周末练17 综合检测试卷（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 以集合、函数、概率统计为核心，通过综合题型整合知识逻辑，强化数学抽象、逻辑推理与数据意识的核心素养训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|3题|集合运算、充要条件、命题否定|集合为基础支撑函数定义域等概念，逻辑推理贯穿条件判断| |函数与导数|7题|定义域、单调性、奇偶性、零点|函数性质与不等式结合，体现从概念到应用的推导链条| |概率统计|6题|抽样、概率计算、频率分布直方图|通过实际案例（夜市经济、垃圾分类）培养数据分析与应用意识| |应用问题|3题|销售利润、航行费用、捐赠优化|结合现实情境构建模型，强化数学语言表达与实践能力|

周末练17　综合检测试卷 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.设集合A＝{－1，0}，B＝{x|－2<x<0}，则A∩B等于(　　) A.{－1} B.{－1，0} C.{x|－2<x<0} D.{x|－2<x≤0} 答案　A 解析　由A＝{－1，0}，B＝{x|－2<x<0}， 所以A∩B＝{－1}. 2.已知a>0，b∈R，那么a＋b>0是a>|b|成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　a＋b>0即a>－b，当a＝1，b＝2时，无法推出a>|b|.当a>|b|时(a>0)，a>－b，故a＋b>0.综上所述，应为必要不充分条件. 3.函数f(x)＝的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　要使函数有意义，则 解得x>－且x≠1， ∴函数f(x)的定义域是. 4.已知a＝ln 2，b＝20.8，c＝ln ，则(　　) A.a<c<b B.c<a<b C.c<b<a D.a<b<c 答案　B 解析　因为0<a＝ln 2<ln e＝1，b＝20.8>20＝1，c＝ln <ln 1＝0， 所以c<a<b. 5.某校高一年级有810名学生，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，且抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为(　　) A.450 B.360 C.400 D.320 答案　B 解析　由分层随机抽样可得高一年级的女生人数为×810＝360. 6.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f＝x2－的图象大致为(　　) 答案　D 解析　方法一　因为函数f(x)的定义域为，关于原点对称， 又f＝(－x)2－＝x2－＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故排除选项A，B； 易知函数y＝x2在上单调递增，函数y＝－在上单调递增， 所以当x>0时，f＝x2－＝x2－在上单调递增，故排除选项C. 方法二　由方法一排除选项A，B；当x＝2时，y>0，故选D. 7.一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设3只白兔分别为b1，b2，b3，2只灰兔分别为h1，h2，则所有样本点有(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共20个，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的样本点有12个， 所以所求概率为. 8.若f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f(3x＋1)<f的实数x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f， 则f(3x＋1)<f可化为f(|3x＋1|)<f， 而偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减， 得f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以原不等式可化为|3x＋1|<， 所以－<3x＋1<，解得－<x<－. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题正确的是(　　) A.若命题p：∃n∈N，n2>2n，则p的否定为∀n∈N，n2≤2n B.命题“∀n∈N＋，f(n)<n”的否定形式是∃n∈N＋，f(n)>n C.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则BA D.已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－<x<}，则A∪B＝R 答案　ACD 解析　根据含有量词的命题的否定可得，A选项正确；B选项不正确，命题“∀n∈N＋，f(n)<n”的否定形式应为“∃n∈N＋，f(n)≥n”；C选项正确； ∵x(x－2)>0， ∴x<0或x>2. ∴集合A与B可用数轴表示为 由数轴可以看出A∪B＝R，D选项正确. 10.商务部关于城市居民消费习惯调查报告显示，60%的居民消费发生在夜间，“夜间经济”已经成为衡量城市经济活力的重要指标，在扩大内需、繁荣市场、创造就业等方面发挥着多重作用.目前越来越多的城市提出要支持“夜市经济”或打造夜市品牌.某饭店推出夜市烧烤，为了提前准备原料，店长统计了上一星期7天的日销售额(单位：元)，得到如图所示的折线图，则下列结论正确的是(　　) A.从星期三到星期六，日销售额逐步增加 B.这一星期的日销售额的极差为600元 C.这一星期的日销售额的中位数为550元 D.星期五、星期六、星期日3天的日销售额总和超过前4天的日销售额总和 答案　BD 解析　选项A，由题图可知，从星期三到星期六，日销售额先减少后增加，故A错误； 选项B，这一星期的日销售额的极差为990－390＝600(元)，故B正确； 选项C，这一星期的日销售额从小到大排列为390元，400元，480元，520元，550元，800元，990元，中位数为520元，故C错误； 选项D，星期五、星期六、星期日3天的日销售额总和为550＋990＋800＝2 340(元)，前4天的日销售额总和为480＋390＋520＋400＝1 790(元)，故D正确. 11.已知函数f(x)＝则下列选项正确的是(　　) A.当m＝0时，函数f(x)有2个零点 B.当m＝0时，函数f(x)有3个零点 C.如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为[－2，0) D.如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为[－2，0)∪[4，＋∞) 答案　BD 解析　当m＝0时，函数f(x)＝ 当x≤0时，令－x2－2x＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x>0时，令x－4＝0，解得x＝4， 所以当m＝0时，函数f(x)有3个零点. 作出函数y＝－x2－2x和y＝x－4的图象(图象略)，要使函数f(x)恰有两个零点，数形结合可知，需－2≤m<0或m≥4， 即实数m的取值范围是[－2，0)∪[4，＋∞). 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　.  答案　e 解析　f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2＋ln 4 ＝a3ln 2＝＝8， ∴aln 2＝2，∴a＝e. 13.某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1 000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩(单位：分)，并进行适当的分组(每组为左闭右开的区间)，得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为　　　　.  答案　122 解析　根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为1－0.005 0×20＝0.9，成绩在110分以下的学生所占比例为1－(0.012 5＋0.005 0)×20＝0.65，因此80%分位数一定位于[110，130)内，由110＋20×＝122，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122. 14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知，在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r(单位：元)与时间t(1≤t≤20，t∈N，单位：天)之间的函数关系式为r＝t＋10，且日销售量y(单位：箱)与时间t之间的函数关系式为y＝120－2t. (1)第4天的销售利润为　　　　元；  (2)在未来的这20天中，公司决定每销售1箱该水果就向山区捐赠m(m∈N＋)元.为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，则m的最小值是　　　　.  答案　(1)1 232　(2)5 解析　(1)因为当t＝4时，r＝×4＋10＝11，y＝120－2×4＝112， 所以该天的销售利润为11×112＝1 232. (2)设捐赠后的利润为W元， 则W＝y(r－m)＝(120－2t)， 化简可得，W＝－t2＋(2m＋10)t＋1 200－120m.令W＝f(t)， 因为二次函数的开口向下，对称轴为t＝2m＋10，为满足题意，所以 解得5≤m≤10.25，且m∈N＋， 即m的最小值为5. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}. (1)若m＝3，求A∪B；(5分) (2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的　　　　，求正实数m的取值范围.(8分)  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　(1)依题意，得2－2≤2x≤25， 解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}， 当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0， 得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}， 所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}. (2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件， 则有AB， 于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4， 所以正实数m的取值范围是m≥4. 选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0， 解不等式x2－4x＋4－m2≤0， 得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件， 则有BA， 于是得－2<2－m<2＋m≤5或 －2≤2－m<2＋m<5， 解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3， 所以正实数m的取值范围是0<m≤3. 16.(15分)某市为了丰富市民的文化生活，举办了一场有关历史人文的知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；(6分) (2)求甲队得2分，乙队得1分的概率.(9分) 解　(1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率为P(A)＝； 甲队总得分为2分，即甲队三人中共有1人答错，其余两人答对， 其概率为P(B)＝3××. (2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分，乙队得1分”为事件D， 事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对， 则P(C)＝××××××， 甲队得2分，乙队得1分即事件B，C同时发生， 则P(D)＝P(B)P(C)＝×. 17.(15分)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k.轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v匀速航行. (1)求k的值；(6分) (2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费＋航行运作费用)的最小值.(9分) 解　(1)由题意，设燃料费为W1＝kv2， ∵当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元， ∴当v＝10时，W1＝96， 可得96＝k×102， 解得k＝0.96. (2)∵其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元. ∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为×150＝元， ∴航行100海里的总费用为 W＝0.96v2·＝96v＋(0<v≤15)， ∵96v＋≥2＝2 400， ∴当且仅当96v＝， 即v＝＝12.5<15时， 航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2 400元. 故该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2 400元. 18.(17分)已知函数f(x)＝log3(3x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数. (1)求k的值；(7分) (2)若不等式f(x)－x－a≥0对x∈(－∞，0]恒成立，求实数a的取值范围.(10分) 解　(1)因为y＝f(x)为偶函数，且定义域为R， 所以对任意的x∈R，f(－x)＝f(x)， 即log3(3－x＋1)－kx＝log3(3x＋1)＋kx对任意的x∈R恒成立. 于是2kx＝log3(3－x＋1)－log3(3x＋1) ＝log3＝log33－x＝－x恒成立， 而x不恒为零，所以k＝－. (2)因为不等式f(x)－x－a≥0对x∈(－∞，0]恒成立， 即a≤log3(3x＋1)－x对x∈(－∞，0]恒成立， 令g(x)＝log3(3x＋1)－x＝log3，x∈(－∞，0]， 因为1＋≥2， 所以g(x)＝log3≥log32， 所以a≤log32， 所以a的取值范围是(－∞，log32]. 19.(17分)2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚，分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题： (1)求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(5分) (2)如果用分层随机抽样的方法从样本成绩为[80，90)和[90，100]的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率；(5分) (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数＝80，标准差s＝，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.(7分) 解　(1)由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以10a＝0.016×10×2，解得a＝0.032. 又(0.008＋0.016＋0.032＋0.04＋b)×10＝1， 解得b＝0.004. 成绩落在[50，70)内的频率为(0.016＋0.032)×10＝0.48， 落在[50，80)内的频率为(0.016＋0.032＋0.040)×10＝0.88， 因此中位数落在区间[70，80)内， 设中位数为m，则0.48＋(m－70)×0.04＝0.5， 解得m＝70.5. 故估计这次竞赛成绩的中位数约为70.5. (2)由题意知，从第四组[80，90)抽取的人数为4， 设所抽取的人为a，b，c，d， 从第五组[90，100]抽取的人数为2，设所抽取的人为A，B， 则从这6人中随机抽取2人有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共15个样本点， 记事件A＝“2人分数恰好来自同一组”，所以事件A包含的样本点为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7个， 所以P(A)＝. (3)由＝80，得x1＋x2＋x3＋…＋x10＝10×80＝800. 又s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(x10－)2]＝()2＝35， 所以(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(x10－)2＝350. 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为x1，x2，x3，…，x7，x8， 平均数与标准差分别为，s0， 则剩余8个分数的平均数为＝80＝， 所以(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(x8－)2＋(75－80)2＋(85－80)2＝350， 即(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(x8－)2＝350－52－52＝300， 则方差[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(x8－)2]＝×300＝37.5， 故剩余8个分数的平均数为80，方差为37.5. 学科网（北京）股份有限公司 $