0<<1，－2<<0， ∴－1<1＋<1，C正确； ∵y＝2x＋1在R上为增函数， ∴y＝在R上为减函数， ∴f(x)＝1－在R上为增函数， ∴f(3x2－1)＋f(x－3)<0⇒ f(3x2－1)<－f(x－3)＝f(3－x)， ∴3x2－1<3－x， ∴3x2＋x－4<0， ∴－<x<1，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $