第4章 周末练10 范围：第4章§1～§3（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦对数函数模块，以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过基础辨析与综合应用结合，培养数学抽象与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数概念与运算|单选1-2、多选7|定义辨析、换底公式应用|从指数式与对数式互化切入，构建运算规则| |对数函数性质|单选3-5、8-9、填空11|定义域值域求解、单调性奇偶性判断|结合函数三要素，推导性质并辨析图象特征| |综合应用|单选6、填空12、解答13-14|不等式恒成立、实际问题建模、反函数关联|整合函数性质与二次函数、不等式，实现知识迁移应用|

周末练10　范围：第四章§1~§3 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若m2 025＝n(m>0，且m≠1)，则(　　) A.logmn＝2 025 B.lognm＝2 025 C.log2 025m＝n D.log2 025n＝m 答案　A 解析　∵m2 025＝n(m>0，且m≠1)， ∴logmn＝2 025. 2.若xlog34＝1，则4x－4－x等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵xlog34＝1，∴x＝＝log43，∴4x－4－x＝＝3－. 3.函数y＝的定义域为(　　) A.(－∞，－4)∪(－4，1) B.(－∞，－1)∪(－1，4) C.(－∞，1) D.(1，＋∞) 答案　A 解析　∵⇒ ∴函数y＝的定义域为(－∞，－4)∪(－4，1). 4.已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)等于(　　) A.－ B.3 C.－或3 D.－或3 答案　A 解析　当a>0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3， 解得a＝2，满足a>0； 当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3， 解得a＝3，不满足a≤0，舍去，综上，a＝2. 故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－. 5.函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　) 答案　C 解析　由A选项中y＝x＋a的图象知a>1，而y＝logax为减函数，故A错误；由B选项中y＝x＋a的图象知0<a<1，而y＝logax为增函数，故B错误；由C选项中y＝x＋a的图象知0<a<1，且y＝logax为减函数，故C正确；由D选项中y＝x＋a的图象知a<0，而y＝logax无意义，故D错误. 6.★★当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D. 答案　C 解析　设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需在(1，2)上f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方. 当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图所示，要使在(1，2)上f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，即1<a≤2. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列求值正确的是(　　) A.log927＝ B.若log27x＝－，则x＝ C.lo81＝16 D.若logx16＝－4，则x＝－2 答案　ABC 解析　设x＝log927，则9x＝27，32x＝33， ∴2x＝3，∴x＝，故A正确； ∵log27x＝－， ∴x＝2＝3－2＝，故B正确； 设x＝lo81，则()x＝81，＝34， ∴＝4，∴x＝16，故C正确； ∵logx16＝－4，∴x－4＝16，即x4＝. 又x>0，∴x＝，故D错误. 8.若1<m<n，下列不等式成立的是(　　) A.log3m<log3n B.4n<4m C.logm3<logn3 D.> 答案　AD 解析　因为y＝log3x是(0，＋∞)上的增函数，且1<m<n，所以log3m<log3n，故A正确；因为y＝4x在(1，＋∞)上单调递增，且1<m<n，故4m<4n，故B错误；取m＝3，n＝9，所以logm3＝log33＝1，logn3＝log93＝，所以logm3>logn3，故C错误；y＝在(1，＋∞)上单调递减，且1<m<n，所以>，故D正确. 9.已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(9，2)，则下列说法正确的是(　　) A.a＝2 B.函数f(x)为增函数 C.若x>3，则f(x)>1 D.若0<x1<x2，则>f 答案　BC 解析　由题意知，loga9＝2，解得a＝3，所以f(x)＝log3x，所以函数f(x)为增函数，故A错误，B正确； 当x>3时，f(x)＝log3x>log33＝1，所以f(x)>1，故C正确； 因为 ＝log3，f＝log3，又0<x1<x2，所以<，所以log3<log3，即<f，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知m>0，且10x＝lg(10m)＋lg ，则x＝　　　.  答案　0 解析　lg(10m)＋lg ＝lg＝1，所以10x＝1＝100，所以x＝0. 11.函数y＝log2(－x2＋4x)的值域是　　　　.  答案　(－∞，2] 解析　由题意得－x2＋4x>0，解得0<x<4， 即函数y＝log2(－x2＋4x)的定义域为(0，4). 令t＝－x2＋4x， 又x∈(0，4)时，0<t＝－x2＋4x≤－22＋8＝4， 即t∈(0，4]，所以y＝log2(－x2＋4x)＝log2t∈(－∞，2]，即值域为(－∞，2]. 12.已知函数y＝f(x)存在反函数y＝g(x)，若函数y＝f(x)＋2x的图象经过点(1，6)，则函数y＝g(x)＋log2x的图象必经过点　　　　　　.  答案　(4，3) 解析　由y＝f(x)＋2x的图象经过点(1，6)，得6＝f(1)＋2，f(1)＝4， 故f(x)的反函数g(x)的图象经过点(4，1)， 所以y＝g(4)＋log24＝1＋2＝3，故函数y＝g(x)＋log2x的图象必经过点(4，3). 四、解答题(共27分) 13.(13分)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0，14]时，曲线是二次函数y＝－(t－12)2＋83图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋84(a>0，且a≠1)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p不小于81时听课效果最佳. (1)试求p＝f(t)的函数关系式；(6分) (2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.(7分) 解　(1)因为y＝－(t－12)2＋83， 所以当t＝14时，y＝－(14－12)2＋83＝82， 又因为点(14，82)在y＝loga(t－5)＋84(a>0，且a≠1)的图象上，所以loga(14－5)＋84＝82， 即loga9＝－2，即a－2＝9，解得a＝， 所以y＝lo(t－5)＋84， 所以f(t)＝ (2)当t∈(0，14]时，－(t－12)2＋83≥81， 解得12－2≤t≤12＋2， 此时t∈[12－2，14]； 当t∈(14，40]时，lo(t－5)＋84≥81， 解得14<t≤32，此时t∈(14，32]， 综上，当t∈[12－2，32]时，学生听课效果最佳， 此时Δt＝32－(12－2)＝20＋2>22， 所以老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完. 14.(14分)已知函数f(x)＝lg. (1)若f(x)为奇函数，求a的值；(7分) (2)在(1)的条件下，若f(x)在区间(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求实数m，n的值.(7分) 解　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0， ∴lg＋lg＝0，∴＝1， 解得a＝1(a＝－1舍去). 经验证当a＝1时，f(x)的定义域为(－1，1)，符合题意，故a＝1. (2)由(1)知f(x)＝lg，其定义域为(－1，1). 令t＝＝－1＋， 易知当x∈(－1，1)时，t＝单调递减，而y＝lg t在定义域上为增函数， ∴f(x)＝lg在定义域上是减函数，则m＝－1， 由题意知f(n)＝lg＝－1，解得n＝. 故所求m的值为－1，n的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $