第1章 2.1 第1课时 必要条件与充分条件（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦必要条件与充分条件，以命题概念回顾为导入，通过菱形对角线垂直等性质定理实例，搭建从命题结构到条件关系的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合判定定理（如平行四边形判定）和性质定理，通过定义法与命题判断法培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达），课堂小结梳理知识清单与方法，助力学生构建逻辑体系，教师可借助例题与跟踪训练提升教学效率。

第1课时 必要条件与充分条件 第一章　2.1　必要条件与充分条件 <<< 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 学习目标 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p，则q”形式的命题中，p和q的关系. 导 语 一、必要条件与性质定理 二、充分条件与判定定理 课时对点练 三、由必要条件、充分条件求参数的范围 内容索引 必要条件与性质定理 一 提示　在这三个性质定理中，每个定理的条件都能推出结论；但由结论不一定能得到定理的条件. 请同学们观察下列性质定理，它们的条件与结论之间具有怎样的逻辑关系呢？ 定理1　菱形的对角线互相垂直. 定理2　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 定理3　如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等. 问题1 1.命题的概念及结构形式 可以判断 ，用 表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的 ，q是命题的 .当命题“若p，则q”是真命题时，就说 ，记作 . 真假 文字或符号 条件 结论 由p推出q p⇒q 知识梳理 2.必要条件 一般地，当命题“若p，则q”是 命题时，称q是p的必要条件，也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是 的. 3.性质定理与必要条件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件. 真 必要 必要 (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”. (3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”. 注 意 点 <<< 9 　指出下列各题中，哪些q是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 例 1 因为矩形的对角线相等，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件. 解 10 (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； 因为p⇒q，所以q是p的必要条件. 解 (3)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5. 因为p推不出q， 所以q不是p的必要条件. 解 11 必要条件的两种判断方法 (1)定义法 反 思 感 悟 12 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件. 反 思 感 悟 13 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y； 跟踪训练 1 若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，因此p不能推出q，所以q不是p的必要条件. 解 14 (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； 直角三角形不一定是等腰三角形，因此p不能推出q，所以q不是p的必要条件. 解 (3)p：△ABC是等边三角形，q：△ABC是等腰三角形. 等边三角形一定是等腰三角形，所以p⇒q，所以q是p的必要条件. 解 15 二 充分条件与判定定理 提示　由定理中的条件均能得到结论，反之由结论均不能得到条件，也就是说条件是结论的充分条件，而不是必要条件. 观察下面的判定定理，它们的条件与结论之间具有怎样的逻辑关系呢？ 定理1　若a>0，b>0，则ab>0. 定理2　对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理3　在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 问题2 1.充分条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的 条件. 2.判定定理与充分条件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件. 3.必要条件与充分条件 对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的 条件，也称p是q的 条件. 充分 充分 必要 充分 知识梳理 (1)叙述充分、必要条件时，注意p和q的前后顺序. (2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”. 注 意 点 <<< 19 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a，b为无理数，则ab为无理数； 例 2 ，2×2＝4，为有理数，因此p不能推出q，所以p不是q的充分条件. 解 20 (2)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC； 由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC，因此p⇒q，所以p是q的充分条件. 解 (3)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件. 解 21 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 反 思 感 悟 22 (2)命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件. 反 思 感 悟 23 　(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有 A.若x<1，则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C.若|x|≠1，则x≠1 D.若ab>0，则a>0，b>0 跟踪训练 2 √ √ √ 24 由x<1可以推出x<2，所以选项A符合题意； 由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意； 由|x|≠1可以推出x≠1，所以选项C符合题意； 由ab>0不一定能推出a>0，b>0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意. 解析 25 由必要条件、充分条件求参数的范围 三 　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 例 3 27 p：3a<x<a，设集合A＝{x|3a<x<a，a<0}. q：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以解得－≤a<0， 所以实数a的取值范围是. 解 28 　将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围. 延伸探究 p：a<x<3a，设集合A＝{x|a<x<3a，a>0}. q：－2≤x≤3，设集合B＝{x|－2≤x≤3}. 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以无解，所以实数a的取值范围为∅. 解 29 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 反 思 感 悟 30 1.知识清单： (1)必要条件、充分条件的概念. (2)必要性、充分性的判断. (3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系. (4)必要条件与充分条件的应用. 2.方法归纳：反例法. 课堂小结 3.常见误区： (1)必要条件、充分条件不唯一. (2)求参数范围能否取到端点值. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A A C D AD 充分 题号 8 11 12 13 14 15 答案 (－∞，－2] B AC C D {m|0<m≤2} 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. (2)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. (3)显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆， 这是不可能的. 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为－1＝02－12，0＝12－(－1)2，1＝12－02，所以－1，0，1都属于集合A. (2)集合A＝{x|x＝m2－n2，m，n∈Z}，m2－n2＝(m－n)(m＋n)，m，n∈Z. ①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，(m－n)(m＋n)为4的倍数； 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，(m－n)(m＋n)为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z). 