2.2全称量词与存在量词第一课时课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“全称量词与存在量词”，通过“罗素理发师悖论”情境导入，引导学生从逻辑矛盾中抽象出全称量词与存在量词的意义，结合知识点梳理、自我诊断搭建基础，再通过典型例题与跟踪训练实现从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，如通过悖论分析培养逻辑思维，例题中参数范围问题强化数学抽象能力，通性通法总结帮助学生形成系统思维。学生能提升逻辑推理与问题解决能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

2.2　全称量词与存在量词 新课程标准解读 核心素养 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的 意义 数学抽象、 逻辑推理 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象 目录 数学·必修第一册（BSD） 第一课时　全称量词命题与存在量词命题 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的 理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮 脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的 人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天，这位 理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看 他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自 己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属 于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素 理发师悖论”. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【问题】　你能对上述问题进行逻辑分析吗？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有”“每一个”“任何”“一切”等 符号 ⁠ 全称量 词命题 在给定集合中，断言 ⁠元素都具有同一种性质的命 题 形式 “对 M 中任意一个 x ，有 p （ x ）成立”，可用符号简记为“ ⁠”.其中，M是给定的集合，p （ x ）是一个关于x 的语句 ∀　 所有　 ∀ x ∈ M ， p （ x ）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充 出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有 的平行四边形的对角线都互相平分”. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 “有些”“有一个”“存在”等 符号 ⁠ 存在量 词命题 在给定集合中，断言 ⁠元素具有一种性质的命题 形式 “存在 M 中的一个x ， 使p （ x ）成立”，可用符号简记为“ ⁠” .其中，M是给定的集合，p （ x ）是一个关于x 的语句 ∃　 某些　 ∃ x ∈ M ， p （ x ）　 提醒　有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有 一个”等特征的命题都是存在量词命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题. （　√　） （2）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题. （　×　） （3）“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词. （　√　） √ × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数 x ，使 x2≤0 C. 两个无理数的和必是无理数 解析：　A是全称量词命题.B项为存在量词命题，当 x ＝0时， x2 ＝0成立，所以B正确.因为 ＋（－ ）＝0，所以C为假命题. 对于任何一个负数 x ，都有 ＜0，所以D错误.故选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 将命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写为全称量词命题为 ⁠ ⁠. 解析：命题“ x2＋ y2≥2 xy ”是指对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立，故命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写成全称量词命题为“对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立”. 对任意 x ， y ∈R， 都有 x2＋ y2≥2 xy 成立　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】　（1）下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实 数乘以0都等于0；③有一个角α，使 sin α＝ ；④凸多边形的外角 和等于360°；⑤所有正数都是实数. 其中是全称量词命题的为 ，是存在量词命题的为 （填 序号）. ②④⑤　 ①③　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量 词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”， 故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于 360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称 量词“所有”，故为全称量词命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） ①所有实数 x 都能使 x2＋ x ＋1＞0成立； ②对所有实数 a ， b ，方程 ax ＋ b ＝0恰有一个解； ③一定有整数 x ， y ，使得3 x －2 y ＝10成立. 解：①∀ x ∈R， x2＋ x ＋1＞0. ②∀ a ， b ∈R， ax ＋ b ＝0恰有一解. ③∃ x ， y ∈Z，3 x －2 y ＝10. （2）用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题中的存在量词 一般不能省略. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： （1）矩形有一个外接圆； 解：可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词 命题. （2）非负实数有两个平方根； 解：可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称 量词命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）有一对实数（ x ， y ），使2 x － y ＋1＜0成立. 