第3章 §2 指数幂的运算性质（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数幂的运算性质，通过导语明确理解运算性质、掌握化简求值的学习目标，以“利用性质求值—化简—整体代换”为脉络，搭建从基础运算到综合应用的学习支架，衔接指数运算与指数函数知识。 其亮点在于例题分层设计（课本例与拓展例结合），跟踪训练对应知识点，运用转化法和整体代换法培养学生运算能力与推理意识，课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生系统掌握，教师可高效开展分层教学与巩固。

§2 指数幂的运算性质 第三章　指数运算与指数函数 <<< 1.理解实数指数幂的运算性质. 2.掌握用指数幂的运算性质化简、求值与证明. 学习目标 通过本节内容的学习，大家要熟练掌握指数幂的运算及运算性质，并且利用指数幂的运算性质解决一些常见问题. 导 语 一、利用指数幂的运算性质求值 二、利用指数幂的运算性质化简 课时对点练 三、整体代换法求分数指数幂 内容索引 利用指数幂的运算性质求值 一 指数幂的运算性质 对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质： (1)aα·aβ＝ . (2)(aα)β＝ . (3)(ab)α＝aαbα. 特别地，＝aα－β，. aα＋β aαβ 注意公式适用的范围. 注 意 点 <<< 7 　(课本例1)计算： (1)(2－3×()－2； 例 1 (2－3×()－2＝× ＝2－1×2－1＝2－1－1＝2－2＝. 解 8 (2)×()3； ×()3＝(23×23＝2－2×23＝2－2＋3＝2. 解 (3). ＝(3－2＋(22 ＝3－1＋2－1－1＝－1＝－. 解 9 　计算下列各式的值： (1)(0.027； 例 1 (0.027＝[(0.3)3 ＝0.09＋＝0.09. 解 10 (2)； 原式＝(·＝(＝2. 解 (3)＋(＋1)0(a>0). 原式＝＋1＝1＋1＝2. 解 11 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的. 反 思 感 悟 12 　计算下列各式的值： (1)＋2－2×－0.010.5； 跟踪训练 1 原式＝1＋×＝1＋＝. 解 13 (2)＋0.1－2＋－3π0＋； 原式＝＋102＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100. 解 (3)××(0.25×. 原式＝×××＝×××＝9. 解 14 二 利用指数幂的运算性质化简 　(课本例3)化简(式中的字母均为正实数)： (1)a·a－2·； 例 2 a·a－2·. 解 (2)()－1·(a－2； ()－1·(a－2·. 解 16 (3)(y)α·(4y－α). (y)α·(4y－α)＝(yα)·(4y－α)＝(xyα)·(4y－α)＝4xyα－α＝4x. 解 17 已知a>0，b>0，化简： (1)； 例 2 原式＝＝＝a－1＝. 解 18 (2). ＝2×(－6)×(－3)＝36a. 解 19 指数幂运算解题的通用方法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一. 反 思 感 悟 20 　已知a>0，b>0，化简： (1)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； 跟踪训练 2 原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－. 解 21 (2)2·÷. 原式＝[2×(－3)÷(－6)]·＝a2b. 解 22 整体代换法求分数指数幂 三 　(课本例4)已知10α＝3，10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，1的值. 例 3 10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12； 10α－β＝10α×10－β＝； 10－2α＝(10α)－2＝3－2＝； 1＝(10β. 解 24 (1)若10x＝3，10y＝4，则103x－2y等于 A.－1 B.1 C. D. 例 3 √ 103x－2y＝. 解析 25 (2)已知x＋x－1＝7(x>0)，求值： ①； 设m＝，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9， 因为m>0，所以m＝3， 即＝3. 解 26 ②x2－x－2. 设n＝， 两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5， 因为n∈R， 所以n＝±， 即＝±. 所以x－x－1＝()＝±3， x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21. 解 27 利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(±)2∓2. 反 思 感 悟 28 　已知＋b＝1，求的值. 跟踪训练 3 ＝， ∵＋b＝1，∴＝3. 解 29 1.知识清单： (1)指数幂的运算性质. (2)整体代换法求分数指数幂. 2.方法归纳：转化法，整体代换. 3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D BD A D A 1 题号 8 11 12 13 14 15 答案 3×2n－3 AC BD 　 1 4 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)原式＝7×－3××2－6×＋(3×＝－6× ＝2×－2×3×＝2×－2×＝0. (2)原式＝(33＋(42－(2－1)－2－ ＝9＋4－1－4－＝9＋－4－＝3. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝. 将x＝，y＝代入上式得， 原式＝＝－24＝－8. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为2a·3b＝2c·3d＝6， 故2a－1·3b－1＝1，2c－1·3d－1＝1， 所以2a－1＝31－b，2c－1＝31－d， 所以2(a－1)(1－d)＝3(1－b)(1－d)，2(c－1)(1－b)＝3(1－b)(1－d)， 故2(a－1)(1－d)＝2(c－1)(1－b)， 故(a－1)(1－d)＝(c－1)(1－b)， 故(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1). 基础巩固 1.化简(a>0，b>0)的结果是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝＝. 解析 2.计算(n∈N＋)的结果为 A. B.22n＋5 C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝＝27－2n＝. 解析 3.(多选)下列各式中一定成立的有 A.＝n7(m>0，n>0) B. C.(x>0，y>0) D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝n7m－7，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 解析 4.若x>0，则(2)·(2)－4(x－)等于 A.－23 B.23 C.－23 D.－23 √ 原式＝(2)2－()2－4·x＋4· ＝4－27－4＋4＝－23. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若100a＝5，10b＝2，则2a＋b等于 A.50 B.12 C.20 D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵100a＝5， ∴102a＝5， ∴＝102a·10b＝5×2＝10， ∴2a＋b＝1. 解析 6.已知2a＝5b＝m，且＝2，则m等于 A. B.10 C.20 D.100 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得m>0， ∵2a＝m，5b＝m， ∴2＝，5＝， ∵2×5＝·， ∴m2＝10，∴m＝. 解析 7.化简：()2 025×()2 025＝　　　.  原式＝[()×()]2 025＝(3－2)2 025＝12 025＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 8.如果a＝3，b＝384，那么a＝　　　　.  a＝3＝3[(128]n－3＝3×2n－3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3×2n－3 9.计算： (1)7－3－6； 原式＝7×－3××2－6×＋(3× ＝－6×＝2×－2×3× ＝2×－2×＝0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)2＋1. 原式＝(33＋(42－(2－1)－2－ ＝9＋4－1－4－＝9＋－4－＝3. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知x＝，y＝，求的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝. 将x＝，y＝代入上式得， 原式＝＝－24＝－8. 解 11.(多选)已知＝5(x>0)，那么的值可以为 A.－ B.－3 C. D.3 √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ()2＝－2＝5－2＝3. 故＝±. 解析 12.(多选)设m，n是方程2x2＋3x－1＝0的两根，则下面各式的值等于8的有 A.m2＋n2 B. C.64mn D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为m，n是方程2x2＋3x－1＝0的两根，所以由根与系数的关系可得m＋n＝－，mn＝－，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝＝8；64mn＝6＝8. 解析 13.已知3a＋2b＋1＝0，则8a·4b＝　　，＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8a·4b＝23a·22b＝23a＋2b＝2－1＝. 由题意得a＋b＝－， 所以××. 解析 14.已知2x＝，9y＝，则x＋y＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2x＝＝得2x＝y＋2， 又由9y＝32y＝得2y＝x－1， ∴x＋y＝1. 解析 1 15.已知＝2－2，＝28(a>0，且a≠1)，则的值为　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 ①×②得a3m＝26， 所以am＝22. 将am＝22代入②，得22×a－n＝28， 所以an＝2－6， 所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4×2－6＝22＝4. 解析 16.已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为2a·3b＝2c·3d＝6， 故2a－1·3b－1＝1，2c－1·3d－1＝1， 所以2a－1＝31－b，2c－1＝31－d， 所以2(a－1)(1－d)＝3(1－b)(1－d)， 2(c－1)(1－b)＝3(1－b)(1－d)， 故2(a－1)(1－d)＝2(c－1)(1－b)， 故(a－1)(1－d)＝(c－1)(1－b)， 故(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1). 证明 第三章　指数运算与指数函数 <<< $