因此，满足集合A的不超过15的正偶数有4，8，12. (3)集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}， 因为2k＋1＝(k＋1)2－k2，k＋1∈Z，k∈Z， 所以2k＋1∈A，即一切奇数都属于A， 所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件. 基础巩固 1.若p是q的充分条件，则q是p的 A.充分条件 B.必要条件 C.不充分条件 D.不必要条件 √ 因为p是q的充分条件，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列各题中，p是q的充分条件的是 A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：a2>1，q：a>1 D.p：a>b，q：> √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.使x>1成立的一个必要条件是 A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 √ 只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出，故选A. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.下列命题中为真命题的是 A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件 C.“a＋3是无理数”是“a是无理数”的充分条件 D.“x＝1”是“x2＋2x－3＝0”的必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，不妨设a＝0>b＝－1，但此时有a2＝0<b2＝1，所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，故A为假命题； 对于B，不妨设a＝－1<b＝0，但此时有a2＝1>b2＝0，所以“a>b”不是“a2>b2”的必要条件，故B为假命题； 对于C，a＋3是无限不循环小数，则a是无限不循环小数，由无理数的定义可知“a＋3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题； 对于D，x2＋2x－3＝0，则x＝－3或x＝1，所以“x＝1”不是“x2＋2x－3＝0”的必要条件，故D为假命题. 解析 5.已知条件p：2k－1≤x≤3，q：－5≤x≤3，若p是q的必要条件，则实数k的取值范围是 A.－2<k≤0 B.0<k≤2 C.－5<k≤2 D.k≤－2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p：2k－1≤x≤3，q：－5≤x≤3， 设集合A＝{x|2k－1≤x≤3}， B＝{x|－5≤x≤3}， 因为p是q的必要条件，所以B⊆A， 所以2k－1≤－5，解得k≤－2. 解析 6.(多选)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 A.丙是甲的充分条件 B.丙不是甲的充分条件 C.丙是甲的必要条件 D.丙不是甲的必要条件 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙不能推出丙， 综上，有丙⇒甲，但甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件. 解析 7.“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的　　　条件.(用“充分”“必要”填空)  由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4， 所以是充分条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 充分 8.已知p：x>a，q：x＋2>0，且p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　 　　.  因为p是q的必要条件，则q⇒p，所以q对应的集合是p对应集合的子集，又q：x>－2， 故a≤－2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，－2] 9.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若x＝y，则x2＝y2； 显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若x＝1，则x－1＝； 显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. 解 (3)若x>1，则x2>1. 显然p⇒q，所以p是q的充分条件， 即q是p的必要条件. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件. 解 (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆ ， 这是不可能的. 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件. 解 11.设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是 A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立； 对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意； 显然选项B符合题意. 解析 12.(多选)若关于x的方程x2＋2x＋m＝0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是 A.m>0 B.－2<m<1 C.m>－4 D.1≤m<2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 方程x2＋2x＋m＝0至多有一个实数根，则其判别式Δ≤0，即4－4m≤0，解得m≥1，结合选项可知，选项A和选项C正确. 解析 13.集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}.若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是 A.{b|－2≤b<0} B.{b|0<b≤2} C.{b|－2<b<2} D.{b|－2≤b≤2} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A＝{x|－1<x<1}， B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}. 因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件， 所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2. 解析 14.已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是<x<，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得⊆{x|m－1<x<m＋1}， 所以 解得－≤m≤. 解析 15.已知p：x<－1或x>3，q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　 　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {m|0<m≤2} 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，设集合A＝{x|x<－1，或x>3}，B＝{x|x<－m＋1，或x>m＋1，m>0}，因为p是q的充分条件，即集合A是集合B的子集， 所以解得0<m≤2， 所以实数m的取值范围是{m|0<m≤2}. 解析 16.已知集合A＝{x|x＝m2－n2，m，n∈Z}. (1)分别判断－1，0，1是否属于集合A； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为－1＝02－12，0＝12－(－1)2，1＝12－02，所以－1，0，1都属于集合A. 解 (2)写出所有满足集合A的不超过15的正偶数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 集合A＝{x|x＝m2－n2，m，n∈Z}，m2－n2＝(m－n)(m＋n)，m，n∈Z. ①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，(m－n)(m＋n)为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，(m－n)(m＋n)为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z). 因此，满足集合A的不超过15的正偶数有4，8，12. 解 (3)已知集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，证明：“x∈B”是“x∈A”的充分条件. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}， 因为2k＋1＝(k＋1)2－k2，k＋1∈Z，k∈Z， 所以2k＋1∈A，即一切奇数都属于A， 所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件. 证明 第一章　2.1　必要条件与充分条件 <<< $