解：可以改写为“∃ x ∈R， y ∈R，使2 x － y ＋1＜0成立”，是 存在量词命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例2】　判断下列命题的真假： （1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（ x ， y ）都对应一点 P ； 解：是真命题. （2）∃ x ∈R， x2－3 x ＋2＝0； 解：是真命题， x ＝2或 x ＝1都能使 x2－3 x ＋2＝0成立. （3）∀ x ， y ∈Z，（ x － y ）2＝ x2－2 xy ＋ y2. 解：是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对 整数成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 （1）全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命 题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p （ x ）成立；但要 判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合 M 中的一个 x0，使得 p （ x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反 例”）； （2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命 题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x0，使 p （ x0）成立即可； 否则，这一存在量词命题就是假命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： （1）∃ x ∈Q， x2＝3； 解：存在量词命题.由于使 x2＝3成立的实数只有± ，且它们 都不是有理数.因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以 该命题是假命题. （2）每一个三角形的内角和都是180°； 解：全称量词命题.由三角形的内角和定理可知，该命题是 真命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）钝角三角形有的高在三角形外部； 解：存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以 该命题是真命题. （4）存在 a ， b ∈R，使 a2＋ b2－2 a －2 b ＋2＝0. 解：存在量词命题. a2＋ b2－2 a －2 b ＋2＝（ a －1）2＋（ b － 1）2＝0，所以 a ＝ b ＝1，该命题是真命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 由含量词命题的真假求参数的取值范围 【例3】　（1）已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤2}，若命题“∀ x ∈ A ，一 次函数 y ＝ x ＋ m 的图象在 x 轴上方”是真命题，则实数 m 的取值范围 是 ⁠； { m ｜ m ＞－1}　 解析：当1≤ x ≤2时，1＋ m ≤ x ＋ m ≤2＋ m ，因为一次函数 y ＝ x ＋ m 的图象在 x 轴上方，所以1＋ m ＞0，即 m ＞－1，所以实数 m 的取值 范围是{ m ｜ m ＞－1}. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）若命题“∃ x ∈R，使得方程 ax2＋2 x －1＝0成立”是真命题，求 实数 a 的取值范围. 解：由题意得，关于 x 的方程 ax2＋2 x －1＝0有实数根，当 a ＝0 时，方程为2 x －1＝0，显然有实数根，满足题意；当 a ≠0时， Δ＝4＋4 a ≥0，解得 a ≥－1，且 a ≠0. 综上知，实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥－1}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 （变条件）本例（2）中的方程改为“ x2＋2 x ＋2＝ m ”，求实数 m 的 取值范围. 解：依题意，方程 x2＋2 x ＋2－ m ＝0有实数解，所以Δ＝4－4（2－ m ）≥0，解得 m ≥1，故实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥1}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 （1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根 据有关代数恒等式（如 x2≥0），确定参数的取值范围； （2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问 题来处理，可借助根的判别式等知识解决. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 若“存在 x ∈{ x ｜3≤ x ≤5}， x ≥ m ”是真命题，则实数 m 的取值范 围是 ⁠. 解析：当 m ≤5时，“存在 x ∈{ x ｜3≤ x ≤5}， x ≥ m ”是真命题. （－∞，5]　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 下列语句不是全称量词命题的是（　　） A. 每一个实数都有绝对值 B. 自然数都是正整数 C. 高二（一）班绝大多数同学是团员 D. 每一个学生身高都在150 cm以上 解析：　“高二（一）班绝大多数同学是团员”，即“高二 （一）班有的同学不是团员”，是存在量词命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （多选）（2024·济宁月考）下列命题中是真命题的是（　　） A. ∃ x ∈R， x3＝3 B. ∃ x ∈R，3 x ＋1是整数 C. ∀ x ∈R，｜ x ｜＞3 D. ∀ x ∈Q， x2∈Z 解析：　A是真命题，由 x3＝3得 x ＝ ，是无理数，所以选项 A为真命题；B是真命题，当 x ＝1时，3 x ＋1＝4是整数；C是假命 题，如 x ＝2时，｜ x ｜＜3；D是假命题，如 x ＝ ， x2∉Z. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 设 p ：2 x 是偶数，试用不同的表述方法将其写成全称量词命 题 　　. 答案：①对所有的自然数 x ，2 x 是偶数；②对一切的自然数 x ，2 x 是偶数；③任选一个自然数 x ，2 x 是偶数；④对任意的自然数 x ， 2 x 是偶数；⑤对每一个自然数 x ，2 x 是偶数.（答案不唯一，合理 即可） 4. 若对任意 x ＞3， x ＞ a 恒成立，则 a 的取值范围是 ⁠. 解析：对于任意 x ＞3， x ＞ a 恒成立，即大于3的数恒大于 a ，所以 a ≤3. （－∞，3]　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $