3.2基本不等式第二课时课件2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过养殖场围矩形鸡舍的情境导入引发思考，衔接新知初探中“一正二定三相等”条件，结合自我诊断题巩固基础，构建从实际情境到理论再到应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题（如鸡舍面积最值），通过拆并配变形和常值代换法培养数学思维（例1求函数最大值），实际应用（公园面积设计）强化数学语言表达。通性通法总结助学生掌握方法，教师可利用系统例题提升教学效率。

第二课时 基本不等式的应用 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能 使鸡舍面积最大？ 【问题】　实例中问题的实质是什么？如何求解？ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　基本不等式与最值 　当 x ， y 均为正数时，下面的命题均成立： （1）若 x ＋ y ＝ s （ s 为定值），则当且仅当 x ＝ y 时， xy 取得最大 值 ⁠； 　 （2）若 xy ＝ p （ p 为定值），则当且仅当 x ＝ y 时， x ＋ y 取得最小 值 ⁠. 提醒　利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等： ①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定 值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 2 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 如图所示，矩形 ABCD 的边 AB 靠在墙 PQ 上，另外三边是由篱笆围 成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形 ABCD 所需要篱笆的（　　） A. 最小长度为8 C. 最大长度为8 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　设 BC ＝ a ， a ＞0， CD ＝ b ， b ＞0，则 ab ＝4，所以围 成矩形 ABCD 所需要的篱笆长度为2 a ＋ b ＝2 a ＋ ≥2 ＝4 ，当且仅当2 a ＝ ，即 a ＝ 时取等号，此时长度取得最小值4 .故选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 　 　，此时 x ＝ 　 　. 解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤ ＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时“＝” 成立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 . 　 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用基本不等式求最值 【例1】　（1）已知 x ＜ ，求 y ＝4 x －2＋ 的最大值； 解：∵ x ＜ ，∴5－4 x ＞0， ∴ y ＝4 x －2＋ ＝－ ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4 x ＝ ，即 x ＝1时，等号成立， 故当 x ＝1时， ymax＝1. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）已知0＜ x ＜ ，求 y ＝ x （1－2 x ）的最大值； 解：∵0＜ x ＜ ，∴1－2 x ＞0， ∴ y ＝ ×2 x （1－2 x ）≤ × ＝ × ＝ ，∴当且 仅当2 x ＝1－2 x ，即 x ＝ 时， ymax＝ . （3）当 x ＞0时，求函数 y ＝ 的最大值. 解：∵ x ＞0，∴ ＝ ≤ ＝1，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝1 时取等号.故函数 y ＝ 的最大值为1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 利用基本不等式求最值的方法 　　利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定 值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整 式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母 的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件； 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等 式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用 基本不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值， 常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式 与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的 系数后，使积式中的各项之和为定值. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1.3 x2＋ 的最小值是（　　） B. 3 解析：　3 x2＋ ＝3（ x2＋1）＋ －3≥2 －3＝2 －3＝6 －3，当且仅当 x2＝ － 1时等号成立，故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知 a ＞0， b ＞0，则4 a ＋ b ＋ 的最小值是（　　） A. 2 C. 4 D. 5 解析：　∵ a ＞0， b ＞0，∴4 a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝4 ＋ ≥2 ＝4，当且仅当即 a ＝ ， b ＝1 时，等号成立，此时4 a ＋ b ＋ 取得最小值4. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 利用基本不等式求条件最值 【例2】　已知 x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，求 x ＋ y 的最小值. 解：∵ x ＞0， y ＞0， ＋ ＝1， ∴ x ＋ y ＝ （ x ＋ y ） ＝ ＋ ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当 ＝ ，即 x ＝4， y ＝12时，上式取等号. 故当 x ＝4， y ＝12时， x ＋ y 的最小值为16. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变条件）本例条件变为“ x ＞0， y ＞0，2 x ＋8 y ＝ xy ”，其余不 变，求 x ＋ y 的最小值. 解：由2 x ＋8 y － xy ＝0，得 y （ x －8）＝2 x . ∵ x ＞0， y ＞0，∴ x －8＞0， y ＝ ， ∴ x ＋ y ＝ x ＋ ＝ x ＋ ＝（ x －8）＋ ＋10≥2 ＋10＝18. 当且仅当 x －8＝ ，即 x ＝12时，等号成立， ∴ x ＋ y 的最小值是18. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件，变设问）本例条件变为“ x ＋ y ＝1， x ＞0， y ＞0”， 试求 ＋ 的最小值. 解：由 ＋ ＝（ x ＋ y ） ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝16， 当且仅当9 x2＝ y2，即 y ＝3 x ， 得 x ＝ ， y ＝ 时，取“＝”， ∴ ＋ 的最小值为16. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 常值代换法求最值的方法步骤 常值代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基 本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造 和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 2. 若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变形，直接使用基本不 等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 已知 x ＞0， y ＞0且 x ＋ y ＝1，则 p ＝ x ＋ ＋ y ＋ 的最小值为 （　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：　 p ＝ x ＋ ＋ y ＋ ＝3＋ ＋ ≥3＋2＝5，当且仅 当 x ＝ y ＝ 时等号成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若 a ＞0，且 a ＋ b ＝0，则 a － ＋1的最小值为 ⁠. 解析：由 a ＋ b ＝0，且 a ＞0，得 b ＝－ a ，－ ＝ ＞0，所以 a － ＋1＝ a ＋ ＋1≥3，当且仅当 a ＝1， b ＝－1时取等号. 3　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 基本不等式在实际问题中的应用 【例3】　某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园 ABCD ，公园由长方形 A1 B1 C1 D1的休闲区和环公园的人行道（阴影部 分）组成.已知休闲区 A1 B1 C1 D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别 为4 m和10 m（如图所示）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）若设休闲区的长 A1 B1和宽 B1 C1的比值为 x （ x ＞1），求公园 ABCD 所占面积 y （单位：m2）关于 x 的表达式； 解：设休闲区的宽为 a m，则其长为 ax m，由 a2 x ＝4 000，得 a ＝ . 所以 y ＝（ a ＋8）（ ax ＋20）＝ a2 x ＋（8 x ＋20） a ＋160 ＝4 000＋（8 x ＋20）· ＋160 ＝80 ＋4 160（ x ＞1）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）要使公园 ABCD 所占面积最小，休闲区 A1 B1 C1 D1的长和宽该如 何设计？ 解： y ≥80 ×2 ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2 ＝ ，即 x ＝ 时取等号，此时 a ＝40， ax ＝100. 所以要使公园 ABCD 所占面积最小，休闲区 A1 B1 C1 D1应设计为 长100 m，宽40 m. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 求实际问题中最值的步骤 （1）先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； （2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不 等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单 调性； （4）正确写出答案. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八 边形的休闲区域（如图），它的平面图如图所示，其中由两个全等的 矩形 ABCD 和 EFGH 构成的十字型区域的面积为200 m2.现计划在正方 形 MNPO 上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上（图 中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2， 再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）设该休闲区域的总造价为 S 元， AD 边的长为 x m，试建立 S 关于 x 的函数关系式； 解：设 DO ＝ y ，则 x2＋4 xy ＝200，即 y ＝ . 所以 S ＝4 200 x2＋210×4 xy ＋80×4× y2＝38 000＋4 000 x2＋ （0＜ x ＜10 ）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？ 解： S ＝38 000＋4 000 x2＋ ≥38 000＋2 ＝118 000，当且仅当4 000 x2＝ ， 即 x ＝ 时，等号成立，此时 S 取得最小值，为118 000. 故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲区域. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 已知实数 x ， y 满足 x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，则 x ＋2 y 的最小值 为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析：　∵ x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，∴ x ＋2 y ＝（ x ＋2 y ） ＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ， ＋ ＝ 1，即 x ＝4， y ＝2时等号成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （多选）已知 a ＞0， b ＞0， a ＋ b ＝2，则 ＋ （　　） B. 最大值是5 解析：　因为 a ＋ b ＝2，令 y ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋2≥ ＋2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，且 a ＋ b ＝2，即 a ＝ ， b ＝ 时，取“＝”. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. （ x ＞1）的最小值为 ⁠. 解析：令 y ＝ ，则 y ＝ ＝ x ＋1＋ ＝（ x －1）＋ ＋2≥2 ＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当 x －1＝ ，即 x ＝4时等号成立.故 （ x ＞1）的最小值为8. 8　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解： C ＝ ＝ .因为 t ＞0，所以 t ＋ ≥2 ＝4（当 且仅当 t ＝ ，即 t ＝2时等号成立）. 所以 C ＝ ≤ ＝5，当且仅当 t ＝ ，即 t ＝2时， C 取得最 大值. 故经过2 h后池水中该药品的浓度达到最大. 4. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药 品的浓度 C （单位：mg·L－1）随时间 t （单位：h）的变化关系为 C ＝ ，则经过多长时间后池水中该药品的浓度达到最大. 